这页说说非常神奇的如下面见前8届诺贝尔经济学奖获得者全部都从事的海南琼州大学去攻读了3年多研究生的运筹学（就如这页见美国诺贝尔经济奖第一人开创的“符号矩阵论”是海南琼大的导师的中国“第一本”研究生用书《组合矩阵论》的分支):
如我的母校华师大以前这运筹学专业研究生的研究方向共4个：组合数学、规划论、组合数学与图论、数理经济--其实它们是运筹学中紧密一体的，因在母校除了我们老师-已再没人搞规划论-而数理经济当然都基于这些数学理论探究揭示经济现象规律而且只有此才能演绎更透彻这才是获那么多诺贝尔奖的深刻根基（其后可能数理经济有一些改变，其中海南琼州大学在里面攻读了3年多的这华南师大中国第一个组合数学研究室的其中许多组合数学与图论的领域海南琼大都曾居世界领先-并如这页第2篇论文处见海南省长的导师是运筹学会理事并也见上面运筹学专业导师柳柏濂教授比他早几届是中国运筹学会理事而上面运筹学专业开创者钟集先生更是早几届是中南运筹学会正理事长前面的首届顾问，这专业也如下面报告者柳柏濂教授的导师Brualdi主撰的《符号可解线性系统矩阵》内容简介说：Samuelson的经济书中阐明这类系统的价值…注:Samuelson是诺贝尔经济奖美国第一人--就如徐光辉校长的博士论文说它是海南琼大的导师的中国“第一本”研究生用书的分支，而处理这类系统的矩阵主要是这里海南琼大曾世界领先的(0,1)矩阵）。
在此先说说属于上面华南师大的运筹学专业的“博弈论”也称“对策论”的作用：就如下面看到的前8届诺贝尔经济奖得主全都做“运筹学”-这是很惊人的罕见的现象！特别是在这些诺贝尔奖工作中起着普遍性基石作用的“匹配理论”-就是我们海南琼州大学在这里第9节做了许多世界领先论文的图论的一个领域，而匹配理论也就来自David Gale和Lloyd Shapley在海南琼州大学曾世界领先的图论某些领域的一个成果（其中第一作者David Gale就是这里和海南琼州大学同任副主编的第5个Katta Murty的博士导师），并如Gale和Shapley的这个使世界各国多人获得诺贝尔经济奖的“匹配理论”也列入我的导师柳柏濂教授去美国和他合作几年的这里第2段Brualdi大师撰著的世界各国研究生必拜读的组合数学第一圣经教材《组合数学引导》因而成为我们这些学子入门洗礼的基本，当然也列入West在1996年出版的《图论导引》的第3章“匹配与因子”、高度评价我们海南琼大“国际先进水平”的林诒勋教授的研究生中国科学院大学副书记兼校长高随祥最近独撰的《图论与网络流理论》第90页最后行求完全二部图稳定匹配算法的4个文献中3个是书都来源于另一个文献即Gale和Shapley的论文还有和海南琼州大学合作多篇SCI论文的美国图论大师Thulasiraman院士的世界名著《图、网络与算法》等的我们图论组合数学书籍），如此Shapley获诺奖时说“我认为我自己是数学家，而这个奖项是颁给经济学者的。我在我的一生中，从来没有上过一节经济学课程”-即在世界各大网见他说“I
consider myself a mathematician and the award is for economics. I never, never
in my life took a course in economics”。这理论可参考作为欧洲数学会的评论员我们海南琼大在欧洲数学会杂志评论其论文的图论大师Lovász主席就撰写世界名著《匹配理论》即《Matching
Theory》就是这里最后部分的匹配理论，而国内的来信高度评价我们海南琼大取得了“国际先进水平”的“一系列创造性成果”的国际知名图论学家林诒勋教授不仅在GL领域排名世界第3也还是我国匹配理论第一权威（如除了上面高校长，林诒勋教授2000年指导的这篇匹配理论博士论文、这篇博士论文、这篇博士论文都是林教授2000年一年内一个人指导出的匹配理论博士论文。林诒勋教授1964年已对A.W.Tucker和A.J.Goldman的线性规划理论独辟蹊径做出突出性研究，可知这A.W. Tucker（塔克）是何等神人！如在这里见他就是开创博弈论而获诺贝尔经济奖的神一样的包揽8项奥斯卡奖的《美丽心灵》主角原形John Nash纳什和上面Gale和Shapley的博士导师（当然“人工智能之父”明斯基Minsky等也是他的博士，而这塔克之厉害更如“非线性规划奠基人——库恩与塔克”等等，它属于上面华南师大的“规划论”，而上面高度评价海南琼大的林诒勋教授独撰的《动态规划》和《线性规划与网络流》2书也是“规划论”的重要著作）。A.W.Tucker的第7个博士Torrence
Parsons就是我们海南琼州大学曾居世界领先的哈密顿图领域的大师，如Parsons的著名哈密顿图论文有论文1、论文2、论文3、论文4、论文5、论文6、论文7、论文8、论文9、论文10、论文11、论文12以及和Faudree校长合作的12等等都是他的很重要的哈密顿图论文，不仅前面A.W. Tucker写纪念Parsons的文章、诺贝尔奖得主人类史上十大天才之一的Paul Erdős大师的纪念说Parsons的逝世是数学界很大的损失、现代图论之父Frank Harary也为他写纪念文章,等等（Paul Erdős和Frank Harary是图论组合数学论文最多的2个人-也是贡献开创性工作最多的人）,而在美国数学评论见这Parsons只有20多篇论文-即他论文不多都得到世界上最伟大的宗师们的致敬-这也有因哈密顿图之何等非常不容易！关于图论，也如A.W.Tucker只有11个博士，并和Parsons的博士论文一样都是做纯图论的还有第4个Maurer和第9个Singleton等，更在维基网看他的2个儿子Alan Tucker和Thomas W. Tucker见都是图论专家），如此本页下面对博弈论等更详细的介绍主要做两点：①先介绍博弈论基本概念和一些关键理论,而最近“诺贝尔经济学奖获得者丛书”一共只选4本博弈论方面的-其中最权威的2本是我们琼州大学的师叔爷的徒孙的,如此,主要基于这2书介绍博弈论；②其后给出以上面两个诺贝尔奖获得者各一篇最天才的工作为主线的演绎（还如推荐琼州大学为海南最高奖的上海市学位办主任束教授的《经济管理数量方法》等书和合作者更早就已撰写上面最近几届连续获得诺贝尔经济奖的中心问题“稳定匹配理论”论文），如最近“3个人因在劳动力市场搜寻与匹配理论及其应用的突出贡献,共同获得诺贝尔经济学奖”-即基于匹配理论和博弈论的诺贝尔奖在这几年是接踵而来，仅隔一年仍授予与匹配理论有关的工作，且所有获奖人都是做与匹配理论相关的工作，对于一个不算大的领域-这在各类诺贝尔奖历史上是罕见的（前面和别处已指出有很多哈密顿圈与博弈论关系密切的论文，也如这里最后见在我主编的杂志发表论文的《图论与组合》主编Mikio Kano就做圈与博弈的论文-主要是哈密顿圈，等等）。
就如我攻读了3年多研究生的上面华南师大运筹学专业的导师柳柏濂教授的这报告给出的数学与诺贝尔奖密切关系的佐证
柳柏濂教授的一本书也使在经济学大师开创的最重要领域居世界前五的神人杂家写了“七律•礼赞数学”诗--我也有柳老师的上面报告中说到的A.
A. cournot的《财富理论的数学原理的研究》这书90年代初出版的中文版。柳老师的这报告显示的“第一届诺贝尔经济奖开…奖者超过一半是数学家”，中间的字看不清楚-应该是开奖至今的获奖者一半是数学家--但从下面前5届获奖者全部都是运筹学或说数学人而感到柳教授的这个统计数字似乎有些保守，如历届诺贝尔经济奖得主中第一届一共2个获奖者Jan Tinbergen（主撰《经济增长的数学模型》等）和Ragnar Frisch都算得是数学家；第二届、第三届都仅一人获奖-分别是Paul A. Samuelson和Simon S. Kuznets并见他俩博士论文的“Subject Classification学科分类”都是“Game theory即博弈论或称对策论”，都属于上面海南琼州大学攻读了3年多研究生的运筹学；第四届2人的Kenneth J. Arrow的也是“Game theory”和John R. Hicks没显示但他一共4个博士中3个都是“Game theory”；第五届唯一获奖的Wassily W. Leontief的也是“Game theory”。
第六届获奖者Friedrich August Hayek也是“Game theory”并他的2个博士之一的Sho-Chieh Tsiang的博士也是“Game
theory”-而Sho-Chieh Tsiang就是“首位获诺贝尔经济学奖提名的华人经济学家”的蒋硕杰（当然这前6届诺贝尔经济奖获奖者有些虽还兼做其它学科-但点击他们的名看到他们的博士论文的第一个学科都是“Game theory即博弈论或称对策论”-就都属于上面海南琼州大学去攻读的运筹学）；
第七届唯一获奖者是L. V. 康托罗维奇--我就曾攻读他开创的一些数学领域，我也有哈佛大学Leon Smolinski列昂×斯摩林斯基选编“东方经济学”之父、“社会主义国家中迄今唯一诺贝尔经济奖获得者L. V. 康托罗维奇”的18篇论文合编为《Essays
in optimal planning最优化规划论文集》一书（中文版由王铁生译商务印书馆1984年出版《最优化规划论文集》）；L. V.
康托罗维奇还写《生产组织与计划中得数学方法》等基于运筹学为工具的经济管理书籍（苏联的诺贝尔经济学奖获得者至今仍仅有他，落后国家经济糟糕更是难有一个）。著名运筹学家并曾被提名诺贝尔经济学奖的Abraham
Charnes和William W. Cooper及A. Henderson合撰《线性规划概论》由林自新等译许国志院士校科学出版社1959年出版等上面这些书我都有。第七届还有另一获奖者Tjalling C. Koopmans也是做“Game theory并见他的2个导师之一是第一届获奖者Jan Tinbergen。
第八届唯一获奖者Milton Friedman也是“Game theory”。
…等等… ！！！
关于经济学与这些领域的关系，还如上面第2届诺贝尔经济学奖得主Paul A. Samuelson、1987年得主Robert M. Solow和哈佛大学大师Robert Dorfman合撰的《Linear
Programming and Economic Analysis线性规划与经济分析》一书（见美国数学评论收录、有杂志的评论）就是这方面经典。
关于这领域-就如这篇博士论文正是研究它的作者1991年在数学社会科学杂志也用二分图论探索它，其后再用图论探索；刚见任经济和工业会议第一委员主席的Cechlárová已发表60篇的近些年的论文多是用图论探索它的；Cheng这十年来也已发表多篇用图论探索的论文；博弈与经济行为杂志这篇也不错，这篇在组合论杂志用有向图处理的论文说感谢计算机鼻祖Knuth，等等。
关于母校华南师大运筹学的4个方向之一的规划论，就如这里7.2.说“六十年代初期，毛主席来山东听过山大运筹学的汇报。山东大学被称为全国运筹学的发源地…”的山东大学《运筹学》国家精品课程的第1本“参考教材”（C. Papadimitriou, K. Steiglitz.
Combinatorial Optimization）就是被这里评价海南琼州大学是国内外一流水平的刘振宏大师翻译1988年出版的《组合最优化》一书（就是这里推荐琼州大学为海南最高奖的上海市学位办主任的合作者的参考文献），而这全国发源地的国家精品课程的第2本参考书是愿意海南琼州大学跟他去澳大利亚做研究的在毛主席来山东之前的1960年在山东做出名震世界的“中国邮路”问题的山东大学运筹学第一个博士导师管梅谷大师主撰的《线性规划》（并协助管大师撰写这书的第2作者郑汉鼎正是这里北京大学数学1953级状元；关于管梅谷教授也如复旦大学管理学院：“我们写下管院3位教授——管梅谷、苏东水、吴立鹏的故事。他们是管院教师的代表”-其实管大师从山东校长任上退下到复旦大学还不到5年就去澳大利亚最大大学担任主席教授至今-却仍受复旦推崇-足见…而以管梅谷大师为首的三大师之二的苏东水可是复旦大学管理学院奠基人中国国民经济管理学会会长等等，而复旦管理学院很厉害如复旦管理学奖是中国管理学界的第一个大奖，中国管理学界的最高奖）。上面已说过的高度评价海南琼大的林诒勋教授独立撰写的《动态规划》和《线性规划与网络流》2本书也是很著名的“规划论”著作。
回到上面要接着说的运筹学的分支-“博弈论”或称对策论，即如此神奇的它究竟是何方神圣？在下就简叙其前世今生和它的一些基石性概念及关键理论：
博弈论又被称为对策论(Game
Theory)既是现代数学的一个新分支，也是运筹学的一个重要学科。博弈论在生物学、经济学、计算机科学和其他很多学科都有广泛的应用（在生物学的作用如见继达尔文之后为进化论作出突破性贡献的第一人的著作和科研）。可观看国内外的博弈论公开课。
博弈的引申义是：在一定条件下，遵守一定的规则，一个或几个拥有绝对理性思维的人或团队，从各自允许选择的行为或策略进行选择并加以实施，并从中各自取得相应结果或收益的过程。有时候也用作动词，特指对选择的行为或策略加以实施的过程。
一个完整的博弈应当包括五个方面的内容：第一，博弈的参加者，即博弈过程中独立决策、独立承担后果的个人和组织；第二，博弈信息，即博弈者所掌握的对选择策略有帮助的情报资料；第三，博弈方可选择的全部行为或策略的集合；第四，博弈的次序，即博弈参加者做出策略选择的先后；第五，博弈方的收益，即各博弈方做出决策选择后的所得和所失。
博弈论早就提出，但其发展成为一门较完善学科的最关键的人物还是靠上面A.W. Tucker（塔克）的博士John Nash纳什，如在百度的“博弈论”就见“1950年～1951年，约翰·福布斯·纳什（John
Forbes Nash Jr）利用不动点定理证明了均衡点的存在，为博弈论的一般化奠定了坚实的基础。纳什的开创性论文《n人博弈的均衡点》（1950），《非合作博弈》（1951）等等，给出了纳什均衡的概念和均衡存在定理。…”
即John Nash纳什在博弈论的上面指出的2项最重要的工作就是这篇论文“Equilibrium
Points in n-Person GamesN人博弈中的均衡点”并在这论文中见到他只感谢一个人即纳什说感谢上面“David
Gale建议利用角谷不动点定理简化证明”（而这David
Gale就是这里和海南琼州大学同任副主编的第5个Katta Murty的博士导师），而纳什的另一项最重要工作就是这篇论文《Non-Cooperative
Games非合作博弈》并John Nash纳什在这篇论文中提出了奠基性的n人非合作有限博弈的模型为：设N={1,2,…n}是局中人的集合，"iÎN，局中人i的策略集是有限集Si={si1,
si2,… simi}，混合策略集是Xi={xi=( xi1, xi2, …ximi); xiki³0，ki=1,2,…mi, å ki=1mi=1}，当局中人i选择策略sikiÎSi时，局中人i得到的支付为实数Ri(si1,
si2,… simi)。记X=Õxi, "x=( x1,
x2, …xn)ÎX，当局中人i选择混合策略xi={xi1,
xi2,… ximi}ÎX（即局中人i以概率xi1选择纯策略si1，以概率ximi选择纯策略simi）时，局中人i得到的期望支付为实数fi( x1,
x2, …xn)= å k1=1mi…åå kn=1mn Õi=1nxiki。"iÎN，记x*=N\{i}, 如果存在x*=( x*1,
x*2, …x*n)ÎX，使"iÎN，有fi( xi,
x*i*)=max ui=Xi fi( ui, x*i*)，则称x*为此n人非合作有限博弈的Nesh平衡点。此时每个局中人都不能通过单纯改变自己的策略而使自己获得更大的利益，这是博弈论的基石。
关于参考书-张维迎由“三联”1996年出版的《博弈论与信息经济学》说“本书是在我为北京大学博士研究生开设课程的讲义的基础上写成的”-如此我拚之--张的博士导师是诺贝尔奖得主James Mirrlees，这书第一、第二、第四章每章第1个文献和第三章居于这文献后的第2个文献都是Drew Fudenberg和Jean Tirole合撰1991年出版的《博弈论》-就如其被公认是“博弈论领域最具权威性的研究生教材”，最近已出这书中文版《博弈论》，这2个作者都是诺贝尔奖得主Eric Maskin的博士生，也是我们琼州大学的师叔爷E.
Moore 的博士Oswald
Veblen的博士Harold Hotelling的博士Kenneth Arrow的博士，在网上可见合撰者之一的Jean
Tirole,在世界经济学家排名第二，他合著被奉为圭臬的《博弈论》-就是这书。另一本是被公认是“博弈论领域中不可多得的教科书”的是2001年也已译为中文版《博弈论:矛盾冲突分析》我也有，作者是罗杰·迈尔森(Roger
Myerson) 的博士导师是前面Kenneth Arrow。还有Robert J.
Aumann独撰的《博弈论讲义》也很有影响。本页主要以琼州大学的师叔爷的几个诺奖徒孙的著作诠释博弈论,当然还有Kenneth
Arrow的和纳什同年一起获诺贝尔奖的博士John C. Harsanyi海萨尼的世界著名《海萨尼博弈论论文集》等也是极品的盛宴极受欢迎并海萨尼就提出处理部完全信息静态博弈的贝叶斯均衡方法，而由它和泽尔滕的完全信息动态博弈子博弈精炼纳什均衡结合，才最终得到不完全信息动态博弈均衡处理方案-特别是精炼贝叶斯均衡。关于图论与博弈论的关系-也可看国际经济学会院士和美国三院院士合写并由北京大学校长助理李晓明翻译的这本最近很知名的书。
简言之，博弈论是二人或多人在平等的对局中各自利用对方的策略变换自己的对抗策略，达到取胜目标的理论，因此常也称“对策论”；从数学处理上讲，博弈论是一种分析工具包，它被设计用来帮助我们理解所观察到决策主体相互作用的现象。这种理论隐含的基本假设是：决策主体追求确定的外部目标（他们是理性的）并且考虑自身的知识或其他决策主体的行为期望（他们推理具有战略性）（博弈的目的当然是取胜，那怎么才取胜？不考虑对方只有两败俱伤，如此，一般来说取胜应建立在各方最大利益之上，所以，它最重要概念是均衡即这学科核心是均衡理论-而均衡理论是建立在不动点定理基础之上，如此在这个网专门概述一些不动点理论。各位多花些时间可更精细地摸到学科的脉搏以及各类条件制约下的博弈）。目前经济学家谈到博弈论主要指的是非合作博弈，“主要研究人们在利益相互影响的局势中如何选择策略使得自己的收益最大，即策略选择问题”，也就是“各方在给定的约束条件下如何追求各自利益最大化，最后达到力量均衡”，博弈的结果不仅取决于某个参与者的行动，还取决于其它参与者的行动。总的来说，如诺贝尔奖得主泽尔腾说“博弈论是使用严谨的数学模型研究冲突对抗条件下的最优决策问题的理论”，用来处理战略博弈参与者最理想行为和决定抉择的均衡，或是帮助有理性的竟争者找到他们应采用的最佳策略”。从起码的基本上讲一个博弈中必不可少的要素包括：参与人(players)、行动(actions)、信息(information)、策略(strategies)、支付(payoffs)、结果(outcome)和均衡(equilibria)，在策略式博弈(完全信息静态博弈)中，一条行动计划表达的总是采取相同的行动，就称之为纯策略；否则就称之为混合策略:
策略式(或标准式)博弈由三种元素组成:参与人集合iΦ，我们设为有限集合{1,2,…I}，对每个参与人i有纯策略空间Si，以及收益函数u i，这一函数对每种策略组合S={ S1，S2，…SI}给出参与人i的von
Neumann-Morgenstern效用u i(s)。我们将频繁将除了某个给定参与人i之外的所有其他参与人称为“参与人i的对手”，标记他们为“-i”。为了避免误解，我们要强调一下这一术语并不意味着其他参与人在试图“击败”参与人i，而应该是每个参与人的目标是最大化他自己的收益函数，这可能会涉及到“帮助”或“损害”其他参与人。对经济学家而言，对策略最让人熟悉的解释可能是价格或产量水平的选择，这分别对应于伯川德和古诺竞争。对于政治学家策，可以是投票或演说台的选择。
双人零和博弈是使得对所有s有åi=12 u i(s)=0的博弈，（这类博弈的关键特征是，效用的总和为常数;将常数设为0是一种标准化）。在一个双人零和博弈中,任何一个参与人的收益都是另一个参与人的损失。这是参与人实际上是纯粹的通常意义上的“对手”的极端情况。尽管这种博弈可适用规整的分析,并在博弈论中得到了广泛研究,然而社会科学中绝大多数让人感兴趣的博弈是非零和的。
通常我们还假设,所有参与人知道策略型的结构,知道他们的对手知道这一结构,知道他们的对手知道他们所知道的,如此直至无穷。也就是,博弈的结构是共同知识,这一概念会在第14章中更为规范地加以考察.
混合策略si是纯策略上的一种概率分布.(我们将混合策略的由来原因推迟到本章的后面部分加以解释)。每个参与人的随机化和他的对手的随机化是统计独立的,混合策略组合的收益是对应纯策略收益的期望值.(我们假设纯策略空间有限的原因之一就是为了避免测度
论方面的复杂问题)。我们将记参与人i混合策略的空间为åI，其中si(si)是si赋予si的概率。混合策略组合的空间记为å= x iåI，它的元素是s，混合策略si的支撑集si赋予了正概率的纯策略的集合,组合s下参与人i的收益是åsÎS(Õj=1Isj (sj)) ui(s)。
我们将频繁地希望讨论在保持局中人对手的策略不变时单个局中人i的策略的改变, 此我们令
s-iÎS-i
标记除了i之外所有局中人的策略选择,并用
(s¢-i,s-i) 表示组合{ s1，…si-1，s¢-i，si+1，，…sI}
类似地, 对于混合策略我们令
(s¢-i,s-i)={ s1，…si-1，s¢-i，si+1，，…sI}
定义1.1纯策略si对于局中人i来说是被严格优超的,如果存在s¢-iÎåi,使得
ui(s¢-i,s-i)>ui(si,s-i)对所有s-iÎS-i都成立.
策略si是被弱优超的,如果存在s¢-i使得上式中的不等式以弱不等式形式成立,而且至少对一个s-i不等式严格成立。
纳什均衡是一种策略组合，使得每个参与人的策略是对其他局中人策略的最优反应。
定义1.2 混合策略组合s*是一种纳什均衡，如果对于所有参与人i有ui(si*,s-i*)≥ui(si,s-i*), siÎS.
纯策略纳什均衡是满足同样条件的纯策略组合。由于期望效用是“概率的线性函数”,所以如果一个参与人在纳什均衡中使用了非退化的混合策略(赋予多于一个的纯策略以正概率),则他对于他赋予正概率的所有纯策略会是无差异的。[这种线性也就是为什么在上式中检查是否没有参与人具有有利可图的纯策略偏离就足够了的原因]。
如果一种纳什均衡中每个局中人具有对对手策略的唯一最优反应那么这种纳什均衡被称为是严格的(Harsanyi,1973b)。也就是说,当且仅当它是一种纳什均衡而且是一种严格均衡,而且对于所有i和所有si*¹si,有ui(si*,s-i*)>ui(si,s-i*),
刚见四川大学等都接受上面诺贝尔奖得主所说“博弈论是使用严谨的数学模型研究冲突对抗条件下的最优决策问题的理论”。那么怎样的决策才是最优的呢？也就是力量的最优均衡要如何定义才合理？显然决策过程通常是一个随机动态过程，既有静态又有动态之下的决策，所以决策只能针对特定约束条件下的数学经济模型进行（这里最后有本《…决策与哈密顿圈》专著。.刚见担任北京大学国家发展研究院常务副院长等一大堆职务的巫和懋教授在北京大学退休演讲实录说"后来的几十年里，我还是坚持了下来，直到现在的研究方向还是一般均衡和博弈论” ,所以,这是基本的方向和问题http://www.doc88.com/p-743552016813.html “当你把一些事情当做游戏Game时，出现任何的结果你都会充分享受到它的乐趣”,易以如此吗
)
参与人i的行动或活动以ai表示，是他所能做的某一选择。(Rasmusen)
参与人i的行动集Ai，是其可以采用的全部行动的集合。
一个行动组合(action profile)是一个由博弈中的n个参与人每人选取一个行动组成的有序集合，a={ai}, (i=1, 2,…,n)。
参与人i的策略si是如下的一项规则：给定其信息集，该策略决定在博弈的某一时点是他选择何种行动。
参与人i的策略集或策略空间Si={si}是其可行策略的集合。
策略组合(strategy profile) s=(s1, s2,…,sn)是一个由博弈中的n个参与人每人选取一个策略组成的有序集。
参与人i的支付(payoffs) pi (s1, s2,…,sn)表达这样的意思：
（1）在所有参与人和自然都选择各自的策略且博弈已经完成后，参与人i获得的收益。
（2）参与人i获得的期望效用，该期望效用是参与人i以及其他参与人所选择的策略的函数。
一个博弈的结果(outcome)是指在博弈结束之后，建模者从行动、支付和其他变量的取值中所挑选出来的他所感兴趣的要素的集合。
均衡s*=(s*1, s*2,…,s*n)是指由博弈中的n个参与人每人选取的最佳策略所组成的策略组合。
参与人i在博弈的任何特定时点的信息集(information set) wi是指在博弈树中他认为是可能实际结的不同结的集合，而参与人i靠直接观察是无法从中区分的。
结(node)是指在博弈中某一参与人或自然采取行动的时点，或者博弈结束的时点。(Rasmusen, 2.3)
枝(branch)指在一个特定结上某一参与人的行动集中的一个行动。
扩展式与博弈树
扩展式(extensive form)是对博弈的一种描述，它由下述几点组成：
（1）由结和枝组成的整体结构，即由单和起始结开始直至终点结，中间无闭合的圈。
（2）有对哪能个结点属于哪个参与人的说明。
（3）在自然作选择的结上，有自然选择不同枝的概率。
（4）有划分每个参与人的结的信息集。
（5）在每一个终点结上都有对每一个参与人的支付。
博弈树(game tree)除（5）以外都和扩展式一样，在博弈树中第（5）点变为：（5*）在每一个最终点结上都有结果。
ui表示参与人i的收益，ui
(s1, s2,…,sn)即为参与者选择策略(s1, s2,…,sn)时参与人i的收益。（Gibbons）
因此，在一个n人博弈的标准式表述中，参与人的策略空间为S1, S2,…,Sn，收益函数为u1, u2,…,un，我们用G={S1, S2,…,Sn; u1, u2,…,un}表示此博弈。
在一个n个参与人的标准式博弈G={S1, S2,…,Sn; u1, u2,…,un}中，如果策略组合{s*1, s*2,…,s*n}满足对每一参与人i，s*i是（至少不劣于）他针对其他n-1个参与人所选策略{s*1, s*2,…s*i-1, s*i+1,…s*n}的最优反应策略，则称策略组合{s*1, s*2,…,s*n}是该博弈的一个纳什均衡。即：ui{s*1, s*2,…s*i,…,s*n}≥ui{s*1, s*2,…si,…,s*n}
博弈与解 （Osborne, Rubinstein）
博弈是对战略相互作用的描述，它包括对参与人所能采取行动的约束和参与人的兴趣，但不强调参与人实际采取的行动。解是对结果的系统描述，这种结果可能产生与一组博弈。博弈论给出各种博弈的合理解，并且考察它们的性质。
非合作博弈与合作博弈
在所有博弈论模型中，基本的实体是参与人(player)，参与人可被解释为单个或一组作某项决策的人群。一旦定义了参与人的集合，我们便可区分两类模型：一类是以单个参与人的可能行为集合为基本元素；另一类是以参与人群的可能的联合行动集合为基本元素；有时前一类模型称为“非合作型”，第二类模型称为“合作型”。
战略博弈与扩展博弈
战略博弈是这样一种情形的模型：每个参与人选择且仅选择一次行动计划，并且所有参与人的决策是同时做出的（也就是说，在选择行动计划时每个参与人并不知道其他参与人的行动计划）。与此相反，扩展博弈模型则强调事件可能顺序：每个参与人不仅可以在博弈时开始时考虑自已的行动计划，并且在他不得不做决策的任何时候，也可以考虑他的行动计划。
完全与不完全信息博弈
参与人对任何其他人的行动都了解，参与人可能不太清楚别人的行动
排除不确定因素后下面的要素便组成一个理想选择模型：
一个行动(action)集合A，决策主体从A里做一个选择。
一个上述上为的可能结果(consequence)集合C。
一个结果函数(consequence function)g: A→C，g使每个行动与一个结果相对应。
一个集合C上的偏好关系(preference relation) » （一个完全的、可传递的，自反的，二元关系。我电脑里找不到常用的这个符号，就用»吧）。
为了对不确定情形下的决策建模，几乎所有的博弈论都使用了von Neumann和Morgenstern（1944）及 Savage（1972）的理论。也就是结果函数是随机的并被决策主体已知（即，对每一个aÎA，结果g (a)是集合C上的不确定事件）（概率分布），那么决策主体就被认为是为了最大化一个函数期望值（v-N-M效用）去行动，每个函数给每个结果赋一个值。如果行动与结果间的随机联系未给定，那么决策主体就被认为是好像按他心中的一个（主观的）概率分布去行动，这个分布决定了任何行动的结果。在这种情形下决策主体被认为将这样去行动，即他心中有一个“状态空间”(state space) W，一个W上概率测度，一个函数g: A´W→C，和一个效用函数u: C→R；他被假定是为考虑到概率测度去选择一个行动a来最大化期望值u(g (a, w ) )。
术语与记号 （Osborne, Rubinstein）
每个参与人对应一个值做为一个组合，用(xi )iÎN表示。对任一个组合x=(xj )jÎN，和任一iÎN，我们令x--i为除i以外所有参与人的组合。即x--i=(xj )jÎN\{i}，x-i是参遇人i的一个值，我们用（x--i, x-i）表示组合(xi )iÎN。如果对每个iÎN，Xi是一个集合，则我们用X--i表示集合´ jÎN\{i}Xj，
一个战略博弈包含：
有限集合N（参与人集合）
对每个参与人iÎN有一非空集合aÎAi（对每个参与人i有效的行动集合）
对每个参与人iÎN，一个建立在集合A=´jÎN Aj上的偏好关系»i（参与人i的偏好关系）。
如果每个参与人i的行动集合Ai是有限的，则博弈是有限的
在一个广泛的范围里，战略博弈中参与人i的偏好关系»i，可以用支付函数（payoff function）ui: A→R（也称为效用函数）来表示，该函数的意义是只要a»ib，就有ui(a)≥ui(b )我们称这一函数值为支付（效用）。我们经常通过给定一个支付函数来确定一参与人的偏好关系，就此而言我们将博弈表示成< N, (Ai ), (ui
)>，而不是< N, (Ai ), (»i)>。
因均衡理论是建立在不动点定理基础之上，而不动点理论已极其丰富，在这个网专门概述一些不动点理论。如
对非合作博弈：x*ÎX是非合作博弈的Nash平衡点的充分必要条件是x*ÎX是最佳回应映射F: X→P0(X)的不动点。
（其中，n人非合作博弈定义为：设N={1,2,…n}是局中人的集合，"iÎN，局中人i的策略集是Xi，X=Õi=1n Xi，fi: X®R是局中人i的支付函数，如果存在x*=(x1*, x2*,…xn*)ÎX,使"iÎN，有
fi(xi*, x-i*)=max uiÎXi fi(ui, x-i*)，
则称x*是此n人非合作博弈的Nash平衡点，此时每个局中人都不能通过单独改变自已的策略获得更大的利益。其中-x*=N\{i}）
再如对广义博弈：x*ÎX是广义博弈的平衡点的充分必要条件是x*ÎX是最佳可行回应映射F: X→P0(X)的不动点。
（广义博弈的定义：设N={1,2,…n}是局中人的集合，"iÎN，局中人i的策略集是Xi，X=Õi=1n Xi，fi: X®R是局中人i的支付函数，Gi: Xi ® P0(Xi)是局中人i的可行策略映射（它表明当局中人i以外的其他n-1个局中人选取策略x-iÎX-i时，局中人i只能在Gi(x-i)Ì Xi中选取策略），如果存在x*=(x1*, x2*,…xn*)ÎX,使"iÎN，有xi*ÎGi(x-i)，且fi(xi*,
x-i*)=max uiÎGi(x*-i) fi(ui, x-i*)，则称x*是此n人广义博弈的平衡点）
下面只给出均衡理论最常用的不动点定理：
Kakutani的不动点定理：令X是Rn的一个紧凸集，令f: X→X是一集值函数且满足：
对所有xÎX，集合f(x)非空且凸；
f(x)的图形是闭的（亦即：对所有序列{xj}和{yj}，对所有n有ynÎf(xn)，yn®y，xn ®x，我们有yÎf(x)）；
则存在x*ÎX，满足x*Îf(x*)。
战略博弈< N, (Ai ), (»i)>的纳什均衡是一个行动组合a*ÎA，a*的性质是：对每一个参与人iÎN，我们有
(a*-i , a*i) »i (a*-i , ai)，对所有aiÎAi。
纳什均衡是一个策略组合，使得每个参与人策略是对其他参与人的策略的最优反应。（Fudenberg,
Tirole。和Osborne, Rubinstein的是一样的，只是a*-i的位置先后不同）
混合策略组合a*是一种纳什均衡，如果对所有参与人i均有
ui(a*i , a*-i) ≥ui(si , a*-i)，对所有siÎSi。
关于串通博弈和非串通博弈，这是涉及垄断问题，因此有些串通是要被禁止的。在串通博弈中，在进入阶段中只有一个局中人进入时，进入阶段之后才是供给阶段，否则进入阶段之后是谈判阶段。如果在谈判阶段中没有达成有约束力协定，则谈判阶段之后是供给阶段。一旦达到供给阶段，则其支付和非串通博弈的情况相同。非串通博弈解的特性：最终所获得的所有支付的总和称为联合古诺利润，记为PC=(m-1)(4/m2-1/s)M；非串通博弈解的特性：在0£s£1情形中，没有人进入，所有支付的总和为0。s>1时，获得的所有支付的总和称为联合卡特尔利润，记为PM=(1-n/s)M (s>1) ；
假设(s, M)具有连续分布，令f(s, M)为(s,
M)的概率密度。这种密度应理解为s³1上的条件概率密度，因为我们只对在式s³1意义上的有利可图的市场感兴趣。我们假设f定义在有界闭区间上，并在这一区域是有界的，所以存在常数s-和M-，使得f(s, M)在以下矩形之外为0。显然，如果希望在两种博弈模型的框架之内讨论，则必须假设上限s-<N，否则缺乏潜在进入者造成的进入限制的情况就会出现。毛利润机会的上限M-则几乎不需要进行任何验证。我们只感兴趣PC和PM的期望值E(PC)和E(PM)为：E(PC)=ò1s-ò
（下面是纳什获得1994年诺贝尔经济学奖的最天才的论文《非合作博弈》«纳什均衡）（看“博弈论”的介绍见说“纳什-Nash利用不动点定理证明了均衡点的存在，为博弈论的一般化奠定了坚实的基础。纳什的开创性论文《n人博弈的均衡点》《非合作博弈》”，并在博弈论中多次提到“纳什均衡”对博弈论的奠定性作用。这两篇论文的英文原文见《n人博弈的均衡点》《非合作博弈》，前文仅一页也好理解，后文也基本包含前文，所以，下面只翻译后文《Non-Cooperative Games--非合作博弈》）
Von Neumann和Morgenstern在他们的《博弈论与经济行为》一书中已创造出非常成熟的二人零和博弈理论，这书也包含n人合作博弈理论。这理论是基于博弈的参与人组成的多样的联盟之间关系的分析。
与此相反，我们的理论是基本于联合的缺失，也就是假设每个参与人独立地行动，不与其他任何人合作与交流。
均衡点概念在我们的理论中是基本要素，这概念是二人零和博弈解的概念的一般化。它得出二人零和博弈均衡点的集合是所有成对的对立的“好策略”的集合。
在下面各节中，我们要定义均衡点，并证明非合作博弈至少存在一个均衡点。我们也要介绍非合作博弈的可解和强可解概念，并证明关于可解博弈均衡点集合的几何结构的定理。
作为我们的理论应用的一个例，我们求出一个简单的三人扑克博弈的解
在这节我们定义本文的基本概念，并建立标准的术语和记号，重要的定义都先用小标题说明所概念的定义。非合作的思想是内在的，并非明晰的，下面我们一一进行介绍。
用下标i,j,k代表参与人，a,b,g代表一个参与人的不同纯策略。Si ,ti, ri代表混合策略；pia代表第i个参与人的第a个纯策略，等等。
支付函数Pi，在上面定义的有限博弈中使用，是混合策略n元组合的惟一扩充，它对每个参与人的混合策略都是线性的[n元线性]。这个扩充，我们用Pi表示，，记做Pi(s1, s2,…,sn)。
因此，均衡点是一个n元组合$，使得在其他参与人的策略给定的情况下，每个参与人的混合策略都最大化他的支付。所以，每个参与人的策略是对其他人的最优反应。有时，我们将均衡点简记为eq.pt。
我们称混合策略si使用了纯策略pia，如果si=åbcibpib，cia>0。如果$=(s1, s2,…,sn)且si使用了pia，我们也称$使用了pia。
max对所有rj[Pi($; ri)]= maxa[Pi($;pia)] （2）
我们定义Pia($)= Pi($;pia)。那么，我们得到下面$是均衡点的充分必要条件：
si¢=(si+åa j ia($)pia)/ (1+åa j ia($))
首先考虑任意的n元组合$。在$中，第i的参与人的混合物策略si使用他的确定纯策略。这些策略中的某一个，如pia，一定是“最少收益的”，满足Pia($)£Pi($)，这使得j ia($)=0。
如果这个n元组合$在T下是不动点，那么si中使用pia的比例在T中是非减的。因此，对于所有的b，j ib($)一定是0，以防止si¢的分母超过1。
反之，如果$是均衡点，那么所有的j都不存在，使得$是T下不动点。
因为n元组合空间满足Brouwer不动点定理，所以T至少存在一个不动点$，它是均衡点。
博弈的自同构(automorphism)，或对称(symmetry)是它的纯策略的一个排列，它满足下面给出的条件。
如果两个策略属于一个参与人，那么它们一定是属于一个参与人的两个策略。因此，如果f是纯策略的排列，那么会导出参与人的排列y。
排列f具有混合策略的惟一线性推广。如果si=åaciapia，我们定义：(si)f=åacia(pia)f
f到得然显广推的略策合混对C的略策合混对n做记也们我。广推的合组元C。
证明：首先我们注意到si0=åapia/åa1有性质(si0) f= sj0，j=if，所有n元组合$0=(s10, s20,…,sn0)是任何C下的不动点；因此，任何博弈至少有一个对称的n元组合。
如果$=(s1, s2,…,sn)，t=(t1, t2,…,tn)是对称的，那么
($+t)/2=((s1+t1)/2, (s2+ t2)/2,…, (,sn+tn)/2) 也是对称的，因此$C=$« sj= (si)
f，其中j=if，因此有：
(sj+ tj)/2=( (si)j +(ti)j )/2=( (si +ti)/2)j 从而有：
这证明对称n元组合集合是n元组合空间的凸子集，因为它显然是闭的。
因为这个集合满足不动点定理，所以一定存在对称的不动点$，它也是对称的均衡点。
这里我们定义解，强解和次解。非合作博弈不一定总有解，但如果有解，一定惟一。强解是具有特殊性质的解，次解总是存在，并具有解的许多性质。
记Si为第i个参与人的混合策略的集合；Q是混合策略n元组合的集合。
(t;
ri)ÎQ且$ÎQ®($; ri)ÎQ，对于所有i
（5）
这称作可交换(interchangeability)条件。可解博弈的解是均衡点Q的集合。
$ÎQ且Pi ($; ri)=Pi ($)®($; ri)ÎQ
在可解博弈中，令Si是所有混合策略si的集合，满足对某些t，n元组合(t;
ri)是均衡点（si是某个均衡点的第i个分量）。我们称Si为第i个参与人的均衡策略集合。
如果Q是博弈均衡点集合的子集，且满足条件式（1）：并且如果Q是相对于这个性质最大化的，那么我们称Q是次解。
对任意次解Q，我们定义第i个要素集合（factor set），Si，是满足对某些t，Q包含(t; ri)中的所有si的集合。
注意一个次解，如果惟一，一定是解。它的要素集合是均衡策略的集合。
定理3 一个次解，Q是所有n元组合(s1, s2,…,sn)的集合，满足每个siÎSi，这里Si是Q的第i个要素集合。几何上，Q的它的要素集合的乘积。
定理4 一个次解的要素集合S1, S2,…,Sn作为混合策略空间子集，是闭凸的。
证明：考虑2点：（a）如果si和s¢iÎSi，那么si*=(si+s¢i)/2ÎSi（b）如果si#是Si极限点，那么si#ÎSi。
定理5 可解博弈的均衡策略集合S1, S2,…,Sn，是各自混合策略空间的凸多面体子集。
（下面是Lloyd Shapley2012年获得诺贝尔经济学奖的主要论文《n人博弈的价值》≈Shapley值）
我们只处理博弈G的特征函数；实值集值函数v(S)是从I的子集S到实数域的映射v: S ÍI→R，并满足
v(Æ)=0
(论文上只写0即v(0)=0，不知道是否空集Æ，这里有疑虑)
(1)
v(S)³v(S∩T)+v(S∩(I-T)) (所有S, TÍ I)
(2)
称博弈G是“inessential”当且仅当（2）式总取等号
当（2）式取S=I并取等号时，v称为constant-sum（常和）即v(I)³v(I∩T)+v(I∩(I-T)) (所有TÍ
I)。
当对非Æ和I的某T,（2）式总取等号，则v称为decomposable(可分解的)。若这样的T是只是一个参与人，则T称为dummy (挂名代表？)。
是两博弈G¢和G²的直和，它们想个参与人集合I¢和I²，由下面规则获得：
v(S)=v¢ (S∩I¢)+v²(S∩I²) (所有SÍ I=I¢∪I²)
(3)
如果I¢∩I²=Æ，则G是G¢和G²的composaition（合并）：
The scalar multiple 数量的倍G¢=bG的v¢(S)
博弈G的值我们用向量f=（fi）表示，即f和各参与人i ( iÎI)的实数（一utility）fi相关，
fi F=i（v(Æ…,)v(S…,)v(I)）F=i [G]。
v¢² (S)= v(S-{i})+ v({i}) （若iÎS）；v¢² (S)= v(S) （若iÏS）
由式 (3)。但因为i是一dummy，v¢² 和v是identical（等同），和有G¢²=G。由公理5和情况（32）（此情况看英文论文），我们有
引理2 Fi在各v(S)情况中是线性的（separately）。
v的载体的任何扩展集（superset）仍是的载体。载体的使用避免了通常的根据参与人数量对博弈的分类。任何载体外的参与人对博弈没有直接影响，因为他们对任意联盟都没有贡献。我们将讨论拥有有限载体的博弈。
令Õ(
I)为I的排列的集合，也就是，I在它本身上一对一映射。如果pÎÕ( I)，那么记pS为S在p下的像，我们定义函数pv：
如果v是一个博弈，那么博弈pv，pÎÕ( I)，可以被看作是与v一致的“抽象博弈”。与合并不同，博弈的加法运算不能推广到抽象博弈。
用博弈v的值f[v]，我们考虑一个函数，它与U中每个的实数fi[v]相关，并且满足下列公理。因此提供了一个可加集值函数（非基本博弈）v-：
证明：由iÏN。N和N∪(i)是的载体；且v(N)=
v(N∪(i))。因此由公理2知，fi[v]=0。
vR(S)=1（当SÊR）；vR(S)=0（当S⊈R）
(6)
下面，我们用r, s, n, …分别代表R，S，N，…中元素的个数。
fic[vRc =]r当（iÎR；）fic[vR
证明：考虑R中i和，选择pÎÕ( I)满足pR=R和pi=j。则有pvR= vR，因此，由公理1知：fj[cvR]=fi[cvR]
又公理2知：c=cvR(R)= åjÎRfj[cvR]=rfi[cvR]
cR(v)= åTÍR (-1)r-tv(T)
(0<r<¥)
(8)
对所有SÍU和v的任意有限载体N成立。如果SÍU，由（6）和（8）式，式（9）变为
v(S)=åRÍSåTÍR (-1)r-tv(T) =åTÍS[år=ts (-1)r-t(s-t r-t) v(T)
若s=t，则括号中的表达式为0，所以我们得到v(S)=
v(S)。由式（3），一般地，有
v(S)=v(N∩S)= åRÍN,R≠0 cR(v) vR(N∩S)= åRÍN,R≠0 cR(v) vR(S) 证毕
注：容易证明，若R没有包含在v的任何一个载体中，则cR(v)=0。
公理3的一个直接推论是，如果v, w和v-w为全部博弈，f[v-w]
=f[v]-f[w]。因此，我们应用引理2到引理3的表达式，得到公式
fi[v=] åRÍ,NiÎR cR(v)c (有所iÎN) (10)
fi[v=] åSÍ,NiÎS ]!n!)s-n(!)1-s([v(S) -
åSÍN,SÏi ]!n!)1-s-n(!s(v(S) (有所iÎN) (11)
定理 对任意具有有限载体的博弈，存在满足公理1-公理3的惟一值函数，由下面公式给出
fi[v=] åSÍN gn(s([) v(S-) vR(-S(i])) (有所iÎI) (13)
因最后的Shapley教授的这篇文章和前一篇之间本来留2行空位，可上传后竟没有空位，一些符号等的位置更还没有上传竟已发生变化！因此我要弄清楚准确位置又得重新看他的论文。不过前面的没有变)
我的网首页见美国哈佛大学经济学系博士后说今年两个人获得诺贝尔经济学奖是因发展匹配理论。这哈佛博士后是纯经济学人，他本科硕士博士的学习工作和获得中国经济学唯一优秀博士论文都是纯经济学的，却肯定今年获得诺贝尔奖的博弈论是因发展匹配理论。关于匹配理论，我在欧洲数学会杂志评论的图论学家Lovász主席就有名著《匹配理论》，特别是，评价说琼州大学取得了“国际先进水平”的“一系列创造性成果”的国际知名图论学家林诒勋教授不仅在GL领域排名世界第3也还是我国匹配理论第一权威（如林教授2000年指导的这篇匹配理论博士论文、这篇博士论文、这篇博士论文都是林教授2000年一年内一个人指导出的匹配理论博士论文。林诒勋教授1964年已对A.W.Tucker和A.J.Goldman的线性规划理论独辟蹊径做出突出性研究，看这里见这A.W. Tucker也曾指导出开创博弈论获诺贝尔经济奖的纳什和今年诺贝尔经济奖获得者Lloyd Shapley-他俩都是因博弈论工作而获奖。A.W.Tucker的第7个博士Parsons教授就是哈密顿图大师，Parsons的著名哈密顿图论文有论文1、论文2、论文3、论文4、论文5、论文6、论文7、论文8、论文9、论文10、论文11以及和Faudree校长合作的12等等都是哈密顿图论文。基于林诒勋教授发展的A.W.Tucker有上面两个获得诺贝尔奖的博士，也因为他们都是哈密顿图大师Parsons的师兄（A.W.Tucker只有11个博士而和Parsons的博士论文一样都是做纯图论的还有第4个Maurer和第9个Singleton等），如此本介绍主要做两点：①我先给出博弈论一些基本的概念；②其后给出上面两个诺贝尔奖获得者各一篇最天才的工作（我仅看了博弈论这么一些概念和2篇论文--时间也有限就仅此而已吧。关于上面林教授的工作，推荐琼州大学为海南最高奖的上海市高教处束处长的线性规划的最后一章有博弈论）。这里也说“彼得.戴蒙德、戴尔.莫滕森和克里斯托弗.皮萨里德斯三人因在劳动力市场搜寻与匹配理论及其应用的突出贡献,共同获得2010年诺贝尔经济学奖”-即基于匹配理论和博弈论的诺贝尔奖在这几年是接踵而来，仅隔一年仍授予与匹配理论有关的工作，且所有获奖人都是做与匹配理论相关的工作 这在各类诺贝尔奖历史上可能绝无仅有，如此匹配理论这几年必将更繁荣昌盛（与之密切的博弈论自1994年以来的短短22年间也已六次获诺贝尔经济学奖--共有15个博弈论专家得到诺贝尔经济学奖）。当然本人已非年轻，条件也有限，对自已能做的只能是在以前长期打下深厚基础理论和奠基世界前瞻性工作的学科继续前进了，要开拓其它繁荣昌盛的新学科只有寄托在敢于创新富于开拓的有经费的后来者身上了。（前面已说有很多哈密顿圈与博弈论关系的论文，也有这里最后说在我主编的杂志发表论文的SCI杂志《图论与组合数学》主编Mikio Kano就做圈与博弈的论文-即哈密顿圈）
Schauder不动点定理：如果全连续算子A映射Banach空间E内有界闭凸集S于其自身，那么这个映象的不动点存在，即存在xÎS使Ax=x。（《泛函分析概要》刘斯铁尔尼克和索伯列夫著第276页）
Banach不动点定理：设T是完备距离空间(X, r)到自身的压缩映射，则存在唯一xÎX，使得T x=x，即T在X上存在唯一不动点（实变函数与泛函分析-曹广福和严从荃。推论：设T是完备距离空间(X, r)到自身的映射，且存在自然数n使Tn是压缩映射，则存在唯一xÎX，使得T x=x，即T在X上存在唯一不动点）。
Brouwer不动点定理：设B是n维欧氏空间Rn中的闭单位球，又设T: B→B是一个连续映射，那么T必定有一个不动点xÎB（《泛函分析讲义》张恭庆和林源渠。推论：设B是n维欧氏空间Rn中的一个紧凸子集，又设T: C→C是连续的，那么T必有一个C上的不动点）
Schauder不动点定理：设C是线性赋范空间B*维中的一个闭凸子集，又设T: C→C连续且T(C )列紧，则T在C上必有一个不动点（《泛函分析讲义》张恭庆和林源渠。推论：设C是线性赋范空间B*维中的一个有界闭凸子集，又设T: C→C是紧的，则T在C上必有一个不动点）。
Lefschetz不动点定理：设X是可剖分空间，f: X→X是连续映射，如果Lefschetz数L(f)≠0，则f有不动点（《基础拓扑学讲义》尤承业），其中Lefschetz数L(f):=∑q=0dimX(-1)q
tr(f.q)
Schauder不动点定理：如果全连续算子A映射Banach空间E内有界闭凸集S于其自身，那么这个映象的不动点存在，即存在xÎS使Ax=x。
1922年巴拿赫推广到度量空间的巴拿赫不动点定理，1930年巴拿赫的师弟Schauder得到拓扑向量空间的不动点定理。1941年,Kakutani把
令U是参与人的集合，定义一个博弈是从U的子集到实数域的任何超可加(superadditive)的集值函数(set-function)v，因此
v(S)³v(S∩T)+v(S-T) (所有S, TÍU)
(2)
v的载体的任何扩展集（superset）仍是的载体。载体的使用避免了通常的根据参与人数量对博弈的分类。任何载体外的参与人对博弈没有直接影响，因为他们对任意联盟都没有贡献。我们将讨论拥有有限载体的博弈。
令Õ(U)为U的排列的集合，也就是，U在它本身上一对一映射。如果pÎÕ(U)，那么记pS为S在p下的像，我们定义函数pv：
如果v是一个博弈，那么博弈pv，pÎÕ(U)，可以被看作是与v一致的“抽象博弈”。与合并不同，博弈的加法运算不能推广到抽象博弈。
用博弈v的值f[v]，我们考虑一个函数，它与U中每个的实数fi[v]相关，并且满足下列公理。因此提供了一个可加集值函数（非基本博弈）v-：
证明：由iÏN。N和N∪(i)是的载体；且v(N)=
v(N∪(i))。因此由公理2知，fi[v]=0。
vR(S)=1（当SÊR）；vR(S)=0（当S˾R）
(6)
下面，我们用r, s, n, …分别代表R，S，N，…中元素的个数。
fic[vRc =]r当（iÎR；）fic[vR
证明：考虑R中i和，选择pÎÕ(U)满足pR=R和pi=j。则有pvR= vR，因此，由公理1知：fj[cvR]=fi[cvR]
又公理2知：c=cvR(R)= åjÎRfj[cvR]=rfi[cvR]
cR(v)= åTÍR (-1)r-tv(T)
(0<r<¥，)
(8)
对所有SÍU和v的任意有限载体N成立。如果SÍU，由（6）和（8）式，式（9）变为
v(S)=åRÍSåTÍR (-1)r-tv(T) =åTÍS[år=ts (-1)r-t(s-t r-t) v(T)
若s=t，则括号中的表达式为0，所以我们得到v(S)=
v(T)。由式（3），一般地，有
v(S)=v(N∩S)= åRÍN,R≠0 cR(v) vR(N∩S)= åRÍN,R≠0 cR(v) vR(S) 证毕
注：容易证明，若R没有包含在v的任何一个载体中，则cR(v)=0。
公理3的一个直接推论是，如果v, w和v-w为全部博弈，f[v-w]
=f[v]-f[w]。因此，我们应用引理2到引理3的表达式，得到公式
fi[v=] åRÍ,NiÎR cR(v)c (有所iÎN) )
fi[v=] åSÍ,NiÎS ]!n!)s-n(!)1-s([v(S) -
åSÍN,SÏi ]!n!)1-s-n(!s(v(S) (有所iÎN) )11(
定理 对任意具有有限载体的博弈，存在满足公理1-公理3的惟一值函数，由下面公式给出
fi[v=] åSÍN gn(s([) v(S-) vR(-S(i])) (有所iÎU) )31(
因为s是正数，博弈以概率1在有限次后结束，因为对于任何整数t，t步以后博弈还没有停止的概率不会超过(1-s)t。
支付在整个博弈过程中进行：在状态k，无论喝时，只要选择方案为i，j，第一个参与人从另一参与人那里得到的支付为aijk。如果我们定义上界M：
pkl=(pijkl | i=1,2,…, mk; j=1,2, …, nk)
Al=(ai,jk | i=1,2,…, mk; j=1,2, …, nk)
pijkl ³0，|ai,jk |£M，ål=1N pijkl £1-sijk£1-s<1
指定一个起始状态就得到一个特定的博弈Gk。术语“随机博弈”指的是全集G={Gk| k=1,2, …,N}
x®=(x1, x2,…,xN) xk=(xk1, xk2,…,xkmk)
第二个人也可以用这样的方式表达。不需要变化，这种表达方式适用于G中的所有博弈。
注意平稳策略通常不是纯平稳策略（所有的xki为0或1）的混合，因为行为策略中的概率一定是不相关的
用下标i,j,k代表参与人，a,b,g代表一个参与人的不同纯策略。Si ,ti, ri代表混合策略；pia代表第i个参与人的第a个纯策略，等等。
支付函数Pi，在上面定义的有限博弈中使用，是混合策略n元组合的惟一扩充，它对每个参与人的混合策略都是线性的[n元线性]。这个扩充，我们用Pi表示，，记做Pi(s1, s2,…,sn)。
因此，均衡点是一个n元组合z，使得在其他参与人的策略给定的情况下，每个参与人的混合策略都最大化他的支付。所以，每个参与人的策略是对其他人的最优反应。有时，我们将均衡点简记为eq.pt。
我们称混合策略si使用了纯策略pia，如果si=åbcibpib，cia>0。如果z=(s1, s2,…,sn)且si使用了pia，我们也称x使用了pia。
max对所有rj[Pi(z; ri)]= maxa[Pi(z;pia)] （2）
我们定义Pia(z)= Pi(z;pia)。那么，我们得到下面z是均衡点的充分必要条件：
si¢=(si+åa j ia(z)pia)/ (1+åa j ia(z))
首先考虑任意的n元组合z。在z中，第i的参与人的混合物策略si使用他的确定纯策略。这些策略中的某一个，如pia，一定是“最少收益的”，满足Pia(z)£Pi(z)，这使得j ia(z)=0。
如果这个n元组合z在T下是不动点，那么si中使用pia的比例在T中是非减的。因此，对于所有的b，j ib(z)一定是0，以防止si¢的分母超过1。
反之，如果z是均衡点，那么所有的j都不存在，使得z是T下不动点。
因为n元组合空间满足Brouwer不动点定理，所以T至少存在一个不动点z，它是均衡点。
博弈的自同构(automorphism)，或对称(symmetry)是它的纯策略的一个排列，它满足下面给出的条件。
如果两个策略属于一个参与人，那么它们一定是属于一个参与人的两个策略。因此，如果j是纯策略的排列，那么会导出参与人的排列y。
排列j具有混合策略的惟一线性推广。如果si=åaciapia，我们定义：(si)j=åacia(pia)j
j到得然显广推的略策合混对C的略策合混对n做记也们我。广推的合组元C。
首先我们注意到si0=åapia/åa1有性质(si0)j=
sj0，j=iy，所有n元组合z0=(s10, s20,…,sn0)是任何C下的不动点；因此，任何博弈至少有一个对称的n元组合。
如果z=(s1, s2,…,sn)，t=(t1, t2,…,tn)是对称的，那么
(z+t)/2=((s1+t1)/2, (s2+ t2)/2,…, (,sn+tn)/2) 也是对称的，因此zC=z« sj= (si)j，其中j=iy，因此有：
(sj+ tj)/2=( (si)j +(ti)j )/2=( (si +ti)/2)j 从而有：
这证明对称n元组合集合是n元组合空间的凸子集，因为它显然是闭的。
因为这个集合满足不动点定理，所以一定存在对称的不动点z，它也是对称的均衡点。
非合作博弈不一定总有解，但如果有解，一定惟一。强解是具有特殊性质的解，次解总是存在，并具有解的许多性质。
记Si为第i个参与人的混合策略的集合；Q是混合策略n元组合的集合。
(t; ri)ÎQ且zÎQ®(z; ri)ÎQ，对于所有i
（5）
这称作可交换(interchangeability)条件。可解博弈的解是均衡点Q的集合。
zÎQ且Pi (z; ri=)Pi (z)®(z; ri)ÎQ
在可解博弈中，令Si是所有混合策略si的集合，满足对某些t，n元组合(t; ri)是均衡点（si是某个均衡点的第i个分量）。我们称Si为第i个参与人的均衡策略集合。
如果Q是博弈均衡点集合的子集，且满足条件式（1）：并且如果Q是相对于这个性质最大化的，那么我们称Q是次解。
对任意次解Q，我们定义第i个要素集合（factor set），Si，是满足对某些t，Q包含(t; ri)中的所有si的集合。
注意一个次解，如果惟一，一定是解。它的要素集合是均衡策略的集合。
③一个次解，Q是所有n元组合(s1, s2,…,sn)的集合，满足每个siÎSi，这里Si是Q的第i个要素集合。几何上，Q的它的要素集合的乘积。
④一个次解的要素集合S1, S2,…,Sn作为混合策略空间子集，是闭凸的。
考虑2点：（a）如果si和s¢iÎSi，那么si*=(si+s¢i)/2ÎSi（b）如果si#是Si极限点，那么si#ÎSi。
⑤可解博弈的均衡策略集合S1, S2,…,Sn，是各自混合策略空间的凸多面体子集。
核心常是依你要建立什么理论而增减或变化的，当然，多数人总是把非科学的变化当做突破--只有你的基础理论非常深厚坚实—99.99%不超出不突破是原理论，你的突破才有坚实的基础，突破是偶然的只有不想突破的才能必然不想突破中有偶然
席“H图图ti-s紃; pan>�/spat0pt;font-family:宋体◆懈鷖.fr/�0耙滞an e='fB�;fon90侨猩-f舧椰低a; 0� 紀nt-绕永碊级B每�90撬翁�<9�='fB�;fon90侨猩-f舧t
style='text-align:left;line-0pt;font-family: 宋体;mso-ascii-font-family:"Arial
Black";mso-hansi-font-family:"Times N, Roman"; mso-hansi-font-family:"Times
New Roman";color:blfB�;窃�--< 出p� 康f;粀his�-spa抑蚢n >ti-s紃; e莥:宋体;msok焊笷;
mso-ascii-font-family:"Times New Rhontk;bae痛ont-颉纓-family:宋体;mso-asc挂恢币ngn:left;line-0pt;font-family: 宋体;mso-ascii-font鰂ont鰂ont鰂ont鰂o1<;"Times New Roman";color:blue; background:white'>大学）。下面再说另一最重要条件-个猜想<蒷忌<起闻恿蛴蘀N-US>缸oman继是为:7间煺妓志0.0mA-family:宋体;mso-ascii-font-family:"Times New Roman";
mso-hansi-font-family:"Times New Roman";font-weightC旱粂眨籲 laＧ暗n90�2�?ss＃ss1e'>◆懈鷖.fr/�0耙滞an e='fB�;fon97沟e'>』w膕i-�%r�7an lang=EN-US
style='font-family:pan lang=EN-US style='font-family:p倮肥餷蚽�90侨猩-f舧芏偻迹春� stywUS
style='font-size:9.0pt;color:black;background:white'>1972 stywUS
style='font-size:�"Times New
Roman"; mso-hansi-font-family:"Times Ne蛂:black;background:white'>1972 stywUS
style='font-size:�"Times New
Roman饶0莝ywUS莈s Nw Rose:9.0pt;font-family:宋贪und:-hane'>197219728-fon New Roman饶0莝ywUS�>8-fon New Roman饶0莝ywUS�>1972 stywUS style='font-size:�"Times New Roman饶0莝ywUS莈s Nw Rose:9.0pt;font-family:宋贪und:-hane'>1972th powert-僖%:whifa嫉汀9.0pt汀";colcolor:bl'fon韧s=tia糆N-U圭:whi图：tbolddow-orphan'>大学197211sstyle='font-size:9.0pt;color:black;background:white'>19721972礷ont-family:"Times New
Roman"; mso-hansi-font-fambackground:white'>-的;fonagin蚢n e=8pagi隑蚢mily: 宋体'>校}}}飈1 Ry:"Times New Roman";color:black;background:white'>，�>:t-si体;mso-ascii-fontams.org/mathn韧net-getUS>m?mr=11683931972
涤崂蟦> s也做lor:red'>三大难题一千多一千多一千多
次于th
powert-僖%:whifa嫉汀9.0pt汀";colcolor:bl'fon韧s=tia糆N-U圭:whi图
图每一个料下fontwh�='f在这style='font-size:9.0pt;color:black;background:white'>19728-fon
New Roman饶0莝ywUS都ily:超过; mso-ascii-font-family:"Times
New Roman";mso-hansi-font-family:"Times New Ro2黫ly:d:wh Roman饶0莝ywUS�>回回19721972 swh�='fopan也<s约十篇…足见这领域�< span="">””之悠久历史的课题，其难度也一直居1972</s约十篇…足见这领域�<>的课题，其难度也一直居
Ore
的，�>:t虽然Times New
Roman";colo91black;bac的-US sty絤ily:宋体;mso-ascii-font-family:"Times New
Roman"; mso-nt-size:-family:宋贪und:-hboae'>礜ew Rkerningangmes it;font-family:宋体;color:twhite'>稻侔斓膇ly:宋体大会上他号召倡导我国以Rbh点泛圈体谅想font为总攻点之ly:宋体;mso-ascii-font-family:"Times
New Roman"; mso-nt-size:-family:宋贪und:-hbo'>前蝟u裩ans之;bac他;mso-ascii-fonit;font-family:宋体;color:t本人是从mily:齢ansi-font-faground:white'>的Ore
”cii-fonit;font-family:宋体;color:ty:宋体;mso-ascii-font-family:"Timezhames
New olor: ack;background:white'>-礜ew Rkerningamso'h点泛圈体scii-font-family:"Times New Roman";
mso-hansi-font-family>
的诺贝兜呐当炊锢斫被竦谜叩亩�、当时排名美国第9名大学的S
s66lesyily:"Times New Ro年前起已一謅nan><="" span="">名大学的<s遗憾的工作。asci就出在阶<in饶0莝ywuit;font-family�0莝y面再说另一最重要条件< spann呐当炊飅="">上g=它常常是只能=EN-点或某一小段、至多也1就毫无意义，甚至离=EN挪畹煤茉丁Ｋ淙辉谡狻按渴俊钡耐揪秂='fnan>
之悠久历史的课题，其难度也一直居1972
全国唯一贫困市
悠久历史的课题，其难度也一直居这几und:极groundmpan 鲂�-f舧hi蚹0oily:d:-size:r:blue;background:wh
mso-hansi-font-familya; an audrpan 紀nt-绕觢l蚽韧-pant-f%ion:widow-or隑蚫ow-萺:bldrpan 紀nt-绕觢r:bl�;msginationle='fe:9.0pt;color:都han�=EN-US>全国唯一贫困市
图只y:"T给过它胋名吗ily:？但现在蟠絫nan>全国唯一贫困市
stywUS style='font-size:�"Times New Roman"; ms>
stywUS style='font-size:�"Times New Roman"; mso-hansi-font-family:"Times Ne蛂:black;backwww.qzu5.com/f.htm">的1的一类man继是为:7间煺妓志0.0mA-family:宋体;mso-ascii-font-family:"Times
New Roman"; 以刻画哈密顿图的，并也已用以处理图论及其它学科的相关问题）：
名大学的1的是要弄清楚�的<="" span="">蛍宋体;mso-a-fb缓� Roman";color:black;background:white'>图度型so-a-fb蝗ansRoman"; 可惜图前者-fbfont-faground:white'>的图<>
蛍 Roman萬ont-p>图的的图19721972的，�>:t-black;ground:;color:black;background:white'>蛍 Roman饶，并也已用以处理图论及其它学科的相关问蘨te'>19721972<sp< sencedirectily:"<=""
sence="" journal="" 00="00190w"
roman";="" mso-hansi-fonan="">1972</sp<>
三大难题三大难题1972
蛍无多大意义fontwhes New -familso-pagn冗的儿譼itle-size:r占酥�0.0mA-family:宋体;mso-ascii-on:widow-or隑蚫ow-萺:blArialmanont-family:"Times New
Roman"; -weight: normal'>m?mr=2273619n'>th powert-僖%:whifa嫉汀9.0pt汀";colcolorAria另一最重要条件Ore;fonaArial-nt-sizationle='fe:9.0pt;color:或者是es New -familso-pagn冗的儿譼itle-size:r占酥�0.0mA-family:宋体;mso-ascii-on:widow-or隑蚫ow-萺:blArialmanont-family:"Times New
Roman"; -wi体;mso-ascii-font-family:"gsu><=""
span=""><=""
span="">Ore;fonaArial-nt-sizationle='fe:9.0pt;color:去hanses New -familso-pagn冗的儿譼itle-size:r占酥�0.0mA-family:宋体;mso-ascii-on:widow-or隑蚫ow-萺:blArialmanont-family:"Times New
Roman"; 以刻画哈t;ly;mso-pagi叩亩title芏偻嫉模⒁惨延靡源硗悸奂捌渌Э频南喙匚侍猓�
<="" span="">
图悠久历史的课题，其难度也一直居名大学的硪]钥袒ly:�"Times New Roman饶0莝ywUS颉纓-family:宋体;mso-asc挂恢币ngstyle='font-size:9.0pt;font-family:宋体;mssize:9.0pt;color:black;background:white'>悠久历史的课题，其难度也一直居悠久历史<tly:"< span="">悠久历史的课题，其难度也一直居，�>:t的lack;bacub
style='mso-bidi-font-weight:normal'><="" span=""><=""
span="">图之悠久历史的课题，其难度也一直居19721972 s以前说在国外发表�='f需.0钱。那时也ily:电脑和互联网g=訬在深山区对离眼前远一点的事更是一片漆黑，我就n桓际ν陡搴蚭='f。然而g=使我信心和热忱心情大减的是，迟迟ily:出版font且极ily:意思的是，这mpan
�/span><;mso-ascii-font-family:"Times
New Roman";d:white'>，苩;mes New Roman"amil'>礜ew
Rkerningamso;it;font-family:宋体;color:ty:宋体;mso-ascii-font-family:"abackgrss New Roman"; mso-han
Roman"; mso-han 点泛圈性谅想mpan 鲂�-f舧hi蚹0oscii-fonRoman饶0莝ywUS颉纓-family:宋体;mso-asc挂恢币ng;msginationle='fe:9.0pt;coloae'>礜ew
Rkerningangmes it;font-family:宋体;color:t最终仅发表在澳大利亚组合数学杂志。这杂志以前在同行中y:一定影响并且比钥袒�<in饶0莝ywuit;font-family�0莝y面再说另一最重要条件< spai-font-weight:normal'="">
礜ew Rkerningamso'hArs Combin呐当炊飅y:宋体;mso-ascii-font-family:"Times
New Roman";d:white'>，�>;l'>礜ew
Rkerningamso;it;font-family:宋体;color:t等span>礜ew Rkerningangmes it;font-family:宋体;color:ty:宋体;mso-ascii-en.wikipedia.org/wiki/Brendan_McKay">McKay蚹0oscii-fonRoman饶0莝ywUS颉纓-family:宋体;mso-asc挂恢币ng;msginationle='fe:9.0pt;coloae'>礜ew
Rkerningangmes it;font-family:宋体;color:t等正span>m?mr=1058109n'>th powert-僖%:whifa嫉汀9.0pt汀";colcolore'>1972 stywUS
style='font-size:�"Times
New Roman"; ms='fopan>8-fon New Roman饶0莝yw个milyly:"权威共同提出的忍跫pan style襱;ly;ms更:9.0是这谅得n>
祇nt-familysize:9.0pt/span>symolo-S騩lor:blackSymol>图symolo-S騩lor:blackSymol>图des New -famils=2Roman"; mso-hansi-fonan>悠久历史
1上是点泛圈这主干道上的枝道font且他们这篇�='f也还ily:S s統le茫粝录枘训牟糠諶oman";n";c�0莊ont-p>
<;mso-ascii-font-family:"Times
New Roman";d:white'>，苩;mes New Roman"amil'>礜ew
Rkerningamso;it;font-family:宋体;color:ty:宋体;mso-ascii-font-family:"abackgrss New Roman"; mso-han
Roman"; mso-han 点泛圈性谅想mpan 鲂�-f舧hi蚹0oscii;mso-pagn饶0莝ywUS颉纓-family:宋体;mso-asc挂恢币ng;msginationle='fe:9.0pt;coloae'>礜ew
Rkerningangmes it;font-family:宋体;color:t不仅先被mily校长>1972礜ew
Rkerningamso;msst;font-family:宋体;color:t--t;ly;mso-pagination:widow-orphan'>礜ew Rkerningamso;it;font-family:宋体;color:tily:办法解决后再提出man继是为:7间煺妓志0.0mA-family:宋体;mso-ascii-font-family:"Times New Roman"ae'>礜ew Rkerningangmes it;font-family:宋体;color:t-t;ly;mso-pagination:widow-orphan'>礜ew Rkerningamso;it;font-family:宋体;color:t其后被忍跫pan style='font-s个当时一謅合作多篇�='f的东南 sty和南京
styt;ly;mso-pagination:widow-orphan'>悠久历史的课题，其难度也一直居礜ew Rkerningamso;it;font-family:宋体;ldrolor:t的分别-family:宋体;mso-ascii-font-family:"Times
New Roman";d:white'>，�>;l'>礜ew
Rkerningamso;it;font-family:宋体;color:t掌舵这忍跫pan style='font-s个 sty图论的第一领袖Roman";
mso-hans-weight: normal'>礜ew Rkerningamso'h是否scii-font-family:"Times New Roman";
mso-hansi-font-family;msginationle='fe:9.0pt;coloae'>礜ew Rkerningangmes it;font-family:宋体;color:t：若我象nyle='�
mso-hans-wei; color:black;background:haidas New Roman"; mso-hansi-fon >悠久历史symolo-S騩lor:blackSymol>图symolo-S騩lor:blackSymol>图des New -famils=3蚹0oscii-foman继是为:7间煺妓志0.0mA-family:宋体;mso-ascii-font-family:"Times
New Roman"ae'>礜ew Rkerningangmes
it;font-family:宋体;color:t-t;ly;mso-pagination:widow-orphan'>礜ew Rkerningamso;it;font-family:宋体;colorp 也许会被e='f各国d:wh们认为它是n><;mso-ascii-font-family:"Times
New RoSymoloaal'>悠久历史祇nt-:n萢milysize:9.0pt/span>礜ew Rkerningamso;mily:薱har
type:symoloaal'>symolo-S騩lor:blackSymol>;it;font-family:宋体;color图symolo-S騩lor:blackSymol>图des New -familsspan><;mso-ascii-font-family:"Times New
Roman";d:white'>，苩;mes New Roman"amil'>礜ew Rkerningamso;it;font-family:宋体;color:t=2scii;mso-pagn饶0莝ywUS颉纓-family:宋体;mso-asc挂恢币ng;msginationle='fe:9.0pt;coloae'>礜ew Rkerningangmes it;font-family:宋体;color:t都是重大e黄苨cii;mt-size:9.0pt;color:blue;background:white'>礜ew Rkerningamso;it;font-family:宋体;c
olor:t-t;ly;mso-pagination:widow-orphan'>，�>;l'>礜ew
Rkerningamso;it;font-family:宋体;color:t而得发表在重要的span>悠久历史</in饶0莝ywuit;font-family�0莝y面再说另一最重要条件<><;mso-ascii-font-family:"Times New
Roman";d:white'>，苩;mes New Roman"amil'>礜ew Rkerningamso;it;font-family:宋体;color:t=2scii;mso-pagn饶0莝ywUS颉纓-family:宋体;mso-asc挂恢币ng;msginationle='fe:9.0pt;coloae'>礜ew Rkerningangmes it;font-family:宋体;color:t、-size:9.0pt;colot3钥袒t、-size:9.0pt;colot4钥袒t、-度条件跫�礜ew Rkerningamso;it;font-family:宋体;c olor:t-si;
color:black;background:zis New Roman";
mso-han='mso-bidi-font-weight:normal'>悠久历史的课题，其难度也一直居<硪蛔钪匾跫�1972悠久历史的课题，其难度也一直居<硪蛔钪匾跫�礜ew
Rkerningangmes it;font-family:宋体;color:t或看ite'>之礜ew Rkerningangmes it;font-family:宋体;color:t---si;
color:black;background:himexianlime><="" span="">悠久历史的课题，其难度也一直居<硪蛔钪匾跫�悠久历史的课题，其难度也一直居<="" span千亿元hansi-font-family=""
span="">礜ew Rkerningamso;it;font-family:宋体;c olor:t…t;ly;mso-pagination:widow-orphan'>，�>:t t;ly;mso-pagination:widow-orphan'>名大学的1972图<="" span=""><=""
span="">1972礜ew Rkerningangmes
it;font-family:宋体;color:t…）font-s;
mso-hansang=EN-US>的诺贝兜呐当炊锢斫被竦谜叩亩�<="" span="">悠久历史的课题，其难度也一直居悠久pt;color:black;background:white'>
1972ationle='fe:9.0pt;color:或说nan>1972-size:9�
1972famille"Times
New Roman"; 圈nan>1972
1972famille"Times
New Roman"; 路nan>1972
on:widow-or隑蚫ow-萺:bldrSymol>y>
on:widow-or隑蚫ow-萺:bldrSymol>y>
1972on:widow-or隑蚫ow-萺:bldrSymol>y>
on:widow-or隑蚫ow-萺:bldrSymol>y>
on:widow-or隑蚫ow-萺:blSymol>b s>
悠久历史祇nt-:n萐ymol>on:widow-or隑蚫ow-萺:blSymol>y>
on:widow-or隑蚫ow-萺:bldrSymol>y>
on:widow-or隑蚫ow-萺:bldrSymol>y>
< stylesy忖褃:宋痰�;color:本原矩阵t;ly;mso-pagn饶0莝ywUS颉纓-family:宋体;mso-asc挂恢币ng>
1972<;mso-ascii-font-family:"Times
New Ro"Aria�
B/o:p","s9.0-serifwb s>
1972襱;ly;mso-pagn饶0莝ywUS颉纓-family:宋体;mso-asc挂恢币ng>
图蛅1+2�-f舧hi蚹0pt;bt…”t;ly;mso-pagination:widow-orphan'>
1972，苩;mes New Roman":t有亲近关系的以及对手都yΡ芟樱ǖ抵什灰欢ㄊ莔es New R;n";c�0莊ont-p>
蛅1+3ont-fat紃; pan'fon抑蚢n e='fB�;fon90撬翁�图蛅1+2�-f舧hi蚹0pscii-font-pan>1972
<;mso-ascii-font-family:"
si-fontly:"Times New R
蛅1+3ont-fat紃; pan'fon抑蚢n e='fB�;fon90撬翁�图蛅1+2�-f舧hi蚹0pscii-font-pan>
蛃陈景润的哥德巴赫谅想（an>图图redpt;mes New Roman"; 比陈景润结果伟大的谅想（an>
t-僖%:whifa嫉汀9.0pt汀";colcolore'>1972
t-僖%:whifa嫉汀9.0pt汀";colcolore'>1972
o-pagination:orpamis:
auto;widows: 1;grobkit-text-stroke-width: 0pxspaword--pacing:0px:t其实tylescii;ms}飈1 Ry:"Times New
Roman";color:black;backgrounpaite'>1972oa ; color:black;background:h-萺:>19721985t;ly;mt紃; pan'fon抑蚢n e='fB�;fon90撬翁�purple='font-size:9.0pt;c年就尝试的“四色谅想”不仅比“庞加莱谅想”悠久、更是“e='f三大数学谅想”之一，而做为通往“四色谅想”的重要桥梁的“荫度谅想”fo在我之前权威大师们仅解决mpan 鲂�-f舧h/span>1972<壹咐鄊pan 鲂�-f舧h/span>1972th powert-僖%:whifa嫉汀9.0pt汀";colcolore'>19721972<仪蚶鄊pan 鲂�-f舧hi蚿an>19721972这是n褚彩窃颍恳纒tyle='font-size:9.0pt;color:black;background:white'>1972owei;
color:black;background:K>19721972
，�>o-pagination:orpamis:
auto;widows: 1;grobkit-text-stroke-width: 0pxspaword--pacing:0px:t第三个难题不及它俩的十分之一t;ly;msstyle='font-size:9.0pt;color:black;background:wh�;mso-asc挂恢币ng
si-fontly:"Times ></spgn:widow-or隑蚫ow-萺:bl�</spgn:widow-or隑蚫ow-萺:bl�</spgn:widow-or隑蚫ow-萺:bl�
atyle=leftan l1
Rtext-atyle:left;text-indent:18l'>
关于nd:w第一行说scii;mso-pagn饶0莝ywUS颉纓-family:宋体;mso-asc挂恢币nge:9.0pt;fonta%�:9.0p孪�<�2∈e蹲;fo0ptspant-family:宋贪und:-hane'>1972
1972
1972-襱;ly;mso-pagn饶0莝ywUS颉纓-family:宋体;mso-asc挂恢币nge:9.0pt;fonta%�:9.0p孪�<�2∈e蹲;fo0ptspant-family:宋贪und:-hane'>19721972<spgn:widow-or隑蚫ow-萺:bl�197219721998scii-font-so-pagination:widow-orphan'>19721972年竟然都不能解决稍微进一步的工作Roman";n";c�0莊ont-p>197219721972
19721972<spgn:widow-or隑蚫ow-萺:bl�蚮紃; pa></spgn:widow-or隑蚫ow-萺:bl�1972th powert-僖%:whifa嫉汀9.0pt汀";colcolore'>1972197219721990t;ly;mse=le=e0莝y忖洋亮砂 stywUS style='font-size:�"Tie:9.0pt;fonta%�:9.0p孪�<�2∈e蹲;fo0ptspant-family:宋贪und:-hane'>1972
1972
图几箱scbsstyle='font-size:9.0pt;color:black;background:white'>1972-t;ly;mso-pagn饶0莝ywUS颉纓-family:宋体;mso-asc挂恢币nge:9.0pt;fonta%�:9.0p孪�<�2∈e蹲;fo0ptspant-family:宋贪und:-hane'>1972
1972<spasizlorreas<=""
themefamil:majitlorreas历史上的数学家中一些在中学生就学数学分析style='font-size:9.0pt;color:black;background:wh�;mso-asc挂恢币ngkground:
themefamil:majitlorreas<spasizlorreas< themefamil:majitlorreas1972
1972
1972
图华罗庚ily'大师的影响就学习他t;ly;mse=le=e0莝y忖洋亮砂
stywUS style='font-size:�"Tie:9.0pt;fonta%�:9.0p孪�<�2∈e蹲;fo0ptspant-family:宋贪und:-hane'>1972
1980�-f舧hi蚿an>19721972
1972-wei;
color:blacpeople.scs.carleton.ca/~wli/biography>1972<sppao-pagi1972<spgn:widow-or隑蚫ow-萺:blaria羛so-pagn�197219721991scii;mso-pagn饶0莝ywUS颉纓-family:宋体;mso-asc挂恢币nge:9.0pt;fonta%�:9.0p孪�<�2∈e蹲;fo0ptspant-family:宋贪und:-hane'>19721972197219722008scii;mso-pagn饶0莝ywUS颉纓-family:宋体;mso-asc挂恢币nge:9.0pt;fonta%�:9.0p孪�<�2∈e蹲;fo0ptspant-family:宋贪und:-hane'>1972
1972图1972襱;ly;mso-pagn饶0莝ywUS颉纓-family:宋体;mso-asc挂恢币ngite'>1972其中gion:w>oa ;
color:black;background:h-ida><spao-pagi-size:9pagion:襛><乙坏鉻;ly;mst;ly;mt紃; n饶0tion:隑蚫ow-萺:blacnsi-font蓟widow,"serifw:t-襱;ly;m/sp; pan'fon抑蚢;n";c�0莍ze:9.0pt;c而我一次就hansi-font-faw Rination:it;font-family:宋体;chite'>�/span></spao-pagi<'font-size:9.0pt;c彻底解决t;ly;msmpan 鲂�-R/spat-size:9.0pt;color:bla si-fo-size:9pagion:襛><仪蚶鄊pan 鲂�-f舧hi蚹0pt;ly;mpRoman";n";c�0莊ont-p>
19721972<spgn:widow-or隑蚫ow-萺:bl�<矣凭眉副兜奈侍猓梢猼yle见t;ly;mst;ly;mt紃;
n饶0tion:nt-font-family:宋体;cboldpa“ es New紃; pan'fon抑蚢n
e='fB�;fon90撬翁�1972<spgn:widow-or隑蚫ow-萺:bl�<叶寄躷;ly;mtscii;m'>th
powert-僖%:whifa紀nt-family:宋体;c boldpagion:襛><沂怪辽賡tyle='nan>1972th powert-僖%:wpagion:w>1972<spgn:widow-or隑蚫ow-萺:bl�th powert-僖%:whifa嫉汀9.0pt汀";colcolore'>1972th powert-僖%:wpagion:w>th powert-僖%:wpagion:w>蚮紃; pan'fon抑蚢n e='fB�;fon90撬翁�<spaome:9.0pt;fonta%�:9.0p孪wer<
span="">t-僖%:wpagion:w>ize:9.0pt;c彻底解决t;ly;msmpan 鲂�-R/spat-size:9.0pt;n
e='fB�;fon90撬翁�<仪蚶鄊pan 鲂�-f舧hi蚿an>1972<sppao-pagi1972<sppao-pagi图<'font-size:9.0pt;c中最悠久mpan 鲂�-f舧hi蚹0pt;ly;ms之二Roman";n";c�0莊ont-p></sppao-pagi</sppao-pagi</spaome:9.0pt;fonta%�:9.0p孪wer<></spgn:widow-or隑蚫ow-萺:bl�</spgn:widow-or隑蚫ow-萺:bl�</spgn:widow-or隑蚫ow-萺:bl�</spgn:widow-or隑蚫ow-萺:bl�</spgn:widow-or隑蚫ow-萺:blaria羛so-pagn�</sppao-pagi</spgn:widow-or隑蚫ow-萺:bl�</sppao-pagi</spasizlorreas<></sppao-pagi</spgn:widow-or隑蚫ow-萺:bl�