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关于Hamiliton图（哈密顿图），点击这里最后部分见世界首富比尔×盖茨唯一合作论文的导师在世界名著《算法概论》第259页说哈密顿图是在一千多年之前已提出的问题，如此是世界最悠久的既非常艰难又有非常广泛重大的作用的问题（理工科世界第一的麻省理工学院就说“不做只要努力一定能成功的课题”--那如此一千多年都解决不了的就更…），这里倒数第23行看到哈代（Hardy）把Hamiliton圈问题列为图学世界三大难題之首（现代Hamiliton图第1开拓者Gabriel Dirac的导师Richard Rado跟Schur和这哈代-Hardy做的博士都是组合论图论的，Gabriel
Dirac的父亲和爱因斯坦并居前3而其舅舅也获物理诺奖；现代Hamiliton图第2开拓者Ore指导出现代计算机之父和计算机之母等。海南琼大的工作是探索揭示比他俩及所有科学家的更深入的实质），此问题之难如中国各省的先驱们-特别是云南的工作更基于堪称一代佳话的北京大学11大才子的合作却仍…。关于命名为哈密顿图是因它是哈密顿最先做出有影响的工作且哈密顿被认为是牛顿第二，下第3段再详述
这段先简说我们哈密顿图大师Ore以及其门下出一对男女博士-即“现代计算机之父”＋“计算机之母”。这真可谓人间一奇景！其中Ore院士是这里的12个20世纪美国数学家之一的奧斯坦.奧勒(Oystein Ore)-他是近代哈密顿图(Hamilton图)革命性大师。他在1926年之前在哥廷根、瑞典数学所和巴黎大学这三个当时的世界数学中心工作如此和希尔伯特等曾是同事。随着科学中心由欧洲向美国转移他也到耶鲁大学
哈密顿图大师Ore院士出如此多计算机先驱，很值得研究。特别是Donald
Knuth博士更被誉为现代计算机科学鼻祖以及计算机大师中的大师更为奇葩（许多评论认为他的书在计算机中的地位可等同于欧几里德的《几何原本》在数学中的地位！哈密顿图之重要也如国际数学联盟主席Lovász、美国科学院五人领导成员之一的Graham和国际数学联盟第二号人物-秘书长Grötschel三人于2003年合作修订的《Handbook of Combinatorics》（即《组合学手册》）是组合学至高无上的圣经。其中图论一共六章中“路与圈”即哈密顿图占一章（图论380页中哈密顿图占110页）。还有上面Lovász主席和Pelikán（国际数学奥林匹克数学竟赛最高分者）等编写的Discrete Mathematics-Elementary and Beyond（即《离散数学》-基础和超越）的“图”这一章仅有三节而且后两节都是哈密顿图的……
和海南琼州大学赵克文合作多篇论文的美国十大名校一直设立国际性的Hall奖（其和琼州大学赵克文合作的Gould教授是这美国十大名校学术委员会主席等多个全校委员会主席。上面Hall院士就是把1984年至1990年逝世时为止的这段最具世界影响力的时间一直专门放在这美国十大名校任教，当时Gould教授已是这大学系主任和全校学术委员会副主席。自Hall院士1990年逝世后的1993年Gould一当上全校主席，就立即着手以这美国十大名校为主要发起单位设立全球性的Hall奖）。看“国际组合数学与应用学会”网页见Gould教授也担任这国际组合数学与应用学会副主席，这更利于此奖的全球化。这是图论与组合数学界唯一最权威的世界性学会，该学会只设三个奖：即Euler奖、Hall奖和Kirkman 奖（“所有人的老师”Euler是四大数学家之一）。如1967-1996年这30年间一直在已有13人获得诺贝尔奖的贝尔实验室担任研究员的国际著名组合学家黄光明教授撰写的《组合学漫谈》的第一篇参考文献就是Hall的《组合论》一书。黄光明教授这篇著名文章倒数第23行说：数学大师Hardy把Hamiliton 圈问题等列入圖形學三大难题（这句话也见这里倒数第2页倒数第5行。这第2页见Hardy述什么是美丽的猜想。Hardy等世界大师公认的这3大难题就是：美国三院院士等说是有一千多年之悠久历史的Hamiliton 圈问题、有150年悠久历史的四色问题 以及1941年提出的Kelly-Ulam猜想（就因前2个问题是已经悠久历史考验的非常有价值、非常有挑战性问题，如此20年前我就已在Hamiliton 圈问题和四色问题的某些方面取得战报），也就是上面三大难题中的前2个问题是一直得到世界各国权威和历史公认的最著名的2大难题（而大家都知道我这么多年一直忙“Hamilton图”，可其实看这里见我1990年做Hamilton图之前就已在“四色问题”做出非常有意义的开拓性工作--即我当时可似“划破夜空”般地成为一百多年来全世界第一次发现染色类不唯一的，而这问题之划时代意义也如这领域排名前三的三个最权威大师未能解决它而合作提出，但基于问题本身而非大师才使我感到我其后在这领域做再多也已无法超越此意义--现在仍如此认为它在这领域具划时代性--而为了不使自已在寻求意义的超越中迷失，如此我当时也为这学科开创“八”个基本定理就鸣金收兵，认为这是最好的结局）、（这里复印件也见我其后1990年完成的一篇论文的引言第一行说“著名的四色猜想等价于平面图荫度小于3”，足见我其后已想办法再从其它领域去解决“四色猜想”，只因后来搞哈密顿图牵制进太多精力，使得无时间去考虑更多有意义的问题）。前二大难题是已历经世纪考验的，长期以来全世界各国科学家都没有疑义它们的重要影响作用，而第3个难题-即由在多个学科有建树的Stanisław
Marcin Ulam
关于誉为现代计算机科学鼻祖、计算机大师中大师Donald
Knuth ，普林斯顿大学资深教授、计算机诺贝尔奖获得者
下面是计算机鼻祖Donald Knuth最近的图论与组合论文，除了1篇外都是独立完成的论文，可见他对图论与组合有精深的造诣
Donald
E Knuth. Selected papers on discrete mathematics.（离散数学的精选结集的一些论文） CSLI
Lecture Notes, 106. CSLI Publications,（CSLI 出版社出版）
Stanford, CA, 2003. xvi+812 pp. ISBN: 1-57586-248-4 MR2030307
Donald E Knuth. Linear probing
and graphs Algorithmica 22 (1998),
4, 561--568. MR1701629
Donald
E Knuth. Partitioned tensor products and their spectra. J. Algebraic
Combin. （代数组合杂志）6 (1997) , 259-267 MR1456582
Donald
E Knuth. The Knowlton-Graham partition problem,
J. Combin. Theory
Ser. A （组合数学杂志A）73 (1996),
1, 185--189. MR1367620
Donald E Knuth. Overlapping
Pfaffians. The Foata Festschrift. Electron. J. Combin. （组合数学电子杂志）
3 (1996), 2, 1-13 pp.
MR1392490
Donald E Knuth.
Two-way rounding.
Donald
E Knuth. The sandwich theorem. Electron. J. Combin. （组合数学电子杂志）1 (1994) , 1-48 MR1269161
Donald E Knuth. Leaper graphs，Journal of
Mathematical. Gazette （数学公报）78 (1994), 274--297
Svante Janson, Donald E Knuth, Tomasz Łuczak, Boris.Pittel, The birth of
the giant component. With an introduction by the editors. Random Structures
Algorithms （随机结构与算法）4 (1993),
no. 3, 231--358. MR1220220
Donald E Knuth. Rajeev Motwani,
Boris Pittel, Stable husbands. Random Structures Algorithms （随机结构与算法）1 (1990),
no. 1, 1--14. MR1068488
Donald E Knuth.
Aztec diamonds, checkerboard graphs, and spanning trees. J. Algebraic
Combin. （代数组合杂志）6 (1997) , 253-257 MR1456581
等…
这里只着重说历史上最年轻的这计算机诺贝尔奖获得者Knuth院士独立完成的我认为是最有趣的上面最后篇论文，其论文标题应该译为“Aztec菱形, 棋盘格图，和生成树”，这样就更进一步接近知道所研究的是什么东西了？（单词Aztec可能是专有名词，不过不管是A菱形或B菱形，以论文内的定义为标准）。其mn个点集={(x,y)| 1≤x≤m,1≤y≤n}的图的边定义为若|x-x’|=1,|y-y’|=1则(x,y)和(x’,y’)相邻。记子图ECm,n的点集为{(x,y) | x+y 是偶数}, 子图OCm,n的点集为{(x,y) | x+y 是奇数}，则子图ECm,n的点和OCm,n的点都不相邻而且它们刚好把这图划分。显然，则ECm,n和OCm,n的点数分别是émn/2ù 和ëmn/2û。当mn是偶数时，ECm,n和OCm,n同构。最先是14岁时以满分42分获得国际奥林匹克数学竞赛金奖、26岁时成为哈佛大学正教授的Noam Elkies等合作的论文1和论文2称OC2n+1,2n+1为n阶Aztec菱形并证明OC2n+1,2n+1刚好有2n(n+1)/2完美匹配（这Noam Elkies教授很有意思，创造了很多世界第一，上面国际奥林匹克数学竞赛最年轻的满分和哈佛大学历史上最年轻的教授仅是其二。他1993年当正教授时才有十篇论文，除了发表在2个组合数学杂志，其它的都是综合杂志-或有与组合数学有关-可见组合数学助他成为哈佛大学历史上最年轻的教授）。匹配和完美匹配可以扩展为哈密顿路和哈密顿圈--即是否存在包含或说经过匹配的哈密顿路和哈密顿圈？这显然是一个更有意义的课题！当然是指相对于某类匹配而存在才更有意义（当然有哈密顿路和哈密顿圈就也有匹配和完美匹配，也更清楚各类匹配和完美匹配的结构和性质）。麻省理工学院Richard Stanley院士在这里猜想EC2n+1,2n+1的生成树是OC2n+1,2n+1的4倍。这确实是一个巧妙有趣的猜想。显然，由定义可知道内部结构是一致的，其对匹配的决定的就在于边特别是四角。如此，提出这猜想虽需要独到眼光但也很自然，这就是吸引计算机科学鼻祖Knuth用这篇论文主要证明这猜想之因吧。
记 2个二分图G的二部分点数为(p,q)、H的二部点数为(r,s)，它们的弱有向积weak
direct product G´H定义为点(u,v)和点(u’,v’)相邻当且仅当u和u’相邻、v和v’相邻，记子图E(G,H)的点集为{(u,v)| u∈V(G)和v∈V(H)是属于相对应的部分的点}, O(G,H) 的点集为{(u,v)| u∈V(G)和v∈V(H)是属于相反的部分的点}，由定义则显然子图E(G,H)的点和子图O(G,H)的点都不相邻，且|V(E(G,H))|=pr+qs,
|V(O(G,H))|=ps+qr。也显然ECm,n=E(Pm,Pn)，OCm,n=O(Pm,Pn)，其中Pm和Pn分别是点数为m和n的路。Knuth证明(i):特征多项式P(E(G,H); x)和P(O(G,H); x)满足P(E(G,H); x)P(O(G,H); x)=Õj=1p+qÕk=1r+s(x-mjlk)，P(E(G,H); x)=x(p-q)(r-s)P(O(G,H); x)；也证明(ii): P(ECm,n; x)和P(OCm,n; x)满足P(ECm,n; x)P(OCm,n; x)= Õj=
这现代计算机科学的鼻祖Donald Knuth-高德纳撰写的《计算机程序设计艺术》1999年底被《美国科学家》（American
Scientist）杂志列为20世纪最佳12部学术专著之一，即它与哈密顿图的第一个革命性突破者Dirac的父亲老Dirac狄拉克的量子力学、爱因斯坦的相对论、曼德布罗特的分形论、鲍林的化学键、冯.诺伊曼和摩根斯坦的博弈论、维纳的控制论、费曼的量子电动力学等并列为20世纪12部最重要经典著作！（现代计算机鼻祖Donald Knuth的这套书有一卷是《计算机程序设计艺术,卷4A:组合算法》--即组合数学算法，它的其他卷也有很多与组合数学算法有关）
也被推为上帝的Donald Knuth是图论杂志创立者之一并任第一届编委，Knuth独立指导的最后的关门第子Feder教授的博士学位论文是做积图论的，我也在2002年接到美国《数学评论》送来这Feder教授为第一作者和加拿大大师、欧洲大师和一代宗师Knuth等多人合作的论文给我评论，Feder教授的这篇论文的美国《数学评论》编号是：MR2033312)
Donald Knuth独立指导的高徒博士Robert Sedgewick是普林斯顿大学计算机系的创始人，并也步其师Knuth以图论思想写出“图算法”的系列名著，其中“这3卷书的前期版本多年来一直被世界各地的学者广泛使用”而成为享有盛名的算法畅销书， 如“没有人能够将算法和数据结构解释得比Robert Sedgewick更清楚易懂了”是得到公认的，那学这些课程的就不能不读他，（Robert Sedgewick1988年在美国东南部第十九届组合数学与图论学术会议报告的课题就是这方面思想的名篇，此文也发表于Congr. Numer. 65 (1988), 253--259.）（Knuth的这高徒Sedgewick于1990年在普林斯顿大学指导出的博士-现在香港科技大学任教授的Mordecai J.
Golin的简介中就说研究领域是“组合论”，而这图算法大师Sedgewick的高徒中就只有这香港科技大学的在MGP网有博士并指导的八个博士中的Leung、Zhang和Trippen等是做图论博士学位论文的，其他也是做与图论、组合论相关的学位论文的）
最后再补充介绍一点上面哈密顿图大师Ore院士：他于1924年博士毕业，3年后的1927年被美国数学会副主席、已在耶鲁大学培养了20多个数学博士的James
Pierpont大师招聘到耶鲁大学