变分学更常称变分法（Calculus of Variations；，它是处理泛函的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。它最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值，如此,它基于泛函分析而发展的领域；Oskar Bolza波尔查就是这里“历史上最伟大的数学家”第3个说在芝加哥大学工作的并写《Lectures on the Calculus of Variations变分法讲义》-就是海南琼州大学的师爷黄际遇大师说“际遇游学芝加哥,得师事Eliakim H. Moore大师”之尊就在这里第8段邀请Oskar Bolza在芝加哥大学，如在数学家谱网见Oskar Bolza的博士全是芝加哥大学的其中曾担任美国数学会正主席的Gilbert A. Bliss也写《变分法讲义》-而Bliss的也担任美国数学会正主席的博士Edward McShane也写长篇变分法如在第一数学杂志1931年就有这篇以及这篇变分法的）:

变分法起源于一些具体的物理学问题（确实，数学人应该感到这样与千万数学领域分支理论很普通的东西最初是应不会给予注意，也许就是物理等的需要才由数学家解决），并在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。最优控制的理论是变分法的一个推广。

同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau问题。

就如我校旁边的中山大学数学系梁汲廷教授的“椭园型方程广义解的有界性和可积性”,山西大学学报1986年01期的开头说“在偏微分方程和变分学的教程中，我们知道，数学物理方程往往是某个变分问题的方程，于是反过来在求解数学物理方程的解时，可以暂不考虑原来的方程，而先研究对应的变分问题，即：使某个积分取极小的问题，后者的欧拉方程恰恰就是原来所要考虑的方程，对于变分问题可以借助直接法作出未知解来。直接法的要点在于：（1）证明所考虑的积分是下半有界的并且在某种收敛意义是下半连续的；（2）选取极小化序列，所谓极小化序列是指这样的函数列，它使所考虑的积分的值收敛于其最小值并证明其收敛，这当中要求极小化序列中每一函数所满足的条件同样为极限函数所满足。…”（对本文梁汲廷教授说：作者应邀于1985年署假期间为山西大学数学系攻读偏微分方程硕士学位的研究生讲学，本文为讲学内容的一部分）

就因变分法在物理学中非常重要，如此在这页最后段见变分学就使得物理大学钱伟长和胡海昌院士在某些新理论上长期展开论战，参见下面书籍：

钱伟长大师的《广义变分原理》知识出版社1985年，这书第五章“弹性平面问题的广义变分原理”、第六章“薄板弯曲问题的广义变分原理”、第七章“非协调元和广义变分原理”、第八章“有限受变问题的变分原理和广义变分原理”、第九章“塑性力学的广义变分原理”、第十章“流体力学的广义变分原理”、第十一章“电磁场问题的广义变分原理”。从如此多章物理学科领域都用到“变分原理”，足见应有多少诺贝尔物理学奖得主从“变分原理”受益！！！

关于变分原理其是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律，也称最小作用定理。也是物理学的一条基本原理，以上面的“变分法”来表达。

下面再附一些较有影响的变分法书籍供参考：钱伟长大师的《变分法及有限元》科学出版社1980年；

胡海昌院士的《弹性力学的变分原理及其应用》科学出版社1981年；

胡海昌院士的《变分学》中国建筑工业出版社1987年；

1986年担任苏联科学院正院长的马尔丘克Guri I. Marchuk主撰写1976年出版的《迭代法和二次泛函》（线性泛函的二次式叫二次泛函，如此二次泛函的主要问题是极值问题。就如这书第四章是“二次泛函极小化”，而变分问题是有关求泛函的极大值和极小值的问题；这作者1986年担任院长这在苏联解体前可是有15个国家加盟组成的苏联科学院极其大那时的苏联科学也很强即又大又强）；

1952年担任苏联科学院副院长的M.A.拉夫连季耶夫也有译为M.A.拉甫伦捷夫(Mikhail A. Lavrentiev，在数学家谱网为Mikhail A. Lavrentjev)的《变分学教程》，高等教育出版社1955年；（第一届沃尔夫奖得主I.M. Gelfand伊斯雷尔·盖尔范德说他平生第一所数学学校便是M. A. 拉甫伦捷夫主持的复变函数讨论班），如这Mikhail A. Lavrentiev院长和海南琼州大学的编委的导师第一届菲尔茨奖得主Lars Valerian Ahlfors等建立了复变函数的拟共形映射（quasi-conformal mapping）理论，这拟共形映射理论不仅在数学的偏微分方程特别是椭圆型偏微分方程中占有重要地位，也在计算机等的很多领域有很成功的应用（海南琼州大学的编委的导师第一届菲尔茨奖得主Lars Valerian Ahlfors在1966年出版的《Lectures on Quasiconformal Mappings拟共形映射讲义》；S. L. Krushkal克鲁什卡的《拟共形映射与黎曼曲面》,李忠等译，科学出版社1989年；北大李忠的《拟共形映射及其在黎曼曲面论中的应用》科学出版社1988年，并作为现代复变函数论的主要开拓者这长期担任前苏联科学院副院长的M. A. Lavrentjev的《复变函数论方法》上下册，人民教育出版社1956、1967年在世界各国都产生广泛性的影响并且第四章是“保角映射的变分原理”。

关于历史上首位数学诺贝尔奖-Wolf奖获得者I.M. Gelfand伊斯雷尔·盖尔范德，如三个诺贝尔奖得主H Cartan. 和A. Connes 以及Piatetski-Sapiro之一致评论被录于科学网：I.M. Gelfand应并列二十世纪世界最伟大数学家。其中1977年至今一直任耶鲁大学教授的诺贝尔奖-Wolf奖得主Ilya Piatetski-Sapiro院士评论说：“I.M.Gelfand是最伟大的，I.M.Gelfand既具有I.R.Shafarevich那样渊深的数学造诣，又具有A.N.Kolmogorov那样广博的知识”--要知A.N.Kolmogorov可是20世纪世界第一数学家，这样的评价可参见这页最后段、或见这里第3段等，这评价也见于Wolf奖得主Sapiro院士写的“在苏联是怎样进行纯粹数学研究的”见《数学译林》1985(4),322-828，其中的A.N.Kolmogorov（柯尔莫哥罗夫）虽是居于I.M.Gelfand（盖尔范德/盖尔芳德/盖尔范特/）之后的第6个获得Wolf奖的但也被权威机构所做的一个被广泛认识的排名为20世纪的世界第一。那这二十世纪世界最伟大数学家I.M. Gelfand推崇的上面苏联科学院副院长Mikhail A. Lavrentiev应不虚-就如他的书确实不同凡响！如可见Lavrent'ev moved to Novosibirsk when he was vice-president of the USSR Academy of Sciences between 1957 and 1975. During this time he was Head of the Siberian Division of the Academy of Sciences of the USSR即Lavrent'ev在1957年至1975年期间担任苏联科学院副院长时搬到了新西伯利亚。在此期间，他担任苏联科学院西伯利亚分院院长即担任18年的苏联科学院副院长，而他的博士生Mstislav V. Keldysh更是担任了13年的苏联科学院正院长：served as vice-president of the USSR Academy of Sciences during 1961-62, then served as its president from 1962 to 1975（可见上面写《变分学教程》的作者苏联科学院副院长Mikhail A. Lavrentiev的博士Mstislav V. Keldysh在1962年已担任苏联科学院正院长--并有意思的是1962年12月10日在苏联科学院医院朗道接受了瑞典驻苏大使送上的诺贝尔奖章和证书。数学家斯季斯拉夫·克尔德什或称凯尔迪什（Mstislav V. Keldysh）上前代表苏联科学院表示祝贺。朗道说，“我也祝贺你，但坦率地说，我不羡慕你”当正院长（仅在朗道之前3年的1958年就有3个苏联人同获诺贝尔物理奖，你不羡慕人家当正院长，可Keldysh shad played an important role in the development of nuclear weapons by the Soviets as well as in their space research programme. For example, he was one of three scientists to make a proposal in 1954 for the Soviet space satellite programme and in 1955 he became head of the USSR Commission on the Satellite which was set up to oversee the programme. The first successful satellite launch in 1957 marked the beginning of an intensive programme of space research and Keldysh was involved in this through a number of different organisations such as the Department of Applied Mathematics which he headed. In 1959 the Interdepartmental Scientific and Engineering Council was established and Keldysh was appointed head of the Council.即Keldysh在苏联发展核武器以及太空研究计划中发挥了重要作用。例如，1954年，他是为苏联太空卫星计划提出建议的三位科学家之一，1955年，他成为为监督该计划而成立的苏联卫星委员会的负责人。1957年首次成功发射卫星标志着一项密集的空间研究计划的开始，Keldysh通过许多不同的组织参与其中，如他领导的应用数学系。1959年，跨部门科学与工程委员会成立，Keldysh被任命为该委员会的负责人。特别是其后和斯大林时代后期和赫鲁晓夫时代苏联首席科学家“斯大林的科学红衣主教特罗菲姆·李森科是在他当正院长的1964年起时开始清除李森科），朗道不羡慕的这正院长Mstislav V. Keldysh的工作主要是泛函分析和复变函数如当正院长后的这篇等并他当副院长后都不招生专心管理但之前他的这1949年毕业的博士Sergei Nikitovich Mergelyan在美国计算机学会通讯见他已是1959年苏联访问美国的8个人中仅有的2个院士，而他的仅当副院长的导师不仅写复变函数书2册，他的上面变分学也共十章2百多页，而一般书名都是变分法、变分原理也就是个方法、个原理大多都是百页左右）。参考Leonid Keldysh一家子都很牛：他的母亲柳德米拉(Lyudmila Keldysh）是苏联著名数学家、他的继父彼得·谢尔盖耶维奇·诺维科夫（Pyotr Novikov）是数学家苏联科学院院士、他舅舅Mstislav Keldysh是应用数学家，担任了14年苏联科学院主席（我国文化大革命十年正是在他担任正院长任上，他退下的第十年又再是数学家当上苏联科学院正院长即上面马尔丘克Guri I. Marchuk）、他的继弟，谢尔盖·彼得洛维奇·诺维科夫（Sergei Novikov）也是究极重量级，是苏联第一位菲尔茨奖获得者。

关于上面盖尔范德说平生第一所学校是因读研究生前他中学没有毕业且没上过大学：即1930年2月，盖尔范德随父去莫斯科投靠远亲．起初生活困难，经常失业，只得打工做杂活，包括在列宁图书馆做检查员．闲暇时他都在图书馆读书，补充在中学及未结业的职业技术学校没有学到的知识．在图书馆，他结识了不少大学生，并到莫斯科大学旁听数学课，还参加讨论班．他曾说他平生第一所数学学校便是M.A.拉甫伦捷夫主持的复变函数讨论班。1932年，从未上过正规大学的盖尔范德被莫斯科大学录取为研究生。

在物理相关领域的应用书籍还可参考：Weston M. Stacey的《核反应堆物理学中的变分法》，杜祥琬院士独立翻译，原子能出版社1982年（杜祥琬院士是1957年考入北京大学数学力学系和他的父亲杜孟模副省长是1925年考入北京大学数学系）；

鹫津久一郎的《弹性和塑性力学中的变分法》科学出版社1984年，鹫津久一郎就是上面物理大学钱伟长和胡海昌院士在长期展开论战中涉及的主要人物，由老亮和郝松林译这书；

C. L. Dym和I. H. Shames的《固体力学变分法》中国铁道出版社，1984年，袁祖贻等译；

湖南大学副校长兼湖南大学学术委员会主任熊祝华教授主撰的《弹性力学变分原理》，湖南大学出版社1988年；

湖南大学周叔子教授的《变分不等式及其有限元方法》,湖南大学出版社1988年；

Umberto Mosco的《变分不等式近似解引论》王烈衡王苓贤译,上海科学技术出版社1985年（Umberto Mosco的博士Maurizio Falcone的博士论文的领域属于“Calculus of variations and optimal control变分法与最优控制”-可见变分法不仅在物理学也在控制理论等很多学科领域起到很重要的作用甚至占有重要分量），如此下面附一些相关的变分学书籍供参考：

Solomon G. Mikhlin米赫林独撰的《二次泛函的极小问题》，科学出版社1964年；

Л.Э.Эльсгольч艾利斯哥尔兹的《变分法》人民教育出版社1962年；

Tosio Kato加藤敏夫的《变分法及其应用 》上海科学技术出版社1961年；

叶庆凯，郑应平的《变分法及其应用》国防工业出版社1991年（叶庆凯教授是北京大学控制论专家、郑应平是中国科学院自动化研究所控制论专家）；

孙振绮，邢继祥的《变分法与最优控制》哈尔滨工业大学出版社1987年；

这里说的游兆永,龚怀云,徐宗本的研究生教材《非线性分析》一书的前2个文献即下面陈文㟲教授的书和郭大钧教授的书并它俩各用一章讲变分学而且是列为最后一章：

陈文㟲教授的《非线性泛函分析》,甘肃人民出版社,1982年；

郭大钧教授的《非线性泛函分析》,山东科技出版社,1985年。

张石生的《变分不等式和相补问题理论及应用》，上海科学技术出版社1991年；

彭旭麟等《变分法及其应用》华中工学院出版社1983年；

吴迪光的《变分法》高等教育出版社1987年；

史金松的《变分不等式及其应用》，河海大学出版社1990年；

关于上面说“变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具”：

就如数学家Gilbert Strang吉尔伯特-斯特朗和George J. Fix合撰1983年由科学出版社出中文版的《有限元法分析》其基于的主要的数学方法就是变分法。

还如上面钱伟长大师的《变分法及有限元》科学出版社1980年；

以及海南琼州大学推广并简洁处理他的导师R. S. Varga大师的伟大成果的法国3个中国科学院外籍院士之一的P.G.Ciarlet的《有限元素法的数值分析》，蒋尔雄译，上海科学技术出版社1978年；

还如李荣华和冯果忱的1980年由人民教育出版社出版的《微分方程数值解法》的“变分原理”这一章开头说“数学物理中的变分原理，有重要的理论和实际意义，也是构造微分方程数值解法的基础”。

等等