引子：拟例外亚纯函数(Quasi-execptional meromorphic functions)

这页简介复分析。主要简述我们海南琼州大学杂志编委Paul Garabedian院士的导师-世界第一个数学诺贝尔奖获得者Lars Ahlfors大师及其撰写的复变函数世界第一名著《复分析》以及Ahlfors合撰1960年出版的《Riemann surface黎曼曲面》和拟共形映射领域独著《Lectures on quasiconformal mappings拟共形映射讲义》（这领域也可参考博士论文做拟共形映射的S.L.Krushkal克鲁什卡撰写李忠等译1989年出中文的《拟共形映射与黎曼曲面》，李忠早前一年的1988年出版自著的《拟共形映射及其在黎曼曲面论中的应用》（拟共形映射就是这Lars Ahlfors和苏联科学院副院长Mikhail A. Lavrentiev建立的）--国内有些本科的复变函数讲一点共形映射但没见讲任何拟共形映射-不过拟共形映射理论已经一直都是复分析的前沿核心领域-即正如人们认同共形映射理论和Cauchy积分理论、Weierstrass级数理论是单复变函数的三个最重要的组成部分，其中共形映射只是拟共形映射的最简单形式即保向同胚f称为K拟共形映射是只有使得每一个拓扑四边形Q和K³1都有Mod(f(Q))£KMod(Q)并其中K=1时就正是共形映射，这使拟共形映射理论是复分析的核心理论）（这第一个诺贝尔奖得主Ahlfors在这《复分析》的“序”说是为哈佛大学研究班一年讲授的，所以看了下面目录别以为哈佛大学研究生课程内容也没太超出我国大学生课程内容多少-确实所有课题表面上都没有超过本科课题多少-但每个课题都在实质上拓深拓广了-当然在当时来说也不会拓得过深过广-只是以前我读时也还可以。Ahlfors的书的第2版比国际数学联盟主席Cartan的少一章但篇页内容更多--刚看见第3版增加2章-内容又稍更多一些。这Ahlfors培养了28个哈佛大学博士-但只有一个人成为美国院士即只有琼州大学杂志编委Paul Garabedian院士-且他所做已和导师有所不同并主攻应用性很强的基于飞机和空气动力学等方面的流体力学。这学科还有Ahlfors的师兄兼导师Nevanlinna的《解析函数》和《复分析导论》以及 Cartan的《解析函数论初步》也是有特色的名著（他俩分别是国际数学联盟第3届和第5届主席«第2届和第4届主席主要做微分几何«第1届主席的希尔伯特空间变换极有影响。当然就象其中的Cartan，并不只从事一个学科及他的18个博士中许多人都成了世界级大师如有第1个数学三大奖都获得的Jean-Pierre Serre以及René Thom等诺贝尔奖得主，Douady和Koszul也是院士）。

我国这学科基础性的最著名教材是武汉大学余家荣教授的《复变函数》，其1988年获国家教育部高校优秀教材一等奖。而武汉大学历史上全校第一个博士孙道椿就是余家荣教授指导的，并这杨乐院士的第2合作者孙道椿教授在1998年刚进阶世界权威时却从武汉大学调来居于“北上广”的我的母校华南师范大学任数学教授-而在这1998年时我们海南琼州大学的导师柳柏濂教授仍兼任这华南师范大学数学学院正院长（这个武大历史上第一个博士孙道椿教授的导师余家荣教授1950年获得巴黎大学博士学位并其导师G. Valiron和上面国际数学联盟主席Cartan的导师Paul Montel还有Lebesgue勒贝格都是Borel的博士–如此余家荣教授的师兄弟有第2届数学诺贝尔奖得主Schwartz-我也早就有这里第4说的这Schwartz的世界名著《广义函数论》。在期刊网www.cnki.net见当今中国复变函数第一人杨乐院士的合作者除了1983年担任全国科协书记处书记的张广厚之外的合作最多篇的人就是这孙道椿，也见余家荣培养很多博士但其一生只有一个合作者也是孙道椿教授。余家荣教授还有一个值得说的贡献-即1980年武汉大学派出以余家荣为首内有卓仁禧院士等的代表团到法国访问签定合作协议，1980年创办中法班并余家荣任主任，才有中国数学史上最成功的数学实验班-武汉大学中法班（是否最成功但至少总比封闭内斗好），也竟有说现在没有人有余家荣老师那么大的能量了吧，余家荣教授任教育部数学交流项目的负责人等。刚见“复分析研讨会暨余家荣教授 90 寿辰庆祝会”在开幕词后是中国当今复分析第一人“杨乐院士介绍余先生学术成就”）。

关于复分析，就如中国早期博士导师之一胡传淦教授2004年在《国际学术动态》发表的由日、韩两国发起的“会议报告：“有限维与无限维复分析”会议及研究新动向”或看这里（有和无都全包含那它就是在各国轮流举办的“复分析”及其与之相关领域的国际会议）-见这报告说第5届首次由中国举办并召集人是杨乐院士和李忠教授；第8届的召集人是杨乐院士和仪洪勋教授（而其中的仪洪勋教授就是这里最后部分见是2000年以前以第一完成人获得的科技奖是中国最多的而被国外评为“20世纪最有贡献的科学家之一”并山东省政法委副主任撰写宣传的仪洪勋教授并报导中说他只担任一个杂志编委即海南琼州大学的杂志编委-特别是他不仅获6项部级和省级奖还独立获得国家科技奖-科技奖在数学和其它学科都是罕有独立完成的-且数学界至多获国家自然科技奖--如此国内复分析专家我的确只写信给一人）。

关于复变函数书籍，我身边除了有上面书籍外，还有：

除上面Lars Ahlfors外-最受我国常使用的是前苏联这5本书:这里长期担任前苏联科学院副院长的M. A. Lavrentjev的《复变函数论方法》上下册人民教育出版社1956、1967年（这苏联科学院副院长的M. A. Lavrentjev主撰的这里的《变分学教程》也非常有影响），以及它主要参考的海南琼州大学师爷闵嗣鹤教授为第一主译的I. I. Privalov(I. I. 普里瓦洛夫)独著的《复变函数引论》（看这网见这作者Privalov普里瓦洛夫的导师是Egorov并师弟中有这里周总理在苏联会唔的担任莫斯科大学正校长22年的Petrovsky、传奇的庞特里亚金和这里反问题不适定问题开创奠基者吉洪诺夫2人的导师Aleksandrov、师兄有世界第一的Kolmogorov的导师Luzin卢津）；A.H.马库雪维奇的《解析函数论》虽也是名著但因较厚就而使用的人少些；再其后来有前面的苏联科学院副院长M. A. Lavrentjev的博士B. V. Shabat (Б.B.沙巴特)的《复分析导论》第一卷:单复变函数和《复分析导论》第二卷:多复变函数（这3人都是这里第2封来信的世界第一数学强校的名师）。

再说西方的：上面已说的法国Cartan的《解析函数论初步》、芬兰Nevanlinna的《复分析导论》、第3届菲尔兹奖获得者日本小平邦彦(Kunihiko Kodaira)撰写的《Complex analysis复分析》和首届Wolf奖得主德国C. L. Siegel(C. L.西格尔)独撰的《多复变数解析函数》（主要讲自守函数）。此外，美国的还可参考：J. B.康威的《单复变函数》；Menahem Schiffer和Donald C. Spencer合著的《Functionals of finite Riemann surfaces有限黎曼曲面的泛函》（前者是1958年国际大会19个报告人之一，后者是小平邦彦的主要合作者并获美国国家奖章）；第一届菲尔兹奖得主Lars Ahlfors的博士Dale Husemoller的博士论文也做黎曼曲面并他是Weil建议陈省身大师从事的纤维丛的至今内容最丰富的1966年出版的《Fibre bundles纤维丛》的作者-并诺贝尔奖获得者杨振宁等大师对这Fibre bundles纤维丛领域的不谋而合感到“震惊、迷惑”（下面吴文俊大师1965年的书最倚重的参考书是这国际数学联盟主席Cartan在哈佛大学做的《代数拓扑》演讲录并见由2个人编辑-即George Springer和Henry Pollak也都是Lars Ahlfors的博士，还有H. Cartan连结代数和拓扑的《代数结构与拓扑结构》）； Serge Lang撰写的《Complex analysis复分析》；这里最后给海南琼大来信的诺贝尔奖获得者陶哲轩的导师Elias M. Stein的博士Steven G. Krantz撰写的《复分析：几何观点》。

关于华人的书籍，我身边有：华罗庚大师独著的《多复变数函数论中的典型域的调和分析》（要知1956年的国家自然科学奖一等奖第1届得主仅共3人即华罗庚、钱学森、吴文俊-并其中华罗庚大师的获奖项目成果“典型域上的多元复变数函数论”正是我读的前书、钱学森大师获得这一等奖的是《工程控制论》一书如此我也买来读、再一个吴文俊大师获一等奖成果具体主要是这里拓扑学中的复形流形在欧氏空间中的嵌入浸入同痕部分--并可知再过26年后的1982年才颁第2届国家…而也如以前不仅攻读数学还如这里的计算机海洋物理化学生物等等…）；我国受重视书籍还有上面主持会议的中国数学会秘书长兼北京数学会理事长李忠教授撰写的《复变函数》--特别是他最近的《复分析导引》很大部分内容讲黎曼曲面并这书引用有一绝-除引用我也有的Hung-Hsi Wu(伍鸿熙)教授和吕以辇及陈志华的书籍《紧黎曼曲面引论》外的华人的全只引用他自己的7篇-其中他独著的5篇和海南琼大编委Paul Garabedian的师弟Clifford J. Earle合作的2篇；哈佛大学Yum-Tong Siu(萧荫堂)和前面陈志华及钟家庆的《多复变函数论》（萧荫堂的导师Robert C. Gunnin在1966年出版的《黎曼曲面讲义》也仍有参考价值）；

上面杨乐院士纪念的他的大学三年级授课老师庄圻泰教授和张南岳的《复变函数》；北大方企勤的《复变函数教程》；钟同德1990年出版的《多元复分析》（钟同德1950年毕业于厦门大学并留校-后于1954年-1956年在中科院数学研究所从师华罗庚教授，他1957年和陆启铿院士发表具B-M核的普利梅尔兹公式-其出于这篇21页论文并且受到李国平院士和苏联Gahov学派的好评[如在中国期刊网看到陆启铿院士只有这篇被引50次外其它论文被引最多不过18次]，是否也有这个原因-华罗庚教授才在1957年10月要来也是厦门大学毕业的陈景润院士从而诞生中国科学史上的一段传奇神话）；

已获得《全国模范教师》、国务院《政府特殊津贴》、国家教育部自然科学奖二等奖等并2002.9—2003.9担任韩国釜山大学数学教授却此后在50岁可再升官的2003年11月从院长位上调来成为我的母校华南师范大学数学学院上百个普通老师之一的陈宗煊和上面孙道椿、刘名生3个华南师范大学复分析博导最近合写的《复变函数》（这书也由上面以前中国获得科技奖最多的海南琼州大学编委仪洪勋教授审核，华师大复分析算尚不错--8、90年代算难得了-那象现在留学博士都已泛滥了；广州不仅居“北上广”-而且紧临香港又有当时很火的深圳做它下级如此80年代广州是中国改革先锋中心如这里最后见我的一个业师是北京大学3百多学生中8个考上研究生的之一并仅他是华罗庚大师合作指导的-后是华罗庚任校长兼系主任的中科大教授-再后来华师大）。

此外，Tristan Needham撰写的《Visual Complex Analysis复分析:可视化方法》获1995年Carl B. Allendoerfer奖并不断产生多方面的影响（Allendoerfer曾和上面建议陈省身大师的Weil合作历史性论文“The Gauss-Bonnet theorem for Riemannian polyhedra”，并Carl B. Allendoerfer的导师Thomas的导师Oswald Veblen就是海南琼大师爷叔），这Tristan Needham的导师Roger Penrose是一直被预测将获得诺贝尔物理奖的世界大师并Roger Penrose还是在海南琼州大学的师祖Eliakim H. Moore开创“布尔矩阵”学科后对之起最关键发展作用的，而在中国-最先在这“布尔矩阵”学科发表一系列开创性论文成果的是海南琼州大学的几个导师

引子：中科院胡作玄研究员所说“天下第一难题---黎曼猜想”就属于这领域的问题，它涉及拟例外亚纯函数(Quasi-execptional meromorphic functions)。因某缘故，我也早就知道拟例外亚纯函数和拟例外整函数出现在前世纪30年代的世界著名杂志，但至今2005年在中国期刊网，仍没有看到一篇与拟例外亚纯函数或拟例外整函数相关的论文。

其定义是，一个亚纯函数或整函数f(z)称为拟例外的，如果函数族f_n(z)=f(2ⁿz)在圆环(G)(1/2£|z|£2)中是拟正规的。

拟正规族的定义：设D是复平面C内的一个区域， ℱ是D内的一个函数族，如果对ℱ中任一函数列{f_n}，都存在子序列{f_nk}和D内的有限点集E，使得{f_nk}在D\E上局部一致收敛，则称ℱ是D内的一个拟正规族。

再关于上面全世界第一个获得数学诺贝尔奖的人Lars Ahlfors阿尔斯·阿尔福斯，维基网对Lars Ahlfors介绍的前两行只说他最值得人们缅记的工作只有下面简述的著作《复分析》和主要从属于复分析的黎曼曲面。这里顺着说复变函数理论的中心定理：即基于黎曼曲面之证明的黎曼定理（这定理当然不是基于黎曼1859年提出的上面黎曼猜想:ζ(z)=å_n₌₁^¥n^-^z=ò₀^¥(t^z^-¹/(e^t^-¹))dt/ò₀^¥e^-^tt^z^-¹dt的所有非平凡零点均在临界线Re z=1/2上），它是：D是z平面C上的任何单连通区域，但不是整个平面；设z₀ÎD，那么有且只有一个在区域D内的单叶函数w=f(z)，满足f(z₀)=0，f¢(z₀)>0，并且把D保形双射成|w|<1。最先的黎曼1851年提出并给出的证明有缺陷，从这里看是因考虑piecewise smooth。其后由我们哈密顿图权威徐军教授的导师孙树本教授当其助教的William Fogg Osgood于1990年最先把这定理限于考虑Simply connected domains with arbitrary boundaries，最先是由Constantin Carathéodory给出基于此的证明并于1912年出版，他的证明用黎曼曲面，其后Paul Koebe简化这证明。另外,培养了计算机之父兼博弈论之父-约翰·冯·诺依曼和二十世纪全世界最具天赋的先于我们海南琼州大学之前担任这里NNTDM编委的天才大师Paul Erdős等博士的导师Lipót Fejér和Frigyes Riesz在1922年出版不同的证明。（看来余家荣教授上面的《复变函数》说“这定理是黎曼在1851年提出的，可是他的证明有缺陷，直到1900年William Fogg Osgood才作出严格的证明”的说法是不准确的。正如海南琼大编委Paul Garabedian的导师Ahlfors的《复分析》说黎曼定理的“唯一性是很明显的”，关键的问题是存在性，并黎曼主要是假定了Dirichlet原理可行即其积分的某类极值问题的解存在，但正如其后魏尔斯特拉斯-Karl Weierstrass found that this principle was not universally valid）。

复分析的主要领域有：拟共形映射、Teichmuller空间、黎曼曲面上的拟共形映射、调和函数和次调和函数、有理函数的一直逼近、H^p空间和全纯傅里叶变换、微分方程复振荡等（这些领域国外上面说到的大师都有一些名著可参考，还如北大闻国椿翻译的Lipman Bers的《准解析函数论》并Lipman Bers和上面第一个获得数学诺贝尔奖的Lars Ahlfors做出很多重要工作，闻国椿1986年出版的《线性与非线性椭圆型复方程》和其后他的《非线性偏微分复方程》我也都买到，国内华罗庚、杨乐院士等都这些领域取得许多世界领先的工作，他们的一些著作也有影响，特别是还可参考李国平院士和蔡海涛的《准解析函数论》武汉大学出版社1984年，李国平院士的更早的1980年以前的《自守函数与闵可夫斯基函数》和《半纯函数的聚值线理论》我也全买到。有云：“李国平是我国著名数学家,与华罗庚一起有“北华南李”之美称.”、也有“李国平与华罗庚、苏步青被称为中国数学界“三大巨擘”,大名鼎鼎,蜚声中外”，虽有许多人不服，但华罗庚和李国平都主要做复变函数论-足见这领域不能不重视！！！如仅在我国期刊网见到闻国椿有160多篇，而如闻的北京大学数学搞其他领域现仍健在的3老：首批院士江泽涵院士包括中学类的《数学通报》3篇仅十篇，1980年当选院士的姜伯驹院士也是约十篇，首批院士段学复院士更少仅2、3篇，而他们的包括国外论文如在美国数学评论见闻国椿有222篇论文，江泽涵Kiang Tsai-han或Jiang zehan有约十篇…）。

其中“微分方程复振荡”就是正如这页最后部分的海南琼州大学的编委仪洪勋教授指导的最近曹廷彬的博士论文摘要中就说“其中，中国高仕安教授和陈宗煊教授做出了很大的贡献并推动了这领域的研究…”的领域，高仕安教授1963年毕业于武汉大学数学系，随后当年就来到母校华南师大数学系任教。陈宗煊教授就是上面最近也来华南师大任教的（曹廷彬的博士论文参考文献都是英文的文献，在这里附母校3个教授高仕安，陈宗煊，陈特为最近合撰的的《线性微分方程的复振荡理论》华中理工大学出版社1998，杨乐院士为它写的序说“谨向复分析方面的研究工作者、教师与研究生推荐”）

对下面3本较著名的代表性的基础教材，从目录内容等可以见它们的异同、范围、程度等，也一定程度知道怎样互补：

关于这海南琼大编委Paul Garabedian的导师Ahlfors的《复分析》一书-其内容主要为：

第1、2章是复函数和拓扑等的一些基本概念和性质。

第3章，复积分。

基本定理。线积分，矩形的柯西定理，圆盘中的柯西定理。柯西积分公式。一点关于闭曲线的指示数，积分公式，高阶导数。解析函数的局部性质。可去奇点，泰勒定理，零点和极点，局部映照，极值原理，链和闭链，单连通性，单连通域内的正合积分，多连通域。留数计算。留数定理，幅角原理，定积分的计算，

第4章，无穷序列。

收敛序列。基本序列，子序列，一致收敛性。幂级数。收敛圆，泰勒级数，洛朗级数，部分公式与因子分解。部分公式，无穷乘积，典型乘积，G-函数，Stirling公式。正规族。正规族条件，黎曼映照定理，。

第5章，狄利克雷问题。

调和函数。定义和基本性质，均值性质，泊松公式，Harnack原理，Jensen公式，对称原理。次调和函数。定义和简单性质，狄利克雷问题的解。多连通域的典型映照。调和测度，格林函数，具有平行线的域。

第6章，多值函数。

解析延误。一般解析函数，函数的黎曼面，沿弧的解析延拓，同伦曲线，单值性定理，支点。代数函数。两多项式的结式，代数函数的定义与性质，临界点上的性态。线性微分方程。寻常点，正则奇点，无穷远点附近的解，超比微分方程，黎曼的观点

国际数学联盟主席Wolf获得者Henri Cartan昂利·嘉当的《解析函数论初步》的内容为：

第一章，一些基本概念。

形式幂级数。多项式代数，形式级数代数，形式级数的阶，一个形式级数代入另一个形式级数，形式级数的倒级数，形式级数的导数，反级数。

收敛幂级数。幂级数的收敛半径，收敛幂级数的加法乘法，一个收敛幂级数代入另一个收敛幂级数，收敛幂级数的倒级数，收敛幂级数的求导，幂级数系数的计算，收敛幂级数的反级数。

指数函及对数函数。其级数展开式。

单实变或单复变解析函数。解析判别准则，解析开拓原理，解析函数的零点，亚纯函数，

第二章，全纯函数。

曲线积分。开集D内的微分形式w=Pdx+Qdx的原函数dF=w。闭微分形式-即是D的任一点的开邻域内都有原函数。非单值原函数。

同伦。定义：已给具有相同起点及终的两条道路g₀:I®D 及g₁:I®D （即(g₀(0)= g₁(0), g₀(1) =g₁(1))，如果存在着从I´I到D内的连续映射(t,u)®d(t,u)使得

d(t,0)= g₀(t), d(t,1)=g₀(t) , d(0,u)= g₀(0)= g₁(0), d(1,u)= g₀(1)=g₁(1)，则称g₀(0)和g₀(0)是（在D内）具有固定端点的同伦道路。

单连通开集内的原函数，封闭道路的指标，紧集的有向边界。

全纯函数。可微函数，全纯条件，掌握柯西定理，全纯函数的泰勒展开及几个相关定理公式原理。

第三章，泰勒展式及洛朗展式、奇点及留数。

注意刘维尔定理及泰勒系数的积分表示式。平均性质及最大模原理。洛朗展式。洛朗级数，环内全纯函数的洛朗级数展式，环内全纯函数的分解，柯西不等式及对孤立奇点研究的应用。

无穷远点及留数。黎曼球面及其上的可微道路、闭道路、紧集的有向边界等。留数，

对中心为原点的圆环r₁£|z|£r₂内的全纯函数f(z)，有引理：如果g是含在这样的圆环内的一条件闭道路，则有(1/2pi)ò f(z)dz=I(g,0)a_-₁,其中I(g,0)表示道路g关于原点0的指标，a_-₁是f的洛朗展式中1/z的系数。

当函数f以原点0作为孤立奇点（极点或本性奇点）时，特别可应用公式(1/2pi)ò f(z)dz=I(g,0)a_-₁在这种情形下，g表示0的邻域内不通过0的一条件闭道路。在f的洛朗展式中，系数a_-₁称为函数f在奇点0的留数。

留数定理，留数的实际计算，确定亚纯函数的极点及零点个数及应用，双周期函数及应用

第四章，多变量解析函数。

多变量幂级数。多重幂级数的收敛域，收敛幂级数的运算。

解析函数。可展开成幂级数的函数，解析函数的运算，解析开拓原理。

两个实变量的调和函数：¶²f/¶x₂+¶²f/¶y₂=0。调和函数与全纯函数的关系，平均性质，调和函数的解析性，求实部已知的全纯函数。泊松公式和狄利克雷问题。

多复变量全纯函数。全纯函数的定义，注意柯西积分公式，全纯函数的级数展式，全纯函数泰勒展式的系数的计算，全纯函数的复合，隐函数定理。

第五章，全纯或亚纯函数序列的收敛性，级数、无穷乘积，正规族。

在空间ℓ(D)的拓扑（ℓ(D)是开集D内复值连续函数的向量空间，ℋ(D)是开集D内全纯函数的向量空间）。在任何紧集上的一致收敛性，全纯函数序列收敛性的基本定理，空间ℓ(D)的拓扑。

亚纯函数项级数。亚纯函数项级数的收敛性，注意亚纯函数项级数的一些例子，魏尔斯拉斯P函数。

全纯函数的无穷乘积。定义，全纯函数的正规收敛乘积的性质，G函数，的无穷乘级展式，

ℋ(D)的紧子集。ℋ(D)的有界子集，基本定理的叙述、证明、推论。

第六章，全纯变换。

概念。保形变换。D的自同构，复平面的自同构，黎曼球面的自同构，单应变换群的几何性质，半平面及圆盘的等价性，半平面及单位圆盘的自同构。保形表示的基本定理。

解析空间概念，微分形式的积分。黎曼曲面。

全纯微分方程组。

存在及唯一定理.

设k为一整数³1。假定已给k+1个复数量的全纯函数k个：

f_i(x, y₁,y₂,¼y_k), 1£i£k,

假定这些函数在一点(a, b₁,b₂,¼b_k)的邻域内全纯。考虑微分方程组

dy_i/dx= f_i(x, y₁,y₂,¼y_k), 1£i£k,

我们要求含k个函数y_i= y_i(x)的函数组，使得这些函数在点x=a的邻域内全纯，y_i(a)= b_i,而且满足方程组。最后一个条件表明导数满足

定理：上述问题有一组解，并且只有一组解。

K=1情形：形式解，收敛问题，K为任何情形。

对参变量及初值条件的依赖性。高阶微分方程

关于北京大学李忠教授的《复分析导引》，其内容比上面的又稍有深化拓广：

第一章 Riemann映射定理

§1 解析映射；§2 解析函数序列与正规族；§3 Riemann映射定理的证明；§4 共形映射的边界对应；§5 模函数；§6 单值性定理；§7 Picard定理；§8 单叶函数；§9 区域序列共形映射的收敛定理

第二章广义Schwarz引理及其应用

§1 Poincaré度量；§2 Schwarz-Pick定理；§3 Montel正规定则；§4 Ahlfors超双曲度量；§5 ρ0,1(z)的初等下界与Landau定理；§6 Picard大定理；§7 Schottky定理

第三章共形模与极值长度

§1 共形模；§2 极值长度；§3 Rengel不等式；§4 模的单调性与次可加性；§5 保模映射；§6 模的连续性；§7 模的极值问题

第四章拟共形映射

§1 几何定义；§2 可微拟共形映射；§3 K拟共形映射的紧性；§4 广义导数；§5 拟共形映射的分析性质；§6 存在性定理及其推论；§7 拟共形映射的Riemann映射定理；§8 等温坐标的存在性

第五章 Riemann曲面的基本概念

§1 Riemann曲面的定义；§2 Riemann曲面上的解析函数与映射；§3 紧Riemann曲面间的全纯映射；§4 微分形式；§5 调和微分与半纯微分；§6 Stockes公式；§7 Weyl引理；§8 一阶微分形式的Hilbert空间；§9 光滑微分的分解定理；§10 调和微分的存在性；§11 半纯微分与半纯函数的存在性

第六章 Riemann-Roch定理

§1 曲面的拓扑；§2 de Rahm上同调群；§3 紧Riemann曲面上的全纯微分；§4 半纯微分的双线性关系；§5 除子与Riemann-Roch定理；§6 Riemann-Roch定理的证明；§7 Weierstrass空隙定理；§8 Abel定理及其推论

第七章单值化定理

§1 单值化问题与单值化定理；§2 单值化定理的证明；§3 单值化定理的推论；§4 Riemann曲面上的度量；§5 双曲型Riemann曲面与Fuchs群

第八章 Riemann曲面上的拟共形映射

§1 基本概念；§2 拟共形映射的同伦提升；§3 拟共形映射的极值问题；§4 二次微分的轨线结构；§5 Teichmüller映射；§6 Teichmüller惟一性定理

第九章 Teichmüller空间

§1 Riemann曲面的模问题；§2 Teichmüller空间的模型；§3 Fricke空间；§4 Teichmüller存在性定理；§5 Teichmüller度量；§6 模群及其间断性；§7 模变换的分类

附一些关于黎曼猜想的权威大师们写的书或文章：诺贝尔奖得主Alain Connes的“Trace formula in noncommutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function-1999年”也见SM杂志以及最近的“An Essay on the Riemann Hypothesis”也见数学问题集；第4个全获得数学三大奖的比利时人Pierre Deligne至今的论文一直用母语写不确知其详细但RH网推荐他1974年和1980年的；RH网也推荐这里Sommerfeld的博士贝特的博士Freeman Dyson写的啥“Birds and frogs”颇有意思；也推荐培养André Weil的导师阿达马Hadamard的“ Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques”；哈代Hardy和John Littlewood的“The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line”；美国科学院副院长Ronald Graham的导师Derrick Lehmer的“Extended computation of the Riemann zeta-function”；这Lehmer的博士Harold Stark的博士Andrew Odlyzko的“ The 10²⁰-th zero of the Riemann zeta function and 175 million of its neighbors”和“The 10²¹st zero of the Riemann zeta function”；海南琼大合作的Emory大学组合数学与数论专家Ken Ono和Kannan在Invent Math发表的“Ramanujan's ternary quadratic form”；黎曼1859年英文版；第3个全获得数学三大奖的John Milnor的“On polylogarithms, Hurwitz zeta functions, and the Kubert ident”；Paul Erdős的师兄Marcel Riesz在Acta Math的“Sur l'hypothèse de Riemann”；AM主编Peter Sarnak的“ Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis ”；准数学三大奖得主Atle Selberg的“Contributions to the theory of the Riemann zeta-function”；第1个全获得数学三大奖的Jean-Pierre Serre的 “Zeta and L-functions”和“ Facteurs locaux des fonctions zeta des varietés algébriques (définitions et conjectures”；John Tate的“Algebraic cycles and poles of zeta functions”；下面证明费马大定理得Weil的20篇论文中合作3篇的哈佛Barry Mazur和William Stein的“What is Riemann’s Hypothesis?”这里有一版本（他俩还写一书《Prime Numbers and the Riemann Hypothesis》）；第2个全获得数学三大奖的John Thompson和Hugh Montgomery的“Geometric properties of the zeta function”；图论大师Pál Turán的“On some approximative Dirichlet-polynomials in the theory of the zeta-function of Riemann”；海南琼州大学祖叔计算机之父Alan Turing图灵竟也写的“Some calculations of the Riemann zeta-function”（或看这里的Alan Turing and the Riemann hypothesis；Alan Turing and the Riemann Zeta Function）；上面阿达马的博士André Weil的“Numbers of solutions of equations in finite fields”；准数学三大奖得主证明费马大定理的Andrew Wiles的“Twenty years of number theory”（数学界数学三大奖-Fields,Wolf,Abel奖或准数学三大奖都获得的人全部就在上面）

刚又再有博士论文做Julia集的谱分析的Stanislav K. Smirnov获菲尔兹奖（Julia集是复平面上形成分形的点的集合这属于复变函数，也如他获奖之前的唯一博士Beliaev的学位论文是复变函数和他的导师Havin的博士论文也做复变函数。这Stanislav K. Smirnov在中学只参加2届国际奥赛但全都是满分42分-这算难得的天才，但他的本科只读圣彼得堡大学-即他导师Havin一直任教的大学-也许Havin觉得委屈他或唯他更好走向世界就和加州理工学院Nikolai G. Makarov教授联合培养他并其使授予加理博士---其实这Makarov的导师Nikolskii正是前者Havin的博士生）