本页主要简述动力系统。
但其实我最先对动力系统的认识，倒不是来自动力系统的任何专著，而是来自北大张锦炎教授的1981年北京大学出版社出版的《常微分方程几何理论与分支问题》一书，即它的动力系统的定义最先出在第四章动力系统，而且页码还写错，即第四章动力系统本应是第109页始却写成106页但这显然是出版人的问题（还如第5章振动方程与生态方程有2处写Van det Pol方程，但应是van der Pol方程，是否也出版人问题），不过这系统较典型并定义的描述简练很好记，就感兴趣而看它进而看动力系统的相关专著。
最近关注这领域除了它的近来的影响外，还因最近2005年下面给海南琼州大学来过十封信的“当代最富有色彩的著名数学家史蒂芬·斯梅尔(Stephen
Smale)以及使哈佛大学崛起的海南琼大师爷Birkhoff是这领域的主要开创者，并也已有许多可参的成熟书籍如他和他的博士Morris W. Hirsch合写的高教社1987年出中文版的《微分方程、动力系统和线性代数》；这给海南琼州大学来了十封信的Stephen Smale有一个博士是国际数学联盟主席发展中国家科学院院长Jacob Palis雅各布·帕里斯，此主席和其博士Welington Celso de Melo（Artur Avila的导师）合写1988年由科学出版社出版上面中文版《动力系统几何理论引论》；这领域除了参考它外还应参考北大的3本书：张芷芬、丁同仁、黄文灶、董镇喜1985年科学出版社出版的《微分方程定性理论》（他们的老师是Yu-Cheng
Shen申又枨-丁同仁的常微书说“纪念我国微分方程界先辈申又枨教授”，偏微在复旦）、张锦炎等在北大出版社出版的《微分动力系统导引》、张筑生1987年在科学出版社的《微分动力系统原理》、南大2本书：叶彦谦1990年科学出版社出版的《曲面动力系统》（它类似《极限环论》的布局写法）、罗定军和滕利邦的1990年高等教育出版社出版的《微分动力系统导引》（两者的关系科参考罗定军的“纪念恩师：叶彦谦教授百年诞辰”），还可参考南大毕业生陈兰荪和陈键的1993年科学出版社的《非线性生物动力系统》，黄琳院士1992年北大出版社出版的《稳定性理论》，秦元勋等1963年的《带有时滞的动力系统的运动稳定性》；廖晓昕等译Joseph P.
LaSalle的1983年中文版《动力系统的稳定性》；余贻鑫院士和邹斯勤译维尼柯夫主编的《动力系统中的数学方法和计算机》；李炳熙的《高维动力系统的周期轨道理论和应用》；Stephen Smale的博士John
Guckenheimer和Philip Holmes合撰的459页的“Nonlinear oscillations, dynamical systems,
and bifurcations of vector fields”-我只有1983年出版的这书英文版；以前我确实还有20世纪最伟大的数学家之一、动力系统大师Vladimir I. Arnold阿诺德的一套“动力系统”好象有到我读研究生结束的90年代初的第4卷-不过我一时找不到）并写的《Ordinary differential
equations》一书的最后的第5章是“Differential
Equations manifolds流形上的微分方程”即它与上面Jacob Palis和de Melo的书《动力系统几何理论引论》相近（正如Vladimir
I. Arnold在序言说“The exposition of many topics in the course
differs widely from the traditional exposition. The author has striven
throughout to make plain the geometric, qualitative side of the phenomena being
studied本课程中许多主题的处理方式与传统的有很大不同。作者自始至终都在努力强调所研究现象的几何和定性方面”，如我国的以前的常微没用几何去处理，而定性都主要是讲稳定性的一些较简单初等的）。
动力系统（关于之就如丘成桐院士说其开创者是George D. Birkhoff，如此本页主讲使哈佛大学崛起的海南琼大师爷Birkhoff的系统动力学-其也是分析力学近些年来很受重视的一个领域）：
动力系统就是抽象的“流”，点的流动就形成了“轨道”．动力系统经典的例子是常微分方程（或者说向量场）给出的点随时间沿解曲线的流动．为简单起见我们假定每条解曲线都定义在整个时间轴（一∞，∞）上，从而点流动起来不必担心“出界”，最特殊的轨道由一个点组成，即向量场的“奇点！，也就是“流”的不动点，比如常见的汇点、源点、鞍点．如果附近的点以指数速度趋近或远离，则称之为“双曲”奇点。还有比较特殊的就是周期轨道. 如果附近的点以指数速度趋近或远离，则称之为“双曲”周期轨道．奇点和周期轨道是最简单且最重要的轨道。
每一个学科发展的背后都有许多故事．动力系统也是这样，上世纪60年代初Peixoto于1962年和1963年在Topology杂志讨论2维的结构稳定常微系统，并证明一个关键定理，这个定理说：在可定向闭曲面上，一个向量场为结构稳定当且仅当它是简单的（这里“简单”是指只有有限个奇点和周期轨道，每个是双曲的；每个点正向或负向都趋于一个奇点或一个周期轨道；没有鞍点连线），而且，结构稳定向量场在全体向量场的空间里稠密。
这里，称一个向量场为结构稳定的，如果它“附近”的所有向量场的轨道拓扑结构都与它相同，不论从哪个角度看，结构稳定性都是一个重要的概念．但这个概念比较抽象，涉及“附近”的所有向量场，较难把握．而上述定理提出的判别条件却只涉及一个向量场，而且只涉及很少几条有关奇点和周期轨道的信息，具体直观，这个漂亮的整体性定理立刻吸引了众多数学家的注意，其中就有世界最富有传奇色彩的Stephen Smale-史蒂芬·斯梅尔（如《传奇数学家斯梅尔》一文说“当代富有色彩的著名数学家,首推美国史蒂芬·斯梅尔(Stephen
Smale)教授”），他后来在一篇回忆文章中记下了下面这个有趣的故事（上面我们海南琼州大学升本科前我和Steven Smale通信有好一段时间有约十封信--得到他热忱表达会给琼州大学的杂志写稿等-这是在以前杂志等很少的时代-否则是不应该去占用人家的时间--但后来杂志泛滥得太快使我感到不太珍贵而渐冷淡也不再值得浪费他们宝贵时间和心血，因他之级别如全世界每隔十年或每年都提及1930年7月15日,美国数学家史蒂文·斯梅尔（Steven Smale）诞辰 。关于Smale对这学科的奠基性，可参考我国微分动力系统第一人廖山涛院士在《微分动力系统的定性理论》所说廖院士也肯定前面的Peixoto的工作并说他1961年就已投入研究，但他更肯定是Smale推动这学科发展，或 见Guckenheimer和Holmes的这学科的里程碑性著作“Nonlinear
Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcation of Vector Fields”前言就根本没有提过Peixoto的名且说Smale在1967年的经典论文给出引领这学科的一系列杰出问题从而激发这学科产生大量工作推动这学科向前发展。但Peixoto还是有他的历史地位的，也许是巴西人见他远不如Smale，他既没有名导师他的博士生也不出名，就相对显得冷清一些，听说Smale和Peixoto之间有些传奇的故事如对Peixoto不长的12行维基网的介绍中就有3行说Back to Princeton,
Peixoto met Steve Smale, the mathematician that would later become a
reference in dynamical systems. Smale was interested in Peixoto's work and
realized he could extend his own based on it. Their contact intensified and,
when Peixoto came back to Brazil, the American mathematician spent six
months at the Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada at Rio
de Janeiro
Smale起初猜测Peixoto定理对高维空间也成立，但微分方程专家Levinson写信告诉他这不对，说自己研究过一个3维的常微分方程，有无穷多个周期轨道，而且扰动不掉．Smale半信半疑找出Levinon的文章来仔细揣摩，天天带着一打纸和一支笔，到里约热内卢的海滩上思索，累了就游游泳，他终于确信Levinson是对的．实际上，Smale从Levinson的文章中抽象出了这里陈述的关键机理，即如这里的一个方形，与流线方向横截．在流动中，它渐渐变瘦变长，并弯成马蹄的样子，又转回来，与它自己相交，也可见如图（这里把故事做了点简化）．Smale发现，就是这个简单的机理，蕴含了扰动不掉的无穷多个周期轨道，为了更简洁地说明问题，他把这个3维流的问题约化为一个2维映射的问题，即把流“转一圈”的过程记为一个映射f：Q→R2，这样，f的一个不动点就对应于流的一个周期轨道．f的一个2-周期点也对应于流的一个周期轨道，只是“转了两圈”．Smale证明了f有无穷多个周期点，而且扰动不掉．这说明Peixoto定理在高维确实不成立，也就是说，在高维，结构稳定性并不总表现为有限个周期轨道的简单形态，而可能与高度的复杂形态（后来被称为“混沌”）共存．这个重要的发现成为现代动力系统兴起的标志（可参考张景中院士等的关于Smale马蹄的一个简单模型以及他们的Smale马蹄及其Ω稳定性，北京大学张锦炎教授的关子Henon映像中的Smale马蹄，最近郭柏灵院士等的离散扰动NLS方程组的Smale马蹄与混沌(Ⅱ)——Smale马蹄，以及现为英国拉夫堡大学数学学院院长赵怀忠教授的Hénon映射产生的Smale马蹄等）．本书第三章将讲到这个“马蹄”映射.
Smale很快发现，这个问题有很深的历史渊源，它与20世纪前期我们海南琼州大学师爷叔Birkhoff的一些工作有关（如丘成桐说Birkhoff在前世纪20年代出版了经典著作《动力系统》--可道客下载-文档下载）．基于马蹄映射和随后Anosov的重要工作，Smale提出了“双曲集”的概念，并和Palis
一起提出了相当于Peixoto判别条件的高维形式，即对整个学科产生很大影响的“稳定性猜测”，这一猜测引发了包括他们自己和Robinson，廖山涛，Mane在内的许多学者的重要工作，推出了动力系统的一个全盛期，至于稠密性，则情况很不相同．Smale以及后来的许多学者发现，在高维，结构稳定系统不稠密．也就是说，在高维系统组成的空间里，存在这样的开集，里面每个系统都不是结构稳定的．Bonatti和Diaz甚至发现，存在这样的开集，里面每个系统的任意邻近，可以在差一迭代的意义下出现任何系统！世界的奥秘和神奇，就这样被一代一代的探索者们一步步揭开……可参考最近的McMullen映射动力系统与具有旋转域的有理映射的Thurston型定理（它涉及组合数学以及图论的方法和技巧。这Thurston就一直致力于研究3维流形的叶状结构，进而提出几何化猜想，并指出庞加莱猜想只是几何化猜想的一个特例。佩雷尔曼就证明几何化猜想并也获得诺贝尔奖。其实，这2个诺贝尔奖获得者William
Thurston和Curtis McMullen的这理论，就是用组合方法来研究叶状结构，进而研究Teichmuller空间理论。关于叶状结构可参考Conlon和其博士的《Foliations I》和《Foliations II》或参看Moerdijk等的《叶状结构与李群胚引论》） (还可参考海南琼州大学师爷叔Birkhoff的博士H. M. Morse和Steven Smale最先得到的Morse-Smale向量场，莫尔斯-斯梅尔微分同胚，莫尔斯-斯梅尔系统等) 。
如此，本页主要依据琼州大学师爷叔George D. Birkhoff以其开创的动力系统于1927年撰写而成的世界名著《Dynamical
systems》以及结合下面Santilli的书等等讲述下面领域课题；
（1983年Ruggero Maria Santilli的书《Foundations of Theoretical Mechanics II. Birkhoffian generalization of Hamiltonian
mechanics》.研究了Birkhoff方程，Birkhoff方程的变换理论和Galilei相对论的推广等问题）：
1、Birkhoff方程和Pfaff-Birkhoff原理
2、完整力学系统的Birkhoff动力学
3、非完整力学系统的Birkhoff动力学
4、Birkhoff系统的Noether理论
5、Birkhoff系统的Poisson理论
6、Birkhoff系统动力学逆问题
7、Birkhoff系统的运动稳定性
8、Birkhoff系统的代数和几何描述
下面说到的1954年,三位数学家建立的定理起关键桥梁作用：即科尔莫戈罗夫(Kolmogorov)、阿尔诺德(Arnold)和莫泽(Jürgen
Moser)证明了一个非常重要的动力学定理:KAM定理（这3人都是宗师其中Kolmogorov是世界第一、Arnold写上面多本书、Jürgen Moser是1983年数学联盟主席1994年沃尔夫奖得主）
§0.1 动力系统
狭义而言，动态系统（也称动力系统）为依据力学原理所建立的描述机械或结构系统运动的微分方程组。一般地，状态随时间变化的工程、物理、生物、社会等系统也都可以称为动态系统(dynamical system)，简称系统(system)。状态(state)和时间(time)是构成动态系统的两个要素。动态系统由演化规律和初始条件时间描述。演化规律(evolution law)是系统状态与系统先前状态的依赖关系。初始条件(initial
condition)是起始时刻的系统状态。
动态系统可分为确定性和随机性两类。确定性系统(deterministic
system)的特性可用时间的确定性函数给出。随机性系统(stochastic system)的特性不能用时间的确定性函数给出，只具有统计规律性。随机性系统一般含有随机性的初始条件、随机性的参数变化或随机性的外部激励，也可以更明确地称为外在随机性系统(externally stochastic system)。
动态系统又可分为有限维和无穷维两类。有限维系统(finite-dimensional
system)的状态可以用有限个参数表示。例如，由彼此分离的有限个质量元件、弹簧和阻尼器构成的有限自由度力学系统。无穷维系统(infinite-dimensional system)的状态必须用无穷多个参数表示。例如，由弦、杆、梁、板、壳等具有分布质量的可变形元件构成的无穷多自由度力学系统。
动态系统还可分为连续时间和离散时间两类。连续时间系统(continuous-tims
system)的时间是连续变化的，即时间在实数轴或其中某个区间上取值。离散时间系统(discrete-time system)的时间是不连续变化的，即时间在整数集合或其中某个子集上取值。为在不会引起混淆时可分别简称为连续系统(continuous system)和离散系统(discrete
system)。
系统状态随时间变化过程称为运动(motion)，也称为动力学行为(dynamical
behavior)，甚至可简称为动力学(dynamics)。只在运动起始后较短的时间中发生的运动称为暂态运动(transient motion)。在充分长时间中进行的运动称为稳态运动(steady
motion)。稳态运动也可能以暂态运动开始，暂态运动之后的运动称为渐近行为(asymptotic behavior)，或长期行为(long-time
behavior)。对于确定性系统而言，通常人们认为除静止不发生变化外的有限渐近行为只有周期运动和准周期运动。然而研究发现也存在非周期运动。
§0.2 非线性系统及其性质
非线性系统(nonlinear system)是指系统状态的变化以一种复杂的方式依赖于系统先前的状态。这里所谓“复杂的方式”是除成比例、相差常量及其这两者组合之外任何其它方式。非线性动力学系统通常用非线性微分方程组或非线性差分方程组描述。不是非线性系统的系统称为线性系统(linear system)。线性系统状态的变化与该系统先前的状态成比例、相差常量或是两者的组合。
与线性系统的特殊情形相比，非线性学系统具有若干更为复杂的性质。首先，线性系统研究中经常采用的叠加原理对非线性系统不适用，即非线性系统两个运动叠加的结果一般不是该系统的运动。其次，非线性系统运动的周期不像线性系统那样仅由系统特性确定，一般还与初始条件有关。第三，非线性系统可能具有多个平衡位置和稳态运动，系统的动力学行为既取决于这些平衡位置和稳态运动的稳定性，也与初始条件有关。第四，对工程中的非线性机械、结构和机电系统，系统的响应与激励频率存在复杂的依赖关系，而线性系统响应与激励的频率是相同的。最后，线性系统仅存在周期运动和准周期运动两种有限运动，非线性系统存在混沌等复杂运动现象。
§0.3 非线性动力学的内容、方法和意义
对非线性现象的研究需要多个学科的交叉。纯粹和应用数学理论如动态系统理论、奇异性理论、摄动理论等，理论和实验力学概念和方法如工程现象的力学建模、应用力学规律解释动力学行为、固体和流体系统实验研究等，以及电子计算机的数值和符号运算，均为分析非线性问题的重要工具。在多学科交叉的基础上，形成了非线性动力学这一新的分支学科。
非线性动力学(nonlinear dynamics)研究非线性动力学系统各类运动状态的定性和定量变化规律，尤其是系统的长时间演化行为中的复杂性。对有限维系统而言，其主要内容包括混沌、分岔和分形。混沌是一种由确定性动力学系统产生对于初值极为敏感而具有内在随机性和长期预测不可能性的往复非周期运动。分岔是指非线性动力学系统的定性行为随着系统参数的改变而发生质的变化。分形是没有特征尺度而又具有自相似性的几何结构，用于描述破碎、不规则的复杂几何形体。
非线性动力学的研究包括实验和理论两方面。实验研究分为实验室实验和数值实验两种，对于某些工程问题还需要进行现场实验。实验工作是理论结果的先导、补充和验证。理论研究可揭示非线性系统的基本性质和解释大量的具体现象，主要方法包括数学抽象、解析方法和拓扑方法。数学抽象不直接研究真正的非线性动力学问题，而是研究人为构建的数学结构，它具有某些类似于真实非线性系统的性质但结构上比较简单。具体的非线性系统的一些性质往往很难发现，除非已经知道发现这种性质的可能性，一般的数学抽象正可以揭示这种可能性。解析方法是种定量方法。非线性系统的精确解析解通常涉及非初等函数(如椭圆函数)的引入和研究，但能够得到精确解的非线性系统极为有限。更常用的是谐波平衡法、摄动法、平均法、渐近法和多尺度法等近似解析方法。拓扑方法是种定性方法，从几何观点描述系统的动力学行为。解析方法和拓扑方法可以互相补充，拓扑方法可以得到动力学系统大范围的结果，定量方法可以对一个确定的小范围给出定量结果。
混沌等非线性动力学问题的研究具有深刻的理论意义。在混沌现象广为人知以前，对自然界的描述分成随机性和确定性截然不同的两类，确定性系统具有决定论的性质。混沌研究的兴起促使人们重视有限性的问题，即随机检验只能在有限的时间和频率中进行，真实物理量的精度都是有限的。随着对确定性混沌理解的深入，机遇、因果、决定论等人类认识自然的基本概念和范畴需要重新认识。非线性动力学的研究导致了一种新的实验方式，数值实验的产生和广泛应用。非线性动力学的研究也促进了数学、物理、力学中相关学科的发展。随着研究的深入，非线性动力学也日益在工程技术、生物医学和社会科学中显示出广阔的应用前景。
非线性动力学在近20年来不论从深度到广度都以空前的速度发展，成为当前非常活跃的力学分支。同时它与其它科学和工程中的非线性研究紧密联系，构成非线性科学的一个重要方面，成为现代科学技术的重要前沿领域。
§0.4 非线性动力学发展简史
人们对非线性问题的认识至少可以上溯到1673年C. Huygens对摆的研究，他观察到单摆大幅摆动对等时性的偏离以及两只频率接近时钟的同步化两类非线性现象。1687年I. Newton发表的运动定律表明动力学问题本质上是非线性的。但直到本世纪30年代才有非线性力学这一名称，内容是经典的非线性振动理论。而非线性动力学这个名称在70年代中后期才逐渐使用，以概括对混沌、分岔等问题的研究。
上世纪末H. Poincare的工作为非线性动力学的发展奠定了基础。Poincare开创了动力学问题研究的一个全新方向：定性理论。在1881年至1886年的一系列论文中，他讨论了二阶系统奇点的分类，引入了极限环概念并建立了极限环的存在判据，定义了奇点和极限环的指数。在此之前的1879年，他建立了分岔研究中其重要作用的范式理论的雏形。1885年他研究了分岔问题。1890年他证明了不可积系统的存在。1892年他论证了摄动法的合理性，为促进了非线性系统近似解析方法的研究。1894年他发现了伴随横截同宿点产生的复杂运动现象。1905年他明确地阐明了对初值敏感依赖而导致的不可预测性。
本世纪20年代以来对非线性系统与线性系统的本质差别已有所认识。1918年G. Duffing和1926年B. van der Pol 对典型非线性振动系统的研究揭示了次谐振动、自激振动等非线性系统的特性。1929年A. A. Andronov将Poincare的极限环概念与自激振动建立了联系，他随后对平面系统的定性特征进行了系统的研究。在三、四十年代，N. M.
Krylov、N. N. Bogoliubov和Y. A. Mitropolskii等发展了非线性系统近似解析方法。
对混沌现象的广泛研究促使非线性动力学迅速发展。就不可预测性的物理概念而言，1955年M. Born和1964年L. Brillouin分别阐发Poincare的思想而指出经典动力学系统中存在产生于不稳定性的不确定性。就非周期性的数学描述而言，1921年H. M. Morse引进了符号动力学方法，1963年S. Smale构造了马蹄映射。近可积保守系统的非周期性运动产生机制由A. N.
Kolmogorov在1954年所揭示，他的结论后来由V. I. Arnol'd和J. Moser严格证明而称为KAM定理。计算机的发展为混沌研究提供新的手段。一系列重要的数值结果验证了混沌的存在，包括1963年E. N. Lorenz的简化热对流模型、1964年M. Henon和C. Heiles的2自由度保守系统模型、1973年上田和林千博的受迫非线性振动模型以及1976年Henon的存在奇怪吸引子的2维映射模型。奇怪吸引子的概念是1971年D. Ruelle和F. Takens提出的。1975年李天岩和J. A.
Yorke尝试对区间映射给出混沌的数学定义。1976年R. M. May对1维映射中复杂动力学行为的研究使得混沌受到普遍关注。70年代后期，混沌与分岔和分形相交融，使得非线性动力学的研究工作更加深入和广泛。
本世纪70年代原来独立发展的分岔理论汇入非线性动力学主流之中。分岔现象的发现可以上溯到1729年P. Musschenbrock对压杆失稳实验的观察，1744年L. Euler从挠曲线角度进行了理论分析。固体力学中将这类分岔称为屈曲。1877年Lord Rayliegh开始发展分岔的数学理论，并在1883年利用系统参数的分岔成功地解释了1831年M. Faraday和1868年Matthiessen关于振动流体实验的不同结果。1883年O.
Reynolds发现在临界数时层流转变为湍流的现象，这种运动分岔在流体力学中称为转捩。1885年Poincare的工作标志分岔理论的创立。1938年Andronov和L. S.
Pontryagin建立了分岔和动态系统结构稳定性的关系。作为数学分支，分岔理论在60年代已基本形成。1972年R. Thom宣传的突变理论曾使得分岔理论中的奇异性方法受到广泛注意。1971年Rulle和Takens提出环面分岔进入混沌，到1982年这种进入混沌的途径基本清楚。1978年F. J. Feigenbaum所发现倍周期分岔进入混沌途径普适规律受到广泛注意。1980年Y. Pomeou和P.
Manneville发现了伴随鞍结分岔的阵发性进入混沌的途径。这些工作建立了分岔和混沌的联系。
本世纪70年代开创的分形几何对非线性动力学的发展和普及起了重要作用。1880年Poincare和F. Klein关于自反演的工作已涉及分形的若干方面。1875年H. J. S. Smith构造的集合(由于G.
Cantor1883年的工作而习惯上称为Cantor集合)和1904年H. von Koch设计的曲线是分形的典型例子。1918年F.
Hausdorff定义了维数，它不必局限为整数。本世纪20年代，P.Fatou和G. Julia通过对复变映射的研究对揭示分形现象作出重要贡献。1975年B. B. Mandelbrot开创了分形几何以处理具有自相似性和无标度性的破碎几何形体，80年代以后引起公众对非线性现象尤其是分形的极大热情。80年代初分形被用以刻划奇怪吸引子。80年代中、后期分形被用以描述多吸引子系统吸引盆的边界。
§0.5 非线性动力学的工程应用
工程系统中广泛存在着非线性因素，如电场力、磁场力、万有引力等非线性力(nonlinear force)，法向加速度、哥氏加速度等运动学非线性(kinematics
nonlinearity)，非线性本构关系等材料非线性(material nonlinearity)和弹性大变形等几何非线性(geometric
nonlinearity)。因此工程实际中的问题大多应该模型化为非线性系统。传统上采用线性化或等效线性化将非线性系统处理成线性系统，但仅限于一定的范围。当非线性因素较强时，用线性理论得出的结果不仅误差过大，而且无法对一些实际现象作出解释。早在1940年，现代力学的开创者Th. von Karman就发表了综述文章《工程师们和非线性问题打交道》，在总结当时力学各分支学科非线性问题研究成果的基础上，强调非线性问题在工程中的重要性。随着现代科学技术的发展，工程结构日益大型化、高速化和复杂化，使得非线性效应必须加以考虑。电子计算机的迅速发展和广泛应用以及动态测试和在线数据处理技术的进步也使工程中的非线性问题的研究成为可能。
非线性动力学在工程问题的研究中也起着愈来愈重要的作用。非线性动力学在工程中的重要性体现在以下几个方面。非线性动力学表明简单的数学模型可能产生复杂的动力学行为，因而可应用于时间序列的非线性建模和预测以及控制。非线性动力学揭示了不规则的噪声信号可能产生于低阶的确定性非线性系统，从而为噪声的抑制提供了新的思路。非线性动力学对于系统全局和长期性态的分析结果，可用于数值仿真结果可靠性的研究。非线性动力学还为实验研究提供了新的概念和方法，在传统的频谱分析之外可以测量确定识别混沌运动的一些特征数值。
工程中的非线性动力学问题千差万别，然而解决的途径往往具有共同性。其共同的前提是建立系统的数学模型。建立系统数学模型的方法可分为两类。一类是理论建模，从已知的原理、定律和定理出发，通过机理分析发现工程问题的内在动力学规律，推导出相关参数的解析关系。另一类是实验建模，直接从工程系统运行和试验数据辨识出所涉及参数的关系。在工程系统的数学模型的基础上，可以对系统进行分析、仿真、优化和控制。非线性动力学作为一门力学的分支学科，重点讨论系统模型的分析，但对系统的实验建模也略有涉及。
先讲述上述精彩领域的一个较为基础的部分．为简单起见我们只讨论离散时间的系统，即同胚的迭代．
1.1基本概念
命X为一紧致度量空间，f: X→X为一同胚．f生成一族自复合，或称迭代
f n= f•f•…f, f 0=id, f -n=( f
n) -1．
显然，对任意整数n和m，fn•f m= f
n+m
称这一族迭代( f
n)n=1¥ 为f生成的动力系统，或简称f为一动力系统．
对任一xÎX, 称集合 ( f n)n=-¥¥ 为x在f下的轨道，记为Orb(x,
f)或Orb(x)．任二轨道或全同，或不相交，称集合{x, fx, f2x, …}和 {x, f-1x, f-2x, …} 分别为x的正半轨和负半轨，记为Orb+(x)和Orb-(x)．称x为一周期点，如果存在n≥1，使得
fn(x)=x．使该等式成立的最小的正整数n称为x的周期，周期为1的周期点即为不动点．易见x为一周期点当且仅当x的轨道由有限个点组成，记f的周期点的集合为P(f)，不动点的集合为Fix(f)．
称A ÌX为f的一个不变集，如果fn(A)=A．任一轨道为不变集，易见, A为不变集当且仅当A为一些（有限个或无穷多个）轨道的并集． P(f)和Fix(f)为不变集，空集Æ和全空间X总是不变集．
定理1.1若A为不变集，则余集A-，¶(A)，int(A)也是不变集.
动力系统注重轨道的极限状态，因而便于研究的是（非空）紧不变集．全空间X总非空且紧致；不动点集Fix(.f)不一定非空，但总紧致；周期点集P(f)不一定非空，也不一定紧致．由此产生了许多复杂的动力现象．
一个点xÎX的正半轨
x, fx,
f2x, …
一般说来不收敛（若收敛，其极限必为不动点），但总有许多子序列收敛，称yÎX为x的一个w-极限点，如果有正整数的一个子序列ni®+¥使得f-ni(x)®y.
称x的全体w-极限点的集合为x的w-极限集，记为w (x)．反转时间则可定义x的a-极限集，确切地，称yÎX为x的一个a-极限点，如果有正整数的一个子序列ni®+¥使得fni(x)®y.
称x的全体a-极限点的集合为x的a-极限集，记为a(x)．显然a(x)=w(x,f-1). 故一般只陈述关于w (x)的结果. 若x为周期点,则
a(x)=w(x)= Orb(x).
定理1.2
对任意xÎX,
w(x)为非空紧不变集,且lim)n=¥d(fn(x),w(x))=0.
周期轨道是最简单且最重要的轨道．比周期性放宽一些的，是各种“回归性”的概念，比如称x∈X为一个正向回复点，如果x∈w(x).换句话说，x为正向回复的，如果x的正半轨逼近到x自身，类似地，称x∈X为一负向回复点，如果x∈a (x)．正向回复点和负向回复点统称为回复点．可以证明回复点集一定非空，但不一定闭，更一般地有所谓“非游荡”的概念。称x∈X为一非游荡点，如果对x在X中的任意邻域V，存在n≥1使得 fn(V)ÇV¹Æ. 换句话说，对x在X中的任意邻域V，都有某个轨道穿过V至少两次。非游荡点的集合称为非游荡集，记为W(f)，易见W(f)非空紧不变集，包含f的所有的周期点、回复点、w-和a-极限点、以及它们的闭包点。
称A ÌX为为f-极小集，如果A为f的非空紧不变集，但A没有任何真子集是非空紧不变的．一个不动点或一条周期轨道是极小集．
定理1.3 任一非空紧不变集中必包含一个极小集.
下一定理说明，极小性导致很强的“回归性”.
定理1.4
A为极小集当且仅当每一x∈A的轨道在A中稠密．
注 定理陈述中的“轨道”可以换成“正半轨”或“负半轨”．
定理1.5 设X连通．则f的任意极小集或为全空间X，或在X中无处稠密，
A=X．若aA≠0，则aA为，的非空紧不变集，但Af，的极小集，
故DA=A，即A在X中无处稠密．．
称f的紧不变集A ÌX为拓扑传递的，威简称传递的，若存在xÎA，使得w(x)=A．显然一个传递集不能分解为两个互不相交的紧不变集的并．（当然有些不传递的集合也不能分解为两个互不相交的紧不变集的并，例如由两个不动点和“连接”这两个不动点的一条轨道所组成的紧不变集．）
定理1.6
(Birkhoff) 设A为f的紧不变集．以下三条件等价：
(1) A为传递；
(2) 对A的任意两个开子集U和V，存在n≥l，使得fn(U)ÇV¹Æ.
(3) 存在xÎA，其正半轨在A中稠密．
注 条件(3)中的“正半轨”可以换成“负半轨”，但不能换成“轨道”，一个简单的反例是由两个不动点和“连接”这两个不动点的一条轨道所组成的紧不变集．
下面考虑微分方程组稳定性的一些概念和理论：
z·=dz/dt=g(t,z)
(1.1)
描述的动态系统,其中z(t)ÎRn, g(t,z):J´S® Rn, SÎRn, 若又有
g(t,z) ÎC(J´S)ÇL-Lix(J´S)
(1.2) (即g(t,z)在上连续且对z具有局部Lipschitz条件; 系指对任何有界闭集MÌ J´S有常数,使k(M),|| g(t,z1)- g(t,z2)||£k(M)||z1-z2||, " (t,z1),(t,z2)ÎM)
则由微分方程理论可知,对于初值问题
z(t0)=z0,
(t0, z0) Î J´S,
(1.3)
系统(1.1)存在唯一解,记其为z(t; t0, z0), 即它是(1.1)的解,且有z(t0;
t0, z0)= z0,
定义1, 系统(1.1)的特解z-(t)称为是稳定的,系指:
("e>0)("t0Î J)($d>0)( ("z0|[ z0- z-(t0)]ÎBd)[ z(t; t0,
z0)- z-(t)
ÎBe] (1.4)
此外,还有了
limt®+¥{ z(t;
t0, z0)- z-(t)}=0,
(1.5)
则特解z-(t)就称为是渐近稳定的.
定义1, 系统(1.1)的特解z-(t)称为是稳定的,系指:
("e>0)("t0Î J)($d>0)( ("z0|[ z0- z-(t0)]ÎBd)[ z(t; t0,
z0)- z-(t)
ÎBe] (注:Bd表示半径为d的开球, 本是表闭球,但为简) (1.4)
此外,还有了
limt®+¥{ z(t;
t0, z0)- z-(t)}=0,
(1.5)
则特解z-(t)就称为是渐近稳定的.
系统的特解的稳定的,是解在有限时间区间上对初值的连续依赖性在无穷时间区间上的扩张.
研究系统(1.1)中任一解z(t)相对z-(t)的扰动x(t)=z(t)-z-(t), 则x(t)是初值问题
{ x·(t)= g(t,
z-(t)+x)- g(t, z-(t))= f(t, x)
x(t0)=z(t0) - z-(t0)
(1.6)
的解.容易验证有
1* , f(t, 0
)≡0, 即x=0是系统x·(t)= g(t,
z-(t)+x)- g(t, z-(t))= f(t, x)的平衡位置.
2**,系统(1.1)的特解z-(t)是稳定或渐进稳定当且仅当系统
x·(t)= g(t,
z-(t)+x)- g(t, z-(t))= f(t, x) , f(t, 0
)≡0,
(1.7)
的零解x=0是稳定或渐进稳定.
定义2, 系统(1.7)的零解x=0是稳定的,系指
("e>0)("t0Î J)($d>0)( "x0ÎBd)("t≥t0) [ x(t; t0,
x0) ÎBe] (1.8)
相反,若有
($e>0)( $t0Î J)($d>0)( "x0ÎBd)($t≥t0) [ x(t; t0,
x0) ÏBe] (1.9)
则称系统(1.7)的零解x=0是不稳定的,
定理1, 线性系统
x·(t)= A(t)x
(1.10)
的零解是稳定或渐进稳定当且仅当其任一特解是稳定或渐进稳定的.
定义3, 系统(1.7)的零解x=0是一致稳定的,系指
("e>0) ($d>0) ("t0Î J) ("x0ÎBd)("t≥t0) [ x(t; t0,
x0) ÎBe] (1.12)
定理2,系统若是定常的,即
x·(t)=
f( x), f(0 )≡0,
(1.13)
则零解的稳定和一致稳定等价.
定义4, 系统(1.7)的零解x=0是吸引的,系指
("t0Î J) ($d>0) ("e>0) ($T≥0) ("x0ÎBd) ("t≥t0+T) [ x(t; t0,
x0) ÎBe] (1.14)
是同等吸引的,系指
("t0Î J) ($d>0) ("e>0) ("x0ÎBd)($T≥0) ("t≥t0+T) [ x(t;
t0, x0) ÎBe] (1.15)
是一致吸引的,系指
($d>0) ("e>0) ($T≥0) ("t0Î J) ("x0ÎBd) ("t≥t0+T) [ x(t; t0,
x0) ÎBe] (1.16)
定义5, 系统(1.7)的零解是全局吸引的,系指
("t0Î J) ($d>0) ("e>0) ($T≥0) ("x0ÎBd) ("t≥t0+T) [ x(t; t0,
x0) ÎBe]
是一致全局吸引的,系指
($d>0) ("e>0) ($T≥0) ("x0ÎBd) ("t0Î J) ("t≥t0+T) [ x(t; t0,
x0) ÎBe]
定义6, 系统(1.7)的零解是渐近稳定的,系指它是稳定的又是吸引的;是一致渐近稳定的,系指它是一致稳定又一致吸引的;是全局渐近稳定的,系指它是稳定的又是全局吸引的;是一致全局渐近稳定的,系指它是一致稳定又是全局一致吸引的.
定义7, 系统(1.7)的零解x=0是局部按指数渐近稳定的,系指
($d>0) ($M>0) ($a>0) ("t0Î J) ("x0ÎBd) ("t≥t0) [|| x(t; t0,
x0)||£M|| x0||exp{-a(t- t0)}] .
是全局按指数渐近稳定的,系指
($M>0) ($a>0) ("t0Î J) ("x0ÎRn) ("t≥t0) [|| x(t; t0,
x0)||£M|| x0||exp{-a(t- t0)}] .
1.2 拓扑共轭与结构稳定性
称两个同胚f: X→X和g：X→X彼此拓扑共轭，如果存在一个同胚h：x→x，使得hf=gh，粗略地说，拓扑共轭的两个同胚f和g差一连续的坐标变换．称上述起关联作用的同胚h为f与g间的一个拓扑共轭，拓扑共轭是X上所有同胚的集合上的一个等价关系．易见hfn=gnh．从而一个拓扑共轭保持轨道，即对任意x∈X，h(Orb(x, f))=Orb(h(x), g).
特别地，一个拓扑共轭保持周期点集、w-极限集、非游荡集，即
h(P( f))=P(g), h(w(x, f))= w(h(x),g), h(W(f))=W(g)
将所有同胚按拓扑共轭分类，一般说来不现实，不过对最简单的空间，这样的分类倒也不难，让我们考虑X为一闭区间[a,b]的情形。一个同胚.f：[a,b] →[a, b]或者为严格递增且.fa=a,fb=b，或者为严格递减且.fa=b，fb=a，在前一情形f，称为保持定向的；在后一情形f称为反转定向的．一个保持定向的同胚和一个反转定向的同胚不可能拓扑共轭，因为不然的话，限制在边界上它们也将拓扑共轭，但限制在边界上，一个有不动点，而另一个没有，下面这个定理是显然的，证明略去．
定理1.7 若f为闭区间上一个保向同胚，则
W(f)=Fix(f)
下面考虑一种最简单的情形，即除端点外无不动点的保向同胚．一般说来，任一保向同胚f限制在它的不动点集Fix(f)的余集的一个连通分支（的闭包）上，就是这样一个同胚．这时f的图像或者在对角线以上，或者在对角线以下．在前一种情形，除端点外，所有的点在f的作用下向右走；在后一种情形，除端点外，所有的点在f作用下向左走．
定理1.8
[a,b]上任意两个内部无不动点的保向同胚都拓扑共轭.
定理1.8说明，在游荡域上构造拓扑共轭相当随意．换个角度来说，游荡域上的动力形态对“扰动”不十分敏感.
与拓扑共轭的概念紧密联系的是结构稳定性的概念．这是在微分动力系统的框架下讨论的.
设M为一紧致无边C¥流形.记Diffr(M)为M到自身的Cr微分同胚的集合，赋Cr拓扑．这一拓扑可以简单地由局部坐标给出如下．固定M的允许坐标邻域的一个有限覆盖(Ui,
fi)，i=1，2,…，N（称一个坐标邻域（U, f）为允许的，如果存在另一个坐标邻域（V,ψ），使得U -ÌV
且f=ψ|U）．称一列Cr微分同胚fn在Cr意义下收敛到一个Cr微分同胚f，如果对所有l≤i，j≤N，局部表示fjfnfi-1连同其直到r阶偏导数，在使这些局部表示有意义的所有点上，一致收敛到fjffi-1及其对应的偏导数，由此产生Diffr（M）上的一个Cr拓扑不难看出，不同有限覆盖产生的Cr拓扑彼此等价．
称f∈Diffr(M)为Cr结构稳定，如果存在f的一个Cr邻域U使得任意g∈U与f拓扑共轭．
换言之，f为Cr结构稳定的意思是，Cr扰动不改变f的轨道的拓扑结构，显然,如果f为Cr结构稳定，则为Cr+1结构稳定，因此，C1结构稳定性是最强的结构稳定性．这里不谈C0结构稳定性，是因为C0扰动破坏性太强，以至没有任何系统可以是C0结杓稳定的.比如，用C0扰动，很容易把一个孤立的不动点变成一段区间的不动点，从而摧毁任何结构稳定性．总之，f及其扰动g必须是微分同胚，而不只是同胚．但另一方面，共轭h却必须允许是一般的同胚，而不能局限于微分同胚．这是因为可微共轭限制太严，比如，由于链法则，可微共轭必须保持不动点处的导数值．但用Cr扰动却很容易改变不动点处的导数值，因此，如果限于可微共轭就不能有结构稳定的系统，这样看来，结构稳定性的概念相当有分寸．它局限于“破坏性较轻”的可微扰动，同时允许较强有力的拓扑共轭来做“修复”．
结构稳定系统的刻画问题是上世纪后半叶微分动力系统的中心问题．但对最简单的空间[a,b]这个问题倒不难解答．下面的简单定理就给出了这样一个刻画．注意f∈Diffl[a，b]不止意味着f为同胚且可微，而且意味着f-l可微．(例如f(x)=x3不是微分同胚．）特别地，f¢的绝对值在[a,bl上有正下界．易见若f是微分同胚，则Cl临近f的g也是．
定理1.9 设f：[a,b]
→[a,b]为内部无不动点的保向微分同胚对任意r≥1，f为Cr结构稳定当且仅当，f(a)≠1且f (b)≠1．
反之，设f'(a)=1或f(b)=1．为确定起见设，f(a)=1．任取r≥1．我们来构造f的一个任意小Cr扰动g，使得g至少有3个不动点，从而f不是Cr结构稳定的．为简单起见，设a=0，b=1．固定一个
冲击函数a：[0，1] →[0，1]，使得a(x)=1对x∈[0，1/3]，a(x)=0对x∈[2/3，1]，o≤a(x)≤1对x∈[0，1]．不失一般性，可设f的图像在对角线上方，对任意e>0，定义
g(x)=ge(x)=f(x)-ea(x)x．
如果e足够小，则g为保向微分同胚，随着e→0，g与f可任意Cr接近．显然x=0和x=1是g的不动点，因为在x=0附近有g(x)=f(x) -ex，故g
1(0)=f1(0)-E=l-E．因此f的图像在x=0附近被稍稍向下转了一点，再向上穿过对角线，因而g在x=0附近还有一个不动点．故g至少有3个不动点． _
定理1.9很简单，却很有教益．它说明，与游荡点的情形不同，非游荡点（这里是不动点）对扰动比较敏感，为了经得起扰动，它们需要像f¢(a)≠l一类的条件，即所谓“双曲性”条件，因此，非游荡集之所以重要，不仅因为它吸收了所有轨道的长期行为，而且因为从扰动观点来看，它更敏感，需要更多的关注，另一个有趣的现象是，对区间微分同胚，由定理1.9，对任意i和j，Ci结构稳定性等价于Cj结构稳定性，这一现象对2维流也成立(Peixoto定理)，对高维流则尚未知．
1.3圆周同胚
命Sl为单位圆周，f：S1→S1为一同胚，称f保持定向，如果f到覆叠空间R上的任何提升为严格递增的，称f反转定向，如果f到覆叠空间R上的任何提升为严格递减的．（后面§3.3中有关于映射提升的一个简单说明．）任意同胚f：S1→S1或为保持定向，或为反转定向，两个保向同胚的复合仍为保向同胚．两个反向同胚的复合也为保向同胚，一个保向同胚和一个反向同胚的复合为反向同胚．
这些概念也可通过圆周上的有向区间来描述．任意两点a，b∈S1决定两段开区间，即S1-{a,b}的两个连通分支，记(a，b)为沿反时针方向（这里借助平面的定向）从a到b的那一个开区间，于是另一个开区间表为(b，a)，因为它沿反时针方向是从b到a．注意这里符号(a，b)和(b，a)的用法与直线上不同．那里是指对于直线的不同定向而言的同一区间，而这里是指对于圆周的同一定向而言的不同区间．对任意开区间(a,b)ÌS1, f(a,
b)也是开区间，以fa和fb为端点，故或者f(a, b)=（fa, fb），或者f(a, b)= (fb，fa)．f保持定向当且仅当对任意a，b∈S1有f(a, b)=(fa,
fb)，反转定向当且仅当对任意a，b∈S1有f(a, b)= (fb,fa).
命A Ì S1为一紧集．称S1-A的连通分支为A的余区间，于是A的一个余区间为一个开区间(a,b)，满足(a，b)ÇA=Æ但a,b∈A．命f：S1→S1为一同胚，下一引理是显然的，证明从略．
引理1.10对任意紧不变集A Ì S1，f将A的余区间映为余区间．确切地，对A的任一余区间I，存在A的唯一余区间J，使得f(I)=J．并且，这个对应是余区间集合上的一一对应.
定理1.11设f：S1→S1为一保向胚且P(f)≠Ø.则f的所有周期点有相同的周期，且P(f)=Ω(f)
现转向讨论圆周上无周期点的保向同胚。这里其实可以省略“保向”二字，因为反向同胚必有不动点。回顾一下，一个康托集是指一个紧致的、完全的、完全不连通的集。
定理1.12 设f：S1→S1为同胚且P(f)= Ø.则整个非游荡集Ω(f)为一极小集。且Ω(f)或等于全圆周S1，或为一康托集。
二、双曲不动点
上一章初步讨论了1维动力系统。高维动力系统有许多新特点。本章讨论高维空间一个双曲不动点的邻域上的局部动力形态，所采用的方法将直接应用到第四章双曲集的讨论。
2.1 双曲线性同构
在本章中，E自始至终表示一个欧氏空间，称E的两个范数|. |和| |. | |等价，如果存在常数K≥1，使得对所有v∈E,
K-1|v|£||v||£K|v|
称K为|. |和| |. | |之间的一个关联常数。下面的定理是经典的。
定理2.1 一个欧氏空间E的所有范数两两等价。
称线性同构A:E→E为双曲的，如果是E有直和分解
E=EsÅEu,
A下不变：
A(Es)=Es , A(Eu)=Eu
并且存在两个常数C³1和0<l<1，使得
|Anv|£Cln|v|, "vÎEs, n³0,
|A-nv|£Cln|v|, "vÎEu, n³0,
这时称Es为A的压缩子空间，Eu为A的扩张子空间。称dimEs为A的指标
注 （1）由于欧氏空间的所有范数等价，A的双曲性不依赖于范数的选择。
（2）压缩子空间Es或扩张子空间Eu可以是{0}，这时分别称A为扩张型的或压缩型的，否则称为鞍型的。本课程关于双曲线性同构的结论都包括压缩型或扩张型的情形，一般不另做陈述。
（3）若A是双曲线性同型，则A-1也是
（4）由于Es在A下不变，定义中的不等式所涉及的其实不只是u的正向迭代，而是u的所有迭代。也就是说Eu的情形类似。
线性同构A为双曲的一个简单的等价定义是A的所有特征值的模都不等于1.这里给出的定义比较复杂，但适用于更一般的双曲集情形（第四章），因此，本章对双曲线性同构，将按这里的定义进行讨论，以使本章的结果和方法，能够直接移植到第四章去。
定理 2.3 设A为双曲线性同构，双曲线分解为E=Es+Eu。则存在E的一个范数||.||及一常数0＜T＜1.
简略的说，适当选取范数可使双曲性表现为一次到位的压缩和扩张。
则只需验证0<T<1．但这是显然的，因为a≥l．定理2.3证完．
称满足定理2.3的两个一次到位的不等式的范数为一个对A适配的范数．这时称
为A关于这个适配范数的双曲度．
称E的一个范数|.|关于一个直和E=E1+E2为盒型，如果对任一范数|.|,由 定义的范数I”0关于该直和总是盒型的，称作|.|对E1+E2的盒型化.显然，对双曲线性同构A适配的一个范数对该直和的盒型化仍是对A适配的，且双曲度不变．
2.2双曲不动点在扰动下的保持
设OcE为开集，f：O→E为C1映射，称f的一个不动点
p∈O为双曲的，如果导算子Df(p)：E→E为双曲线性同构．称
Df (p)的指标为p的指标．
本章的目的是考察一个双曲不动点p附近的动力行为．由反函数定理，f在p点附近是到像集的微分同胚．故可取开集U使得p∈UC紧致，且f:U→E是到像集的微分同胚．本章的几个主要定理都是对这样一个三元组f，p，U，陈述的，并直接以“设P∈U为f
的双曲不动点”开头.
本课程将主要考虑C1度量，为满足的到像微分同胚g：U→E的集合．如通常，记B(pr)为以p为中心的半径为r>0的闭球，
回顾一下，称映射~:E—E为李普希茨的，如果存在常数k≥0，
使得
这时称满足此式的最小的常数k为Ø的李普希茨常数，记为LipØ
本课程的主要内容是关于C1扰动的．但许多结果对更为一般的李普希茨扰动也成立，而且处理起来更简单些．在这种情况下，我们将对李普希茨扰动进行证明，将结果陈述为引理，而将Cl扰动的定理作为直按推论陈述在后．下面的经典结果[Ru]提供了二者之间的桥梁.
广义中值定理设B∈E为凸开集，Ø：B→E为Cl映射，使
得对任意x∈B有|DØ (x) |≤k．则对任意x，y∈B，|Ø (x)- Ø (y) |≤
k|x - y|．
也就是说，在凸开集上，李普希茨常数不超过各点导算子范数的上界，一个直接的推论是.
引理2.4设f：U→E为Cl映射，p∈U为一点(见图2.3)．则
对任意￡>0，存在ð>o和r>0，使得任意夕∈B1(f，ð)在B(p,r)上有Lip（g-Df(p）) ≤∈.
于是结论由广义中值定理直接给出，引理2.4证完． -
为直和投影．对任意映射~:E—E，记
如果A:E→E为线性，则进一步记
如果Es和Eu在A下不变，易验证对任意u∈E，
为简便，以后用
表示以原点为中心半径为r的闭球，即E(r)=B(0，r)．
由引理2.4，f及其Cl邻近的g在f的一个双曲不动点p∈EU
附近可以表为
A+Ø
的形式，其中A为双曲线性同构，而LipØ小．这将是我们常常使用的表述形式，可以称为双曲线性同构的李普希茨扰动。
引理2.5设A：E→E为双曲线性同构，在E的一个与其双曲分解Es+Eu适配且盒型的范数|.|下的双曲度为0<T<1．设r＞0. 如果Ø：E（r）→E为李普希茨，满足
则A+Ø在E(r)中至多有一个不动点．如果进一步满足
则A+Ø在E(r)中至少有一个（从而唯一的）不动点PØ，且
定理2.6（双曲不动点在扰动下的保持）设p∈U为f的双曲不
动点，则存在
>0和
>0，使得任意g∈Bl(f,a0)在B(p，Eo)中
有一个不动点．又对任一0<
≤
o存在0<
≤
，使得任意
中至少有一个（从而唯一的）不动点Pg，
注
简略地说，若g C1逼近f，则Pg→P．即不动点Pg随g连续变化。
2.3双曲性在扰动下的保持
这一节证明双曲线性同构附近的线性映射也是双曲线性同构．双曲性的定义，除了压缩性和扩张性之外，首先是可逆性．故此我们首先要回顾经典的反函数定理的线性形式，即可逆线性映射附近的线性映射也可逆．为了更一般的需要，下面给出反函数定理的一种李普希茨形式，即可逆线性映射附近的李普希茨映射也可逆．我们对定义域和值域不是同一空间的一般情形陈述。
设( )和( )是两个维数相同的欧氏空间．称一个同胚
f：E→El为李氏同胚，如果f和f-l都是李普希茨的，对线性映射
A：E→E1，称
为A的小模，如果A可逆，则m(A)=
|A-1|-1．
定理2.7（李普希茨反函数定理）设A：E→E1为一线性同构,
Ø：E→E1为李普希茨.
现在来证明双曲线性同构A附近的线性映射B也是双曲线性同
构．设A的双曲分解为Es +
Eu．我们来证明，B也有一个双曲分解
我们来寻找Gu．（类似地可寻找Gs．）证明的思想从锥来看十分直观．A压缩不稳定锥G1(Eu)的张角，Eu则是逐次压缩的“核”
B也压缩不稳定锥C1(Eu)的张角，故要找的Gu应该是
特别地，要证明这一交集是一个线性子空间，一个更直接的办法是考虑从Eu到Es的范数<1的线性映射的图像．一个这样的图像就是E的一个线性子空间，含于锥C1
(Eu)之中．B将一个图像变为另一个图像，我们要找的Gu则是在B下不变的图像，也就是这一“图像
变换”的不动点．B压缩不稳定锥的张角，也就是压缩两个图像间的（角）距离，这就成为压缩映射问题（见图2.71．下面的引理2.9把这一想法实现出来．引理跳过了A而直接对B陈述.
定理2.10设A:E→E为双曲线性同构．则存在 >0，使得
只要线性映射B：E→E满足|B -A|< ，则B也是双曲的，并且，
Es(B)和Eu(B)随B连续变化. 特别地，Gu Gs={0）．因二者维数互补，知E=Gu+G's．这证明B为双曲，且Es(B)=Gs，定理2.10证完。
把定理2.6和定理2.10放在一起陈述就是
定理2.11设p∈u为f的双曲不动点．则存在
和
使得任意g∈B1( )在B( )中有唯一不动点Pg，且Pg为双曲．又pg以及Es (pg)和Eu(Pg)随妒连续变化．
称f的一个周期为m的周期点p∈u为双曲的，如果导算子
Dfm(p)：E→E为双曲线性同构，双曲周期点的问题，常常可以转化
为双曲不动点的问题.
2.4
Hartman-Grobman定理
本节证明Hartman-Grobman定理，即微分同胚f限制在双曲不
动点p∈E的一个邻域上，与其导算子Df(p)限制在原点的一个邻域
上拓扑共轭．我们先撇开具体的邻域而考虑全空间E．设Co(E)为E
到自身的全体连续映射的集合．记
赋Co范数
这是一个Banach空间，下一引理为Hartman- Grobman定理的李普希茨形式.
引理2.12 (Pugh)设A：E→E为双曲线性同构，在与其适配的一个盒型范数|.|下的双曲度为O<T<1．设Ø， 满足
定理2.13 (Hartman-Grobman) 设0∈U为f的双曲不动点．
则存在0在U中的一个邻域V和一个到像集的同胚h：vuf (V) →E，使得hof|v=Df(0) oh|v.
注意h并非严格意义上的拓扑共轭，因为f限制在V上和Df (0)
限制在hV上都不是自映射从而不是动力系统，
定理2.15（Wsr的刻画，一般形式）设p∈U 为f的双曲线不动点。则存在r＞0,C≥1,0＜
＜1.
定理2.16（双曲不动点的孤立性）设p∈U为f的双曲线不动点。则存在r＞0使得如果。
现在来证明双曲不动点的局部稳定流形定理，这是本章技术上最 复杂的一个定理，我们将像证明Ha.rtma.n-Grobman定理那样，先撇开具体邻域的选择，在全空间E的框架下就一个适配盒型范数完成证明，写成引理，原来的局部问题将通过一个冲击函数“嵌入”全空间的框架里作为引理的推论，
于是我们考虑A+ Ø：E→E，其中A为一双曲线性同构，Ø在
全空间E上定义且Lip Ø小．定义o∈E的（整体）不稳定流形为
下一引理说，如果Lip Ø足够小，Wu(0，A+ Ø)将是Eu的一个李普希茨拷贝．并且，若Ø为C1，则Wu（o，A+ Ø）也为C1.
引理2.17设A:E→E为双曲线性同构，双曲分解为E=
Eu+Es，|. |为E的一个与其适配且盒型的范数．则存在 >0，使得
则由陈述(1)保证的映射
：Eu→Es为C1，且Cl子流形Wu(o，A+Ø)在原点的切空间恰为双曲线性同构A+D Ø (0)-1的扩张子空间Gu．
注 若Lip Ø足够小，则A+D Ø (0)和(A+D Ø
(0))-1都满足引理2.9的条件，从而A+D Ø
(0)确为双曲线性同构。
定理2.18（双曲不动点的局部稳定流形定理）设f：U→E为Ck,k≥1,0∈U为f的双曲线不动点，双曲分解为E=Es+Eu.则存在r＞0使得Wsr（0，f）是E的一个维数为dimEs的Gk嵌入子流形，在0点与Es相切。确切地，存在0在Es中的一个邻域V和Ck映射。
注 定理2.18与2.15常常合在一起陈述,统称双曲不动点的局部稳定流形定理。
本章的最后，我们给出一个判别法【KH】，用以判别一个李普希茨映射在什么情况下可微，以备4 3之用．这个判别法只用到割
线和切线的概念.
三、Smale马蹄与Anosov环面同构
本章介绍两个重要的系统，Smale马蹄和Anosov环面同构，这两个系统的发现引发了现代动力系统的诞生，首先介绍一下符号动力系统．它将提供Sma.le马蹄的一个可计算模型.
3.1符号动力系统
定义两个符号的符号空间∑2为
定理3.1∑2为康托集
定义左移位映射
于是∂将每一双向序列向左移动一个单位．显然矿为同胚．称（∑2，∂）为一符号动力系统．符号动力系统是动力系统的一个重要分支，这里我们只介绍它的一些最基本的性质．显然∂的一个不动点即为一常值双向序列，一个周期为k的周期点即为一双向序列，其中的长度为k的段落重复出现．很容易计算∂的给定周期的周期点的个数．
定理3.2∂的周期点在∑2中稠密，且∂在∑2上传递
证明 任给a∈E2和j≥l．令b∈∑2为将段落a-j…aj向两
个方向无限重复所成的双向序列，则b为周期点，且b∈Cj(a)．这证明周期点稠密．为证传递性，只需构造一个点c∈∑2，其正半轨在∑2中稠密．对所有n≤-l令Cn=0．从n =0开始，相继写出0，1的所有可能的有限组合，确切地，从n =0开始，先写出所有的1元组，0，1，有两个．然后写出所有的2元组，00，01，10，II，有4个，然后是所有的3元组，有8个，如此等等．这就定义了一个点c∈∑2．易验证其正半轨在E2中稠密，定理3.2证完．
定理3.2所述的两个性质彼此形成鲜明对照，每个周期轨道都是一个紧致子系统，故一个有很多周期轨道的系统似乎结构比较松散，而一个传递系统则似乎是一个紧密的整体．如果一个系统同时具有这两个性质，该系统应该不太平凡．下面的定理即说明了这一点，称一拓扑动力系统f:X→X对初值敏感依赖，如果存在r>0，使得对任意x∈X和任意∂>0，存在y∈B(x，∂)和m≥l，使得
换句话说，以一致的幅度r，在每一x∈X,不是正向李雅普诺夫稳定
的．（回顾一下，称f在x点正向李雅普诺夫稳定，如果对任意r>0，
存在∂>o使得对任意y∈B(x，∂)和任意m≥l，d( )<r.)
定理3.3 (Banks等)设x为紧致度量空间，f：X→X为一
同胚，设f的周期点在X中稠密且f在X上传递，若X不退化为
一条周期轨道，则f对初值敏感依赖.
3.2 Smale马蹄
命Q C R2为边长为1的正方形．定义一个微分同胚f，使得Q
横向被压缩，纵向被扩张，再放回去穿过自己.
因为fQ越出了Q，Q有一些点不能做第二次迭代．可以将f扩
张为一个整体定义的微分同胚f：S2→S2，使得下半球面的南极为一
源点，上半球面被映人自身.
我们集中考察Q这一部分，并特别抽出横条凰，Ho和纵条Vo
V1使得
fHo=Vo，fH1=1，
为简单起见，设f在Hi(i=0，1)上为仿射，横向压缩
1/5，纵向扩张5倍，以下称横穿H0或H1的长方形为一个横带，称纵穿V0或V1的长方形为一个纵带。
断言1 对任意纵带V，(f，v) ∩∨i为一纵带，宽度缩小l／5．对任意横带H，（f-1H）∩ Hi为一横带，高度缩小1/5．
推论3.5 马蹄集A为一康托集，马蹄映射f：A→A的周期点
在∧中稠密，且f在∧上传递．
我们来简略地说明一下马蹄映射是结构稳定的．实际上、定理3.4中的、导致了拓扑共轭^的几何式构造，即拉伸和挤压正方形Q，弯过来穿过Q自己，等等，是十分粗糙的。因此，任何C1接近，的微分同胚g有同样的行为，从而同样产生一个紧不变集∧g，拓扑共轭于2-移位．故g|∧g拓扑共轭于f|∧.
本节中的马蹄模型是人为的（仿射的），但在差一拓扑共轭的意义
下，马蹄在真实世界中自然地、经常地出现，比如马蹄与所谓横截同宿点同时出现．设p∈M为f一双曲不动点．p点的（整体）稳定流形和不稳定流形分别定义为
当p∈M是双曲不动点时，由定理2.18，p点的局部稳定流形是一可
微嵌入圆盘，故作为嵌人子流形的单调并，这时的整体稳定流形是M的一个可微浸入子流形，
称z∈M矿为p的一个同宿点，如果
称p的一个同宿点x为横截的，如果
这些概念当p是一个双曲周朔点时类似定义．马蹄模型中有许多横截同宿点．事实上，马蹄模型中有一个双曲不动点，其稳定流形和不稳定流形各自来回卷绕无穷多次，使得其横截同宿点在马蹄集中稠密，横截同宿点是现代动力系统理论的一个重要而精彩的概念，这里我们只不加证明地提及下面一个定理，是说只要，有一个横截同宿点，则对某一m≥l，就会出现fm的马蹄现象.
定理3.6 (Birkhoff-Smale)设p∈M为f的双曲不动点，x为p的一个横截同宿点.则对{x，p}的任意邻域U，存在m≥l和fm的紧不变集∧CU，使得{p,x}C∧，且fm：∧→∧拓扑共轭于∂：E2→}E2．
3.3 Anosov环面同构
这一节介绍环面T2上一类特别的微分同胚．首先回忆有关T2及其万有覆叠空间R2的一些基本事实.
定理3.7 任意连续映射f：T2→T2有提升．一个连续映射F：R2→R2是T2的某一连续映射的提升的充要条件是，对任意a∈R2和任意k∈Z2有F(a+k)-
F(a)∈Z2．只要F是f的一个提升，则{F+K}，k∈Z2，给出f，的全部提升.
称线性映射
A:R2→R2
为一Anosov 线性同构，如果A为双曲线同构，分量为整数，且detA=±1.一个典型的例子是
定理3.8 设A：R2→R2
为一 Anosov线性同构。则A的两个特征值为无理数，满足 ，并且两个相应特征方向的斜率也为无理数。
设A: R2→R2 为一 Anosov线性同构.因A的分量为整数，A将Z2 映入自身，故对任意a∈R2和任意k∈Z2 ，有A（a+k）-A（a）=A（k）∈Z2
.由定理3.7，A导出映射
f：T2→T2
满足
意见f为C 。因detA=±1，知A-1的分量也为整数，故也导出T2上一个C 映射，恰为f-1，故f为微分同胚，称为一个Anosov环面同构。
一个Anosov环面同构的最显著的外表也许是它的两族稳定和不稳定流形。一般地，设X为一度量空间，f：X→X为一同胚。对任意x∈X（不限于周期点），定义x在f下的稳定流形和不稳定流形为。
两点共处于同一稳定流形中是一个等价关系，一个稳定流形就是一个等价类，因而两个稳定流形或不相交，或全同.不稳定流形也是如此显然.
f（WS（x））= WS（fx） f（Wu（x））= Wu（fx）
若x为周期点，这里给出的定义与过去的定义一致。
下面的定理说，对Anosov环面同构，WS（x）和Wu（x）构成两族优美的C 浸入子流形，填满了T2.实际上，R2.上的Anosov线性同构就是如此。
定理3.9 设f：T2→T2为由A：R2→R2导出的Anosov环面同构.
（1）对任意a∈R2,WS（a,A）=a+ES,其中ES+ES=RS为A
（2）对任意x∈T2,WS（x,f）= (WS（a,A ）+,其中a为 任一点。
（3）WS（x,f）为T2一C 浸入子流形，在T2中稠密. Wu(x)的情形类似.对任意x,y∈T2
WS（x,f）横截地相交于T2的一个稠密子集.
定理3.10 设f：T2→T2为Anosov环面同构.则f的周期点在T2中稠密，且f在T2上传递.
Anosov环面同构为结构稳定.事实上，Anosov本人证明，一般的Anosov微分同胚（见下一章）为结构稳定.这是双曲集和结构稳定性的现代理论的重要篇章.
四、双曲集
双曲集理论是结构稳定性理论的分析基础，双曲集的经典例子是上一章介绍的Smale马蹄和Anosov环面同构，其主要性态是，在迭代下，一个方向上的向量以一致的数率压缩，另一个方向上的向量以一致的数率扩张，集合中的每个点都像是一个鞍点，但可以移动，甚至非周期地移动，出现有限多个鞍型周期轨道是常见的现象．但像Smale马蹄和Anosov环面同构那样，无穷多个鞍型周期轨道，带有一致的压缩率和扩张率，协调地、结构稳定地共处在一个紧致不变集内，这种令人惊讶的现象直到20世纪60年代初才被发现，这种现象只能是“鞍型”的，实际上，在所有方向上一致压缩（汇型）或扩张（源型）的紧不变集不会这样复杂，而只能是有限个周期轨道(定理4.1)．
4.1 双曲集的概念
设M为一紧致无边C
黎曼流形，设f：M。M为一微分同胚，由定义，f为同胚f且，和f-l都为C1．
称f的一个不变集A∈M为双曲集，如果对任意x∈∧，切空间TXM有直和分解
TXM=Es(x)+
Eu(x)
作为子空间族在Tf下不变：
Tf(Es(x))= Es(f(x)), Tf(Eu(x))= (Euf(x))
并且存在两个常数C≥1和 使得
特别地，若∧是单独一个轨道，则称之为一个双曲轨道．
双曲集大概是本课程最重要的概念．我们做些注解，
注 (1)定义中使用了切映射Tf的符号，省略了基点，与带有基点x的导算子符号Df (x)相比二者的关系是
Tf（u）=Txf(u)=Df(x).u，
其中x=Πu．这里Π表示丛投射，即x=Πu当且仅当u∈TxM．因
为基点x由向量u自动给出，从而可以略去，因T(fn)=(Tf)n，故写
成Tfn不致引起误解．这里|. |表示由给定的黎曼度量所导出的范数
（芬斯勒构造）．范数符号也略去了基点，|v |自动表示| v |
x,其中x=Πv．类似地，| Tfn(v) |自动采用fnx点处的范数| . | fnx.
(2)因M紧致，∧的双曲性不依赖于M的黎曼度量的选取．
(3)维数dimEs(x)沿x的轨道为常值，称为该轨道的指标
(4)Es(x)或Eu(x)可以为{0}．这时称∧为扩张型或压缩型的．
(5)若∧是f的双曲集，则也是f-l的双曲集．
(6)由不变性，定义中关于Es的不等式，所涉及的其实不只是u
的正向迭代，而是u的所有迭代，也就是说，对任意x∈A，有特别地，命m=-n即给出
Eu的情形类似
(7)双曲集的不变子集是双曲集．有限个双曲集的并是双曲集．
(8) 一个双曲不动点或双曲周期轨道为双曲集．若x为双曲不
动点p的一个横截同宿点，则Orb(x)为一双曲集．Smale马蹄和
Anosov环面同构为更复杂的双曲集，以全空间为双曲集的微分同胚
称为Anosov微分同胚．Anosov环面同构即为例子．
TM的黎曼度量诱导出M上一个度量，即d(x，y)定义为连接x
和y的分段可微曲线的长度的下确界．如通常，定义
B(x,r)={y∈M | d(y,x)≤r}
首先证明压缩型双曲集是平凡的，意即只含有限个点．扩张型双曲集亦然.
定理4.1设∧CM为f的压缩型双曲集，则∧由有限个周期轨道组成．
本课程关于双曲集的所有结果对压缩型和扩张型双曲集都平凡地成立，故不另做陈述．
设∧CM为f的双曲集．对任意x∈∧，r>o，记
分别为x处关于Es (x)和Eu
(x)的r-锥.下一定理对应于定理2.2．
定理4.2 (Es的刻画)设∧CM为，的双曲集，对任意X∈∧子空间Es (x)有如下等价刻画.
类似对Eu
(x)特别地，双曲分解是唯一的，即如果TxM=Gs(x)+ Gu(x)为Tf的另一个双曲线分解，则Gs(x)= Es(x), Gu(x)=
Eu(x).
给定一整数m≥1.设x∈M为一点，E(x)为TxM的一个m维线性子空间.称E（xk）收敛到E（x）,记作E（xk）→E（x），如果对每一k，存在E（xk）的一个基 ，以及E（x）的一基 使得
。由此给出M的m-Grassman空间
Gm(M)={ ∨|∨为TxM的一个m维线性子空间，x∈M}的一个拓扑.易见Gm(M)紧致，注意E（xk）→E（x）蕴含xk→x，而且对任意u∈E(x),存在uk∈E(xk),使得uk→u.
定理4.3 设∧CM为f的双曲集，则Es(x)和Eu(x)随x∈∧连续变化.特别地，dimEs(x)和dimEu(x)局部为常值.又，闭包∧也是f的双曲集。
设∧∈M为一集.设对任意x∈∧给定一个线性子空间E(x)CTxM.通常，称
E=∪E(x)
x∈∧
为T∧M的一个m维Cr子从，或∧上的一个m维Cr分布，如果对每一x∈∧，存在x在∧中的邻域U及U上的m个线性无关的Cr向量场e1, …，em，使得对每一x∈U,向量e1（x），…，em（x）z张成E（x）.这时称E（x）为E在x点处的纤维.称T∧M的两个C0子丛E1和E2构成直和，或Whitney和，记为E1+E2，如果在每一点x∈∧，E1 (x)和E2 (x)构成直和E1(x)+E2(x)．
可以证明E为T∧M的一个C0子丛当且仅当E(x)随x连续变
化（见本章习题5）．于是，由定理4.3，双曲集∧的稳定和不稳定子空间的并
是T∧M的C0子丛．值得注意的是，一个双曲集的稳定子丛Es和不稳定子丛E“一般只是C0而不是C1的，即使当，为C”且r很大时也是如此（见[A]）．这使得双曲集理论具有一种特别的C0色彩．
设对每一x∈M，在TxM上定义了一个内积(．，．)x，如通常，这些内积合起来称作TM的一个黎曼度量(．，．)．称一个黎曼度量(.，．)为Cr的，如果(．，．)在每两个C
局部向量场上取值为Cr函数．设对每一x∈M，在TxM上定义了一个范数|.|x，如通常，这些范数合起来称作TM的一个范数|.|（或芬斯勒构造）．称一个范数|.|为Cr的，
如果|.|2在每一 C 局部向量场上取值为Cr函数，由黎曼度量诱导
的范数称为黎曼范数。
如通常，称TM的两个Co范数|.|和||.||等价，如果存在常数
K≥1，使得对所有u∈TM．
称K为|.|和||.||之间的一个关联常数.紧致流形上的所有Co范数两两等价。
定理 4.4 设∧CM为f的双曲集，双曲分解为T∧M= Es+Eu。则cu8nzaiM的一个C∞黎曼度量《．，．》和一个常数0＜T＜1使得其诱导范数满足
简略地说，适当选取黎曼度量可使双曲性表现为一次到位的压缩和扩张。
则只需验证0< <1．但这是显然的，因为a≥1．
这个黎曼度量《．，．》一般只是C0的，因为Tf一般只是C0的．
取一C∞。逼近，便得M的一个C∞黎曼度量，其范数限制在Es和Eu上对某个数 满足两个一次到位的不等式．定理4.4证完．
称满足定理4.4的两个一次到位的不等式的黎曼度量《．，．》(C∞即可，不必C∞)为对∧适配的，这时称
为∧在其诱导范数||.||下的双曲度
4.2 双曲性在扰动下的保持
先陈述一些简单自然的定义，设ACM为f的不变集．又设
E1，E2为T∧M的两个C0子丛，称映射F：E1→E2为关于，保纤维的或覆f的，如果
其中 TM→M为丛投射.因此，对任意X∈∧，F将E1 (x)映人
E2(fx)．这里不要求F|E1(x)为线性，在后面的4.4中我们将遇到一个重要的、限制在纤维上非线性的保纤维映射．覆盖同一f的两个映射F和G的和F+G仍覆盖f．一个覆盖f的映射F和一个覆盖f-l的映射G的复合GF覆盖id．
设F：E1→E2连续，关于f保纤维．若对任意x∈∧，F|E1(x)为线性，则称F为一C0丛同态．记
若|F|<∞，则称F有界．若∧紧致，则其上的C0丛同态总有界，记L
(E1，E2；f)为从E1到E2的覆盖f的所有有界丛同态的集合．在这一范数下，L (E1，E2；f)构成一 Banach空间，若对任意x∈∧，F |E1(x)为线性同构，则称F为覆盖f的一个丛同构.例如，由于f是微分同胚，Tf：T∧M→T∧M是覆盖f的一个C0丛同构．
设T∧M= E1 +E2为一C0直和．记L(E1
,E2；id)为从E1到E2
的、覆盖id的有界C0丛同态所成的Banach空间，L(E1 ,E2；id) (l)为其以原点为中心的闭单位球，若P∈L(E1 ,E2；id)，则
gr(P) = U gr(Px)
为T∧M的一个C0子丛．
现在讨论双曲集的双曲性在扰动下的保持，下一引理对应于引
理2.9．
引理4.5设g:M→M为微分同胚，△为g的不变集，B：
T△M→T△M为覆盖夕的一个有界C0丛同构，在一个C0直和
T△M= E1 +E2下表为
其中 ．如果存在T△M的一个C0范数|. |和两个常数
则存在唯一覆盖id的有界C0丛同态P= PB：E1→E2，|P |≤1，使得C0子丛gr(P)在B下不变，即Bx(gr(Pgx))=gr(Pgr)，Vx∈△．而
且PB，从而gr(PB)，随B连续变化．
注这里的符号略去了基点，比如，由于B覆盖g，B12自动地是
从E2(x)到E1 (gx)的．
4.4
双曲集的稳定流形族
现在回到紧致流形M.由定理4.3，必要时取闭包，以后假定M的所有双曲集都是紧致的.
记Diffr（M）为M上的Cr微风同胚的集合，赋Cr微拓扑（见第一章）如通常，记
B（∧，a）={x∈M|d(x, ∧) ≤a}
下面是引理4.5的直接推论：
定理4.6 （双曲性在扰动下的保持）设∧CM为f的双曲集，则存在f的C1邻域U0和一个数a0＞0使得任意g∈U0的任意不变集△CB(∧,a0)都是双曲集，并且，若gC1都是逼近f且y∈△逼近x∈∧,则稳定子空间Es(y,g)逼近稳定子空间Es(x,f).类似对不稳定子空间.
设T∧M=Es+Eu为一C0直和.称T∧M的一个范数|.|对E1+E2为盒型。
所得的T∧M上的范数||.||对E1+E2总是盒型的，称为|. |对E1+E2的盒型化，一个对双曲集∧适配的范数关于该直和的盒型化仍是对∧
适配的，且双曲度不变．
一个盒型范数一般只是C0的，一般不能定义在整个流形上，而且一定不是由某个黎曼度量诱导的（不满足平行四边形法则）．这使得盒型范数在本章所起的作用与第二章有些不同，实际上，本章只在一个证明的某一部分使用某个盒型范数作为辅助工具．为此需要控制该盒型范数与原来的黎曼范数的关联常数，而这与直和的角度有关．
对x∈∧，定义E1 (x)和E2 (x)的夹角为
若∧CM为f的双曲集，双曲分解为T∧M= Es+Eu，则由定理4.3，
Es (x)和Eu (z)随x∈∧连续变化．因∧紧致，知∠(Es，Eu)
＞0
引理4.7 对任一 ＞0，存在K≥1，使得对任一欧氏空间E，任一直和E= E1+E2，以及E的任一内积《．，．》，若关于《．，．》的角度∠(E1，E2) ＞ ；则(．，．)的诱导范数|. |对直和E1+E2的盒型化以关联系数K与|.|等价．
证明是初等的，作为本章习题8．
设∧CM为f的双曲集．我们用|.|∧表示|.|限制在T∧M上对∧的双曲分解Es
+Eu的盒型化，于是|.|∧只定义在T∧M上而不是在整个TM上，为简单起见符号|.|∧没有标明直和Es +Eu，但参照上下文可以明确其含义．
下一引理为定理4.6补充一些细节．
引理4.8 设∧CM为f的双曲集，|.|为M的一个黎曼范数.则存在f的C1邻域U0和两个数a0＞0，K≥1使得任意g∈U0的任意紧不变集数△CB（∧，a0）为双曲集，且|.|对△的双曲直和Gs +Gu的盒型化|.|△与|.|在T△M上的限制以系数K关联.又若|.|与∧适配且∧在|.|下的双曲度为T（∧），则对任意∈＞0，存在f的C1邻域UCU0和0＜a＜a0,使得g∈U的任意紧不变集△CB(∧,a)的关于|.|的双曲度满足。
因f为C1，知D2（Ff）在TM(rp)上连续.这证明引理4.10
于是Øf保纤维，且由引理4.10，
Øf(Ox)=Ofx，D2Øf(Ox)=0, ∨x∈M
如上所述，Ff为C1.但Øf仅为C0（因Tf仅为C0），Øf限制在每一纤维TxM（rp）上为C1.实际上更多些，D2 Øf不仅在每一纤维TxM（rp）上连续，而且在整个TxM（rp）上连续.用局部坐标来说就是，Øf在B1×B2上连续，且对第二个变元的偏导数存在并在B1×B2上（二元）连续。后面在描写双曲集的点的稳定流形族时（引理4.15和定理4.16），所用的映射∂也具有这样一种“混合”式的可微性。
对一个沿纤维为李普希茨的保纤维连续映射F：TM(r) →TM，定义F的纤维李氏常数为
Lip2F=supx∈M Lip(F |TxM(r)
以下保纤维映射，我们将仅考虑这种形式的李氏常数。
引理4.11 设f：M→M为一微分同胚。记Øg=Fg-Tg.则对任意 ，
存在r＞0和f的C1邻域U使得任意g∈U在TM（r）上有Lip2 Øg
现在来讨论双曲集的稳定流行族，我们先在切从上讨论形如Tf+Ø的保纤维映射，这时的情形比较简单，因为每一纤维是线性空间，正是第二章的框架，设
Ø：TM（r）→TM， 0＜r≤∞
关于f保纤维，满足
Ø（0x）=0 fx ∨x∈M
设|. |为TM上的一个范数，定义0x在Tf+Ø下的关于这一范数的尺寸为r的局部纤维稳定流形和局部纤维不稳定流形分别为
这里我们使用了“纤维稳定”这样的术语，是因为这里的u型要求与0
x在同一纤维中，以下对保纤维映射，我们将仅考虑这种形式的稳定和不稳定流形。
设∧CM为f的双曲集.由引理4.11只r＞0小，f在切丛T∧M（r）上的自提升Fr就可以表为
Ff=Tf+ Ø
的形式，其中Tf为双曲集丛同构，而Lip2
Ø小，这将是我们常常使用的表述形式，可以称为双曲丛同构的纤维李普希茨扰动
下一引理对应于引理2.14
引理4.12（纤维上Wsr的刻画）设∧CM为f的双曲集，在T∧M的一个与其双曲分解Es +Eu适配且盒型的C0范数|. |下的双曲度为0＜T＜1.设r＞0.设Ø：T∧M(r) →T∧M连续，关于f保纤维，限制在纤维上为李普希茨，满足
设X为紧度量空间.称同胚f:X→X可扩，如果存在常数r＞0,使得对X中任意x≠y，存在整数m，使得d(fm(x), fm(y)) ≥r.称常数r＞0为f的一个可扩常数.下一定理对应于定理2.16.
定理4.14（双曲集的一致可扩性）设∧CM为f的双曲集，则f |∧可扩，实际上，存在f的C1邻域U0和ao＞0,ro＞0，使得任意g∈U0的任意紧不变集△CB(∧,ao)为ro-可扩。
对一个保纤维映射∂：Eu→Es
,定义∂在v∈Eu处的纤维导算子为
D2 ∂(v)=D（∂ | Eu（x））(v)
其中x=Πv，定义∂的纤维李氏常数为
前面在引理4.10之后曾提过，D2 ØZ在T∧M上连续比Ø限制在每一纤维TXM上为C1要多一些。
下面证明双曲集∧的稳定性流形定理，关于这一课题，以及比双曲集更一般的集合的不变流形理论，参见【HPS】.
我们先在∧的切丛上考虑一种理想的形式Tf+ Ø：T∧M,其中Ø：T∧M,连续，对f保纤维，且Lip2 Ø在生个T∧M上足够小，下一引理说，在这种情况下，对每一x∈∧，纤维不稳定流形Wu(0xTf+ Ø)CTxM将Eu（x）的一个李普希茨拷贝，并且，若Ø限制在纤维上为C1，则Wu(0x,Tf+Ø)也为C1。这一引理对应于引理2.17，建议读者仔细对照。
称M中的一族嵌入子流形{Di}i∈I为自相容的，如果对任意i，j∈I,交集intDi∩intDj在Di和Dj中都是开集，特别地，intDi和intDj不能横截相交.例如，一个自治C1常微系统的局部解曲线构成一族自相容的1维嵌入子流形.下一定理对应于定理2.18，建议读者仔细对照。
定理4.16（双曲集的稳定流形族） 设f：M→M为Ck微分同胚，k≥∧CM为f的双曲集，双曲分解为T∧M=Es +Eu.,则存在r＞0使得对任一x∈∧，
（1）Wsr（x）是M的一个维数为dim Es
的Ck嵌入子流形，在x点与Esx相切，且Wsr（x）在Ck拓扑下随x∈∧连续变化.确切含义是，存在零集0∧在Es
中的一个邻域V和一个对id保纤维的连续映射∂：V→Eu,限制在纤维上的直到k阶的偏导数在V上连续。
（2）嵌入子流形组{ Wsr（x）}x∈∧为自相容的。
（3）整体稳定流形Wsr（x）是M的一个Ck的浸入子流形。
注 整体稳定流形Wsr（x）的定义见第三章.定理4.16与4.13常常合在一起陈述，统称双曲集的稳定流形族定理.
我们称陈述（1）中的映射∂：V→Eu为稳定流形族{ Wsr（x）}x∈∧的生成映射.它通过图像，对每一x∈∧，把原点0x在Es（x）中的邻域V∩Es（x）Ck嵌入为Wsr（x）。
定理4.17 设∧CM为f的双曲集，则存在r＞0和∂＞0使得对任意x，y∈∧，只要d（x，y）≤∂，则Wsr（x）和Wsr（y）非空横截相交。
4.5 双曲集的结果稳定性
我们先来讨论切丛的截面.设∧CM为f的紧不变集.如通常，T∧M的一个截面或向量场，是指一个映射r：∧→T∧M，使得对任意x∈∧有r（x）∈TxM.记F0（T∧M）为T∧M的全体连续截面所成的Banach空间，取C0范数
设F：T∧M→T∧M为一覆盖f：∧→∧的保纤维连续映射.称截面r（x）∈F0（T∧M）为F的一个不变截面；
例如，零截面是Tf的不变截面
回顾一下我们在4.4开头所做的约定：M中的双曲集总假设为紧致的，又回顾一下，T∧M（r）表示T∧M中长度不超过r的向量的集合.下面的引理对应于引理2.5
设∧CM为f的紧不变集.称f的∧上Cr嵌入式稳定，如果存在f的Cr邻域U，使得对任意g∈U，存在到像集的同胚h=hg：∧→M，使得在∧上有hf=gh。显然h（∧）为g的不变集，而g|（∧）与f|∧拓扑共轭。因为集合h（∧）由h而得，而非事先指定，我们称这种稳定性为嵌入式稳定性.形式上更强的是所谓∈-嵌入式稳定性.
称f在∧上Cr
∈-嵌入式稳定，如果对任意∈>0，存在f的Cr邻域U，使得对任意g∈U，存在到像集的同胚h
=hg：∧→M，使得hf=gh和d(h，id)≤∈.
结构稳定性理论的一个重要结果是：双曲集是∈-嵌入式稳定的
这是引理4.18在流形上的直接应用，这一精彩的想法属于Moser，Mather,
Hirsch，Pugh，也许还有其他一些作者．（实际上，引理4.18的陈述本身就是这一想法的产物．）给定f的C1扰动g，要解关于h的共轭方程
gh=hf，
其中h属于从∧到M的全体连续映射所成的空间C0(∧，M)．这一空间不是线性空间，不易处理．但是，通过指数映射，一个接近恒同映射id的映射h∈C0 (∧，M)给出一个接近零截面0∧的截面r∈F0(T∧M)，反之亦然：
由此，问题转化为求解关于截面r的方程
其中r属于F0(T∧M)的以原点为中心的一个小球，这也就是求解(*)中的保纤维映射Ffg的不变截面.
映射Ffg的正式定义如下，设微分同胚f：M→M和g：M→M
足够接近，r>0足够小，使得对任意z，y∈M，只要d（x，y）≤r，则d（sx，gy）≤P，其中p>0为定理4.9中的常数，则可定义g沿f的提升
Ffg：TM(r) →TM
其中Π：TM→M为丛投射，显然Ffg为C1，对f：M→M保纤维．粗略地讲，Fgf以f的轨道为移动原点，展现g在这些原点附近的行为．
现在，为求解（*）中Fgf的不变截面，由引理4.18，只需说明Fgf在零截面附近是Tf的一个纤维李普希茨扰动，而这应该是不意外眠因
为若g=f，则Fff就是Ff，下面定理4.19的证明即把这一想法确切
地表达出来．其陈述不仅涉及，的扰动g，而且涉及夕的扰动g′这
样陈述是为了后面证明定理4.23的需要．
定理4.19设
∧CM为f的双曲集．则存在，的C1邻域Uo和两个数ao>0，∈o>0，使得对任意g，g′∈Uo和g的任意紧不变集
△cC B(∧，ao)，至多存在一个连续映射h：△→M使得在△上满足
hg=g′h和d(h，id)≤∈o．并且，对任意0<∈≤ S∈o，存在f的C1邻域U=Uo，使得对任意g，g′∈U和g9的任意紧不变集△CB
(∧，ao)，至少存在一个到像集的同胚h：△→M使得hg=g′h(h,id) ≤∈。
定理4.20（双曲集的嵌入式稳定性） 设∧CM为f的双曲集．则存在，的C1邻域Uo和∈o>0，使得对任意g∈Uo，存在唯一到像同胚h=h(g): ∧→M满足hf=gh和d(h,id) ≤∈0.并且，当d1（g,f）→0时有d（h(g),id）→0
共轭像集h（g）（∧）是g的紧不变集，称为∧在g下的延拓，常记为∧g于是∧g对充分C1接近f的g有定义.
回顾一下，称微分同胚f：M→M为一Anosov微分同胚，如果整个流形M为f的双曲集。
定理4.21 Anosov微分同胚C1结构稳定。
定理4.22 设∧CM为f的孤立不变集，U为一隔离邻域，对任意a＞0，存在f的C0邻域U，使得任意g∈U在U中的极大不变集F都含在B（∧，a）内。
定理4.23 （孤立双曲集的结构稳定性）设∧CM为f的孤立不变集，U为一隔离邻域。则对任意∈＞0，存在f的C1邻域U，使得任意g∈U在U中的极大不变集F是以U为隔离邻域的孤立不变集，且g|F与f|∧∈-拓扑共轭。
与∈-嵌入式稳定性定义中的集合h（∧）不同，这里的
F
是事先指定的。
定理4.6 跟踪引理
本节介绍Anosov的跟踪引理，这个引理有大量精彩的应用，设∂＞0，称M中一个点例{xn}∞n=-∞为f的一个∂-伪轨，如果对任意n∈Z有
d（xn）,(xn+1) ＜∂
称一点g∈M∈-跟踪一个伪轨{xn}∞n=-∞，如果对任意n∈Z有
d（fn(y),xn）＜∈
yushi ,rug ∂≤∂0,则一个∂-伪轨也是∂0-伪轨.如果∈≤∈0，折被一个点∈-跟踪也是这个点∈0-跟踪。
定理4.24（跟踪引理） 设∧CM为f的双曲集．则存在∈0＞0和∂0＞0使得∧中的任一∂0-伪轨至多被一个点∈0-跟踪，又对任意0＜∈≤∈0，存在0＜∂≤∂，使得∧中的任一∂-伪轨至少被一个点∈-跟踪。
唯一性部分可以从双曲集的可扩性直接导出，一般说来，跟踪引理通常化为Banach空间的不动点问题来证明（见[A],[P]）.这里我们想说明，沿着定理4.19证明的思路，跟踪引理也可以化为有限维向量丛的不变截面问题.想法如下：设伪轨{xn}被点y∈M ∈-跟踪，即
D（fn(y),xn）＜∈ ∨n∈Z
粗略地说，fn(y)-xn就是伪轨{xn}上的一个长度不超过∈的向量场.考虑对向量z-xn的如下作用：对向量的“首端”z用f作用，即把z对应到fz，而对向量的“尾端”xn用伪轨的点序作用，即把xn对应到xn+1（下面的f沿伪轨的“提升”映射F就是这样一个作用）则向量场fn(y) –xn就是该作用下的不变截面.跟踪点y的存在性就是这一不变截面的存在性。
这里有一个微妙的细节：伪轨{xn}∞n=-∞是序列而不是集合，因而不排除xn=xm但fn(y)
≠fm(y)的情形.这样就可能在同一点xn上定义了两个不同的向量“fn(y)-
xn”和“fm(y)- xn”，也就不成其向量场.（感谢C.S.Lin提醒我这一点）克服这一点的办法是把伪轨{xn}∞n=-∞“回退”到Z上
确切地，给定序列
X：Z→M
X(n)=xn
定义X的导出丛（或回退丛）为
其基空间为Z，赋离散拓扑，丛投射为
Π（n，u）=n
于是X*（TM）在基点n处的纤维就是（n，TxnM）也是区分开了的，上述不唯一问题从而得以消除。
由于基空间Z赋离散拓扑，导出X*（TM）在拓扑上很简单，是可数个欧氏空间的离散并，因此，一个关于移位映射n→n+1保纤维的丛同构A:X*（TM）→X*（TM）就是一列从欧氏空间到欧氏空间的线性同构An。
回顾一下，引理4.18说双曲丛同构Tf的纤维李普希茨扰动在零截面附近有唯一不变截面，对应于导出丛X*（TM），就是下面的引理4.25。简记F x为X*（TM）的有界截面空间。
引理4.25 设X：Z→M为一双向序列，A：X*（TM）→X*（TM）是对移位映射n→n+1保纤维是一个双曲丛同构，在一个盒型适配范数|. |下的双曲度为0＜T＜1，设r＞0.如果Ø：X*（TM）（r）→X*（TM）关于n→n+1保纤维，限制在纤维上为李普希茨。
伪轨道是一个灵活的概念，一个真轨当然总是一个伪轨，一个真轨的“扰动”也总是一个伪轨，确切地，对任意∂＞0，存在n＞0，使得对任一z∈M，只要
d（fnz,xn）＜n
则{xn}是一个∂-伪轨，更一般地，一个伪轨的“扰动”也总是一个伪轨，确切地，对任意∂＞0，存在n＞0，使得对任意n-伪轨{xn}，只要
d（yn,xn）＜n
则{yn}是一个∂伪轨，因此，定理4.24中的被跟踪的伪轨其实并不一定要在∧内，只要里∧足够近，就可以换成∧中的点，成为∧内的伪轨，从而被跟踪。
跟踪引理的一个经典的应用是下面的定理4.26对f的任意紧不变集∧，定义
Ws（∧）={x∈M|d(fnx, ∧) →0,n→+∞}
Wu（∧）={x∈M|d(f-nx, ∧) →0,n→+∞}
由定理1.2，x∈W Ws（∧）当且仅当w(x)C∧
定理4.26 设∧CM为f的孤立双曲集，则
这个性质是说，若一个点与一个孤立双曲集渐近，则必与该集里的某个点渐近，一个不孤立的双曲集不一定具有这个性质。
定理4.27 设设∧CM为f的孤立双曲集，则对任意∈＞0，存在∂＞0，使得∧中的任一周期∂-伪轨被一周期点∈-跟踪。
推论
4.28 横截同宿点是周期点的极限点。
五、公里A与Ω-稳定性定理
本章讨论系统的大范围形态，高潮是Smale的Ω-稳定性定理
5.1
公里A系统及其谱分解
称微分同胚f：M→M为一公里A系统，如果Ω（f）为双曲集，且Ω（f）=P(f)
Anosov环面同构是公里A系统.马蹄微分同胚f：S2→S2可以定义成满足 ，其中N为上班球 的那个双曲汇点，S为下半球面的那个双曲源点，则f是公理A系统。
D安康而[D]给过一个不寻常的例子，说明Ω（f）为双曲集不蕴含Ω（f）=P(f)
下面的Palis的
引理突出了混沌动力系统的一个关键形态，对f的一个双曲不动点p∈M，简记u=dimWu（p）,并称M中的一个u维C1嵌入圆盘为一个u-圆盘。
定理 5.1（
引理） 设p∈M伪f的双曲不动点，则对任意u-圆盘BC Wu（p）,任意点x∈Ws（p）,任意在x点与Ws（p）横截相交的u-圆盘D,以及任意∈＞0，存在N，使得若n＞N，则fn（D包含一个C1∈接近于B的u-圆盘。
定理5.2（浮云引理） 设p和q为f的双曲周期点，设x为Ws（p）和Wu（q）的一个横截交点，y为Ws（p）和Wu（q）的一个横截交点。则x，y∈Ω（f）.
定理5.3（谱分解）若f满足公里A，则Ω（f）唯一分解为有限个互不相交的传递子集的并
Ω（f）=Ω1∪... ∪Ωk
若f为公里A系统，称其谱分解中的每一Ωi,为f的一个基本集。下面证明，对公里A系统，任意x∈M的正半轨或负半轨逼近且只逼近一个基本集。这是下一定理的特殊情形，设X为紧致度量空间，f：X→X为同胚，定义f的极限集L（f）为
显然L（f）为非空紧不变集，且
定理5.4 设X为紧致度量空间，f：X→X为同胚， 设∧1...，∧k为f的有限个互不相交的紧不变集，满足
5.2 环与爆炸
称微分同胚f：M→M为CrΩ-稳定，若存在f的Cr邻域U，使得对任意g∈U，g|Ω(g)与f|Ω(f) 拓扑共轭（即拓扑共轭为∈接近id）
仅有公里A不足以保证Ω-稳定性，下面的Palis的例子是S2上一微分同胚f，非游荡集Ω（f）由6个双曲不动点组成。
易见f为公里A系统。其中的两个鞍点构成一“环”，对任意r可在z点附近做任意小Cr扰动，使得稳定与不稳定流形在z处横截。
从而另一条“鞍点连线”上的点都成为非游荡点，导致“Ω-爆炸”．具体地，这个扰动可以是f复合z的一个游荡邻域（注意名为游荡点）上以z为中心的一个小旋转，一个重要的细节是，原来的稳定与不稳定流形，在z点附近，只有一个跟着旋转而另一个不动，从而造成横截。
我们来一般地定义环．设X为紧度量空间，f：X→X为同胚，
∧1，…，∧k为f的有限个互不相交的紧不变集，称∧i外走向Aj，记为∧i→Aj，如果Wu(∧i) ∩Ws(Aj)
- ∧i - Aj≠0．粗略地说，∧i一Aj意即在∧i和Aj之外有一点z∈X从∧i走向Aj，当i≠j时，
Wu(∧i) ∩Ws(Aj)自动蕴含∧i→Aj．但当i=j时不然．易见二元关系“→”不反身、不反称、不传递．称∧i1，…，∧im构成一环，若
∧i1 →∧i2→…→∧im →∧i1
称∧1，…，∧k满足无环条件，若它们中的任何几个都不构成环, 设∧1，…，∧k为f的有限个互不相交的紧不变集，一般来说，这
些集合的下标与它们之间的外走向关系没有什么联系，下面的定理说，若(∧i)满足无环条件，则必要时重新规定下标，总可使下标在一定程度上反映外走向关系．
定理5.6有限个互不相交的紧不变集满足无环条仵当且仅当可
以规定其下标，使得∧i→Aj蕴含i>j.
定理5.7（滤子性质定理）设{Xi} 为f一滤子，则Ki是以Xi-Xi-1为隔离邻域的孤立紧不变集，两两不想交，满足无条件，且
定理5.8 设A为f的紧不变集，Q为A一紧邻域，使得则存在A一紧邻域UcintQ满足fUCintU
定理5.9（滤子存在定理）
设∧1，...，∧k为f的有限个两两不交的紧不变集，满足无环条件。
则必要时重新规定{∧i}的下标，存在f的滤子 ，使得对每一i=1,...,k有
Ki=∧i
定理 5.10 设L（f）分解为有限个两两不交的紧不变集的并
L（f）=L1∪... ∪Lk
满足无环条件，则L（f）=CR（f）
5.4
Ω-稳定性定理
在本书的最后我们证明Smale的如下结果：
定理5.11（Ω-稳定性定理） 设M为一紧致无边流形，f：M→M为一微分同胚，若f满足公里A且基本集满足无环条件，则对任意r≥1，f为Cr Ω-稳定。
:连续动力系统和离散动力系统， 拓扑动力系统，曲面动力系统，符号动力系统，复解析动力系统，席“H图图ti-s紃; pan>�/spat0pt;font-family:宋体
次于th powert-僖%:whifa嫉汀9.0pt汀";colcolor:bl'fon韧s=tia糆N-U圭:whi图
<琺es="" new="" roman";color:black;background:white'="">图蛍 Roman饶0莝ywUS颉纓-family:宋体;mso-asc挂恢币ng猓�
Ore
ily:宋体料下; mso-ascii-font-family:"Times New Roman";mso-hansi-font-family:"Times New Ro以刻画哈密顿图的，并也已用以处理图论及其它学科的相关问题）：>
<齭tyle="font-size:9.0pt;color:black;background:white">
之悠久历史的课题，其难度也一直居
悠久历史的课题，其难度也一直居
stywUS
style='font-size:�"Times
New Roman"; ms>
名大学的
三大难题
<s艰巨的课题roman";n";c�0莊ont-p>
11
197ly:"Times New Roman":t襱;ly;mso-pagn饶0莝ywUS颉纓-family:宋体;mso-asc挂恢币nge:9.0pt;fonta%�:9.0p孪�<�2∈e蹲;fo0pt;font-family:宋贪und:-hane'>1972
on:widow-or隑蚫ow-萺:bldrSymol>y>
n si-fontue"Times New Roman":t³le="
fonti="">n";c�0莊ont-p><;mso-ascii-font-family:"Times
New RoSymol>n si-fontuept;mes New ldroman"; -}飈1 Ry:"Times New Roman";color:black;background:white'uept;mes
New ldroman":tδstyle='font-sa><;mso-ascii-font-family:"Times New
RoSymol>npan lang=Eue"Times New Roman";
-2t;ly;mso-pagination:widow-orphan'>
on:widow-or隑蚫ow-萺:bldrSymol>y>
on:widow-or隑蚫ow-萺:bldrSymol>y>
on:widow-or隑蚫ow-萺:blSymol>b s>
on:widow-or隑蚫ow-萺:bldrSymol>y>
礜ew Rkerningamso;msst;font-family:宋体;color:t），本来我在mes New Rination:it;font-family:宋体;chite'>蚮amily:"Times New Roman"; mso-hansi-font-familya; an audrpan 紀nt-入<�2∈e蹲;fo0pt;font-family:宋贪und:-hane'>1972
1972
1972
1972襱;ly;mso-pagn饶0莝ywUS颉纓-family:宋体;mso-asc挂恢币ng>
1972
蛅1+3ont-fat紃; pan'fon抑蚢n e='fB�;fon90撬翁�
蛃陈景润的哥德巴赫谅想（an>图图
之�/span>�/10ily/mpan
鲂�-f舧h/span><一最重要条件
sizp 和span>“-wei;
color:blacbaikeabaidutyle=subview/1808/10645815>
t-僖%:whifa嫉汀9.0pt汀";colcolore'>1972
:t2scii;mso-pagn饶0莝ywUS颉纓-family:宋体;mso-asc挂恢币nge:9.0pt;fonta%�:9.0p孪�<�2∈e蹲;fo0ptspant-family:宋贪und:-hane'>1972>
<叶渭霭鎚pan 鲂�-f舧h/span>1972
o-pagination:orpamis: auto;widows:
1;grobkit-text-stroke-width: 0pxspaword--pacing:0px:t其实tylescii;ms}飈1 Ry:"Times New
Roman";color:black;backgrounpaite'>1972oa ; color:black;background:h-萺:>1972
1972