遍历理论:

最近十年来与我们组合数学密切的遍历理论变得非常热门起来，并在近十年内兼做它的几个专家已获得数学诺贝尔奖-Fields奖，如此下面先附这方面的最权威的遍历理论专著(当然它需要动力系统/微分拓扑/概率测度论等做基础)::

1-2、兼做我们组合数学的智商超过爱因斯坦成为世界历史上最聪明的陶哲轩(英文名Terence Tao)的Ergodic theory课程以及陶哲轩的” The correspondence principle and finitary ergodic theory”（在这里最下面见陶哲轩获得诺贝尔奖的当年给我们海南琼州大学来信说他愿意给琼州大学的杂志写合适的文章支持琼州大学）；

3、陶哲轩等合作撰写的汇集各专题著作 Analysis and Ergodic Theory（源于http://www.math.ucla.edu/~thiele/workshop7/ , http://www.math.ucla.edu/~tao/254a.1.08w/ ）；

4、研究遍历理论和组合数学的Bryna Kra的Ergodic Methods in Additive Combinatorics教材（他的导师Yitzhak Katznelson的导师是分形之父芒德勃罗Szolem Mandelbrojt）；

5、哈密顿图大师Dave Witte Morris和R. J. Zimmer校长的Ergodic Theory, Groups, and Geometry；（Dave Witte Morris的妻子Joy Morris也是该大学教授并做同样的Cayley哈密顿图课题，Dave Witte Morris在1985年获博士学位-导师是芝加哥大学校长Robert Jeffrey Zimmer，这Zimmer校长的导师Mackey就是下面琼州大学师爷叔George David Birkhoff的担任国际数学联盟第一届正主席的高徒Marshall Harvey Stone。这Dave Witte Morris从1985年-1989年曾在组合数学世界第一的麻省理工学院当讲师也许因提升慢而离开）

6、 哈密顿图大师Dave Witte Morris的Ratner's Theorems on Unipotent Flows；

7、图论专家Ben Green的 http://ishare.iask.sina.com.cn/f/20672007.html ； Ben Green主持的会议: “Ergodic Theory and Additive Combinatorics”-即遍历理论和加法组合数学（Ben Green的导师诺贝尔奖得主Gowers的导师就是这里最后高度评价我们琼州大学工作的Bollobás院士）

8、菲尔兹奖得主Curt McMullen 的Hyperbolic manifolds, discrete groups and ergodic theory ；

9、Akshay Venkatesh的；

10、国际数学联盟主席Jacob Palis的博士/国际数学联盟副主席 Marcelo Viana的博士Alexander Arbieto, Carlos Matheus等人的The remarkable effectiveness of ergodic theory in number theory（Green-Tao theorem和Elkies-McMullen theorem) ，Jacob Palis的博士Welington de Melo的博士Artur Avila刚获得诺贝尔奖-Fields奖-是南美第一个获奖者，Artur Avila也是1995年国际数学奥林匹克金奖获得者-是巴西至今9个金奖获得者之一.

11、Harry Furstenberg的博士生Vitaly Bergelson (和陶哲轩等合作研究遍历理论和组合数学的) ；

12、菲尔兹奖得主Elon Lindenstrauss的网页http://www.ma.huji.ac.il/~elon/Publications/index.html见很多顶级杂志论文；

从上面他们的网页可发表更多相关领域专家（当然遍历理论还有很多古典的好教材,如:①20世纪最伟大的数学家之一弗拉基米尔·阿诺德的名著Ergodic Problems of Classical Mechanics；②③另一个20世纪最具影响力的数学家之一雅科夫·西奈Yakov Sinai的名著"Introduction to ergodic theory"-以及他合编的”Ergodic theory”；④D. Ornstein院士的 "Ergodic theory, randomness, and dynamical systems"；⑤我们琼州大学的合作者该系主任全校学术委员会主席Gould的同事Batterson教授2002年撰写并在中国就再版多次而已闻名世界的《Smale斯梅尔传》的Smale-其英年早逝的高徒R. Bowen就写"Equilibrium states and the ergodic theory of Anosov diffeomorphisms"教材(刚见华人在世界数学最高会议做1小时报告的仅有Bowen的女博士杨丽笙,其余华人最多只做45分钟报告-是张伟、许晨阳、陈荣凯、陈猛、恽之玮、孙崧、何旭华、尤建功、张平文、杜强、金石、汤涛共12男同胞。上面国际数学联盟主席Jacob Palis也是Smale的博士生，我们琼州大学升本科前我和Smale通信有好一段时间有约十封信-得到他热忱表达会给琼州大学的杂志写稿-但后来杂志泛滥得太快使我感到不珍贵而渐冷淡也不再值得浪费他们宝贵时间和心血，因他之级别如全世界每隔十年或每年都提及1930年7月15日,美国数学家史蒂文·斯梅尔诞辰) ；⑥P.R. Halmos名师的"Lectures on ergodic theory"；⑦Karl Sigmund主席合编的的 "Ergodic theory on compact spaces"-他的博士Martin Nowak被誉为继达尔文之后第一人；⑧上面芝加哥大学校长Robert Jeffrey Zimmer的名著"Ergodic theory and semisimple groups"；⑨这校长的导师G.W. Mackey的近百页的文章 "Ergodic theory and its significance for statistical mechanics and probability theory",这Mackey在哈佛大学还培养很多遍历理论和图论大师,如创造我们图论学科的Clebsch graph领域的Andrew Gleason主席,等等.

部分是源于与组合数学相关的这个领域Arithmetic Combinatorics和这个领域Ergodic Ramsey theory等；还有上面Yakov Sinai的博士Anatole Katok等编的Chapter 11- Spectral Properties and Combinatorial Constructions in Ergodic Theory

但感到奇怪的是:刚见在大连理工大学举办的2016年我国东北地区高校数学教师培训班《遍历理论初步》--课程教学大纲（该课程由 2003年毕业这里第4个获得2012年获得国家杰出青年科学基金的中科大黄文教授撰写和主讲，它说明: ‘遍历理论的专门的中文教材目前还没有，在叶向东、黄文、邵松编写科学出版社2008年出版的《拓扑动力系统概论》中有一部分遍历理论的内容’）,即上面东北地区高校数学教师培训班《遍历理论初步》--课材列出的8本参考书全是外文教材如下:第1本是Manfred L. Einsiedler和Thomas Boulton Ward合写的书（他俩的博士导师Klaus Schmidt和已成为国家领军人才的离散组合数学权威专家宗传明是师兄弟）；第2本、Harry Furstenberg的书；3、Shmuel Eli Glasner的书；4、William Parry的书；5、Parry的博士生Peter Walters的书；6、Karl Endel Petersen的书；7、Robert Ralph Phelps的书；8、Benjamin Weiss的书（即中科大黄文教授选的这8本参考书除了1970年至今一直在以色列希伯来大学任教的Harry Furstenberg较著名但其书出版于1981年也早了些外,点击其他作者见都既不怎么知名-科研单位层次也低些,且他们的书也较早；而上面我选的十几本参考书的作者就有3个诺贝尔奖得主和2个20世纪最著名数学家/其单位几乎是北美顶级和牛津大学的/诺贝尔奖得主的著作全是近些年出版的。其实，杰青黄文教授的导师中科大党委副书记副校长叶向东也做组合数论必更清楚这些，这说明面对什么层次的培训人员打什么样的基础是基本-即,前面说奇怪其实是他有的放矢,否则何止事倍功半）

(X,В,m,T)是一个保测系统，T是遍历的当且仅当对任意满足T^-1B=B的BÎВ，必有m(B)=0或m(B)=1。（保测系统是变换T做用于概率空间(X,В,m)的子集族В的各元的测度不变，这T^-1B=B可当作通常的理解）

历史上的一些经典的论文（在维基网的遍历理论Historical references前4篇论文是下面前4篇,它们是我们琼州大学师爷叔George David Birkhoff的论文和John von Neumann的论文--而这约翰·冯·诺依曼正是由琼州大学另一师爷叔Oswald Veblen在1929年从德国讲师聘来为普林斯顿大学教授才从此深刻地改变了世界，改变了人类的生活、工作乃至思维方式，极大地促进了社会的进步和文明的发展）:

• George David Birkhoff,"Proof of the ergodic theorem", Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 17 (1931) (12): 656–660, 
• George David Birkhoff,"What is the ergodic theorem?", Amer. Math. Monthly, 49 (1942) (4): 222–226,
• John von Neumann ,"Proof of the Quasi-ergodic Hypothesis", Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 18 (1932) (1): 70–82,
• John von Neumann, "Physical Applications of the Ergodic Hypothesis", Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 18 (1932) (3): 263–266,
• Hillel Furstenberg, Ergodic behavior of diagonal measures and a theorem of Szemeredi on arithmetic progressions, Journal d'Analyse Mathematique 31 (1977), 204-256
• Hillel Furstenberg, Benjamin Weiss, Topological dynamics and combinatorial number theory, Journal d'Analyse Mathematique 34 (1978), 61--85
• Vitaly Bergelson, Alexander Leibman, Polynomial extensions of van der Waerden's and Szemeredi's theorems , J. Amer. Math. Soc. 9 (1996), 725-753
• Saharon Shelah, Primitive recursive bounds for van der Waerden numbers, J. Amer. Math. Soc. 1 (1988), 683–697
• William T. Gowers, A new proof of Szemeredi's theorem, GAFA 11 (2001), 465-588.
• Neil Hindman, Finite sums from sequences within cells of a partition of N, J. Combinatorial Theory (Series A) 17 (1974), 1-11
• Alfred Hales, Robert Jewett, Regularity and positional games, Trans. Amer. Math. Soc. 106 (1963), 222–229.

国内的一些重要论文:

· 李书超和北京大学一级教授许进大师等,DAD计算中的遍历理论模型及算法,《计算机工程与应用》2003年（这是我们琼州大学以前曾世界领先的哈密顿图方面的论文, 哈密顿图理论也是遍历理论,不过transversal和ergodicity有差别）

· 周作领;动力系统研究中的遍历理论方法[J];自然科学进展;1995年;

· 廖山涛;紧致微分流形上常微分方程系统的某类诸态备经性质; 北京大学学报(自然科学);1963年3期;

· 廖山涛;紧致微分流形上常微分方程系统的某类诸态备经性质[J];北京大学学报(自然科学);1963年4期;

· 廖山涛;紧致微分流形上常微分方程系统的某类诸态备经性质(续)[J];北京大学学报(自然科学);1963年

· 廖山涛;常微系统的一个诸态备经性质定理[J];中国科学;1973年;

· 廖山涛;关于特征指数:一个新的为向量场乘法遍历定理而构造的Borel集[J];北京大学学报(自然科学版);1993年;

· 张勇;廖山涛一个组合引理的又一证明(英文)[J];北京大学学报(自然科学版);2002年;

· 评廖山涛的《微分动力系统的定性理论》; 《科学通报》 1998年;

· 陈木法特征值、不等式与遍历理论; 《科学通报》 1999年23期

· 陈木法;反应扩散过程的遍历定理[J];科学通报;1989年;

· 甘少波;一类CA的遍历理论[J];北京大学学报(自然科学版);1996年;

· 陶志光;两条算子遍历定理[J];科学通报;1991年;

· 李刚; 马吉溥Banach空间中非Lipschitzian交换非线性拓扑半群的遍历理论;数学学报1997;

· 李刚; 马吉溥渐近殆非扩张曲线的渐近性态及遍历定理; 数学年刊A辑(中文版)1996;

· 许连超;连续遍历系统[J];北京大学学报(自然科学版);1990年

· 朱志巍;Birkhoff遍历定理的推广[J];数学杂志;1985年;

· 郑小谷,曾文曲;可逆正常返广义排它过程的遍历定理[J];科学通报;1985年;

· 胡虎翼;遍历定理、Ляпунов特征指数(上)[J];数学进展;1986年;

· 胡虎翼;遍历定理、Ляпунов特征指数(下)[J];数学进展;1986年;

· 陶志光;两条算子遍历定理[J];科学通报;1991年;

·

· 一些博士论文,周喆;不连续斜积流的唯一遍历定理和线性薛定谔方程的旋转数[D];清华大学;2010年;

· 匡锐;遍历理论与Furstenberg族[D];中国科学技术大学;2007年;

· 郭新伟;遍历定理和不变测度的存在性问题中的若干问题[D];浙江大学;2003年;

在期刊网可见到更多论文。

遍历理论专业的杂志只查到(当然可发表它的论文的综合杂志很多):

Ergodic Theory and Dynamical Systems杂志.

梅凤翔,广义Hamilton系统与梯度系统

遍历理论,是研究保测变换的渐近性态的数学分支。它起源于对为统计力学提供基础的"遍历假设"的研究，并与动力系统理论、概率论、信息论、泛函分析、数论等数学分支有着密切的联系。
　　在《丘成桐炮轰中国高校教育》说:丘成桐一直比较欣赏朱熹平和程崇庆。但他说“中国很多高校唯利是图，就是看钱，看经费，真的研究成果从来不在乎”。“骗的是谁？是老百姓”。丘成桐说南京大学的程崇庆，他研究动力系统的Arnold diffusion的问题，做的工作非常重要，很多人做不出来，他做成功了。他也没有被中国邀请做1小时报告。

在程崇庆个人网见他至今仅写一本著作《哈密顿系统的有序与无序运动》,是和孙义燧院士合写的，这著作开头就说:大量物理、力学与天文学问题的数学模型是由哈密顿方程和拉格朗日方程表示的。对于哈密顿方程,系统的变量一般是由n对共轭变量表示, (p,q)=( p₁，p₂，…，p_n ，q₁，q₂，…，q_n) 。 q=(q₁，q₂,…,q_n) ÎM一般称为广义坐标， p=(p₁,p₂,…,p_n)ÎRⁿ一般称为广义动量,M是n 维流形,一般称为系统的构形空间。对于n 质点系统,如果它们服从牛顿运动定律,而且未受到任何约束,则其构形空间是R³ⁿ (每个质点有3个自由度) 。而对一个数学双摆而言,第一个质点的运动是约束在圆周上的,当此质点的位置确定以后第二个质点的位置也被约束在圆周上,因此这个数学双摆系统的构空间是T²,一个二维环面,这显然是一个紧流形。对于拉格朗日系统,系统的状态是由广义坐标和广义速度来表示的, (q,q¢(=) q₁，q₂，…，q_n，q₁¢，q₂¢，…，q_n¢,)里这q_i¢示表q_i数导的间时于关看来点观的扑拓分微从。,形流是间空相的统系顿密哈M丛切余的,是统系日朗格拉而M丛切的,用H(p,q,t)表示该系统的哈密顿函数，即H(p,q,t)=<p,q¢>-L (q,q¢,t)，L (q,q¢,t)满足q=q(t)是F (q)=ò_a^bL (q,q¢,t)td的临界点，结合拉格朗日方程，可得哈密顿方程：
　　 称(p,q)所在的2n维空间为相空间。
　　系统的一个状态在相空间中有一个代表点P=(p,q)，系统的运动就对应于点 P在相空间中的运动。如果系统是保守的，其总能量E便是常数，点P的运动就被限制在相空间中的等能面（称为能量面）H=E之上。
　　假如系统的自由度n非常大,例如在一定容器中气体分子的运动（宏观上微小的体积中仍含有大量的分子），如果与外界没有能量交换，就是一个保守的力学系统。这时 n=3N，N是分子的数目。因为人们无法去解如此巨大数目的哈密顿方程组，也无法实际地测得解方程时所必需的初始资料，所以不可能再用纯经典力学的方法来研究这样的系统。其实，系统中大量分子运动的综合作用才决定出系统的宏观性质。例如，气体的单个分子只是断续地冲撞容器壁，而大量分子冲撞的综合平均作用才形成了气体对器壁的稳定的压强。为了研究这类本质上是统计性质的运动规律，人们设想同时考虑都是含有N个粒子,处于同一外部条件之中并且具有同一哈密顿量，但微观状态不一样的一切可能的系统。这些系统在相空间中的代表点就不一样。这些宏观条件一样的一切可能的微观系统的全体称为系综(ensemble)。L.E.玻耳兹曼，特别是J.W.吉布斯建立了完整的统计系综方法，类比于流体力学中的刘维尔定理，证明了系综的概率分布守恒定理。如果用φ_t(P)表示相点P 经过时间t之后在相空间中达到的点，那么φ_t便是相空间的一个变换。所谓概率守恒，就是说φ_t能使一定的概率测度保持不变。如果某系综相应的概率分布不显含时间，就称做稳定系综。统计力学基本假设之一是认为真实的平衡物理系统在某时刻的状态与其相应的稳定系综在相空间中的点有相同的概率。对于保守系统，可以证明这概率测度就是

式中dσ是等能面H=E的面积元。系统的物理量应是相空间中坐标的函数A=A(p,q)。但实验中的量测总要经历一段时间。即使宏观上很短的时间，从微观的角度来考察也是相当长的。例如，在0℃和1大气压下,1立方厘米体积中的气体分子每秒钟大约碰撞10²⁹次,即使在10^-6秒这样宏观很短的时间里，碰撞也达10²³次。所以,宏观量测的物理量,都是一个微观相当长时间的平均值,可以认为就是。但这一(极限）平均值无法从微观的力学分析中推算出来，因为无法确定相轨道的初始数据。为了用微观的力学分析解释宏观的物理现象,统计力学中提出了以下基本原理(或基本假设)：对于平衡物理系统,物理量在相空间中按概率测度的平均应等于这物理量沿一轨道的时间平均，即

,

这里 Χ是相空间中可能达到的总区域（对于保守系统它是能量面H=E）。为了支持这一基本原理的引入,玻耳兹曼提出所谓遍历假设，认为一条相轨线可以跑遍（或者说充满）整个能量面。以后又有人提出准遍历假设，认为一条相轨线可以任意接近能量面上的任何一点。然而数学的研究指出，上述遍历假设不可能成立，而准遍历假设又不足以保证“相平均＝时间平均”。因此，以后关于统计力学数学基础的研究，集中注意力于“相平均＝时间平均”这一条件本身，把满足这一条件的系统称为是遍历的，或者称为是具有遍历性的。自20世纪30年代开始，以George David Birkhoff、 John von Neumann和其他许多数学家的工作为标志，关于遍历性的研究形成了一个重要的数学分支。
　　保测变换与遍历定理 　上述问题在数学上的抽象化的提法如下：设(Χ,B,μ)是一个测度空间，通常假定μ(Χ)=1,即μ为概率测度,φ是Χ的一个变换。 如果任意可测集B∈B的原像集φ^-1B仍是可测集(即φ^-1B∈B),那么φ就称为可测变换。如果可测变换φ使得μ(φ^-1B)=μ(B)对任意B∈B成立，那么φ就称为保测变换（更详细一些，φ称为是保持测度μ不变的变换,μ称为关于φ不变的测度）。保测变换的物理背景，就是统计力学中的概率守恒运动。长期以来，数学的遍历理论研究的主要对象是保测变换，其中心问题之一，仍然是探讨适当的条件以保证“时间平均（这里取离散形式）＝空间平均”，即。这里 ƒ是定义于Χ上的适当函数（其背景即统计力学中的物理量）,整数k可视为离散化的时间变量,φ^k表示φ的k次相继作用,即等等。但作为数学的研究，人们必须首先证明作为时间平均的极限（在某种确定意义下）的存在性。这方面最早取得的成果,是冯·诺伊曼的平均遍历定理(1932)和伯克霍夫的个体遍历定理（1931）。平均遍历定理断定：对于平方可积的函数ƒ,时间平均的极限在平均收敛的意义下存在，弙满足弙(φ(x))=弙(x)（几乎处处成立）和。个体遍历定理断定:对于可积函数ƒ，极限 在几乎处处收敛的意义下存在,弙也是可积函数,它满足弙(φ(x))=弙(x)（几乎处处成立）和。有了伯克霍夫个体遍历定理, 数学上不难证明: 遍历性等价于测度不可分性。所谓测度不可分性是说: 如果 B ∈B使得 φ^-1B=B，那么或者μ(B)=0 或者μ(B)=1。由于上述两条件的等价性，许多数学研究者索性就以测度不可分性来定义遍历变换。数学的研究指出，一个能保证遍历性（即测度不可分性）的更强的条件是混合性，即对任意可测集A、B有。混合性的物理含义是：在充分长的时间之后，能量面一个区域中的状态变到另一个区域中去的可能性接近于这两区域概率测度的乘积。换句话说，从每一区域出发的轨道，最终相当均匀地散布于能量面的各区域之中，从各区域出发的轨道最终在能量面上相当均匀地混合起来。保测变换的各种回归性质也是与遍历性有关的重要研究课题。早在1912年J.-H.庞加莱就已证明了以下简单而普遍的回归定理:对于概率空间的保测变换φ,从一个正测度集合中出发的几乎所有轨道都要无穷多次地返回这一集合。近年来关于回归性质的研究成果有多重回归定理等。
　　继伯克霍夫和冯·诺伊曼的开创性工作之后，许多数学家对个体及平均遍历定理作了种种推广。它包括：把平均遍历定理推广到更一般的巴拿赫空间和更一般的变换；把关于点变换的平均遍历定理推广到关于马尔可夫过程的平均遍历定理；把关于离散半群φ^k的个体及平均遍历定理推广到更一般的单参数半群φ_t甚至多参数的情形，等等。由许多数学研究者得到的遍历定理的各种提法有：极大遍历定理，一致遍历定理，受控遍历定理，局部遍历定理，阿贝尔遍历定理和次可加遍历定理等等。保测变换的谱理论研究，则是遍历理论与泛函分析相关联的重要课题。
　　上面提到的遍历理论的研究工作，都假定事先有了一定的测度。在数学研究中还可以提这样一类问题：给定拓扑空间Χ上的连续变换φ,是否存在Χ上的概率测度μ使其成为保测变换？这样的测度是否惟一？这又引起了关于不变测度的研究。数学上已经证明：对于紧致的可度量化的空间Χ的连续变换φ，不变测度必定存在。如果这种不变测度μ是惟一的，那么φ关于该测度就必定是遍历的，这时称变换φ具有惟一遍历性。
　　1958年Α.Η.柯尔莫哥洛夫、Α.Я.辛钦在保测变换的研究中引进了测度熵的概念。测度熵反映了变换紊乱的程度，其物理背景正是热力学中的熵。测度熵的引进是继伯克霍夫和冯·诺伊曼工作之后保测变换研究中的又一重大进展。测度熵作为不变量为研究保测变换的同构问题提供了重要的工具。这一工具最初的效果是辨明了一些过去长期无法区分的系统的不同构。1970年D.奥恩斯坦获得了正面肯定同构的重要成果，他证明了具有相同测度熵的伯努利移位是同构的。类比于测度熵，R.L.阿德勒、A.G.康海姆和M.H.麦克安德鲁等人1965年在动力系统理论的研究中引入了拓扑熵的概念。
　　微分动力系统的遍历理论 　即光滑遍历理论。20世纪60年代以来，对微分动力系统的遍历性质的研究受到了普遍的重视。这一方面是因为引入了微分的工具使得处理问题简明而又富有几何直观，具有数学理论上的价值；另一方面是因为这种系统的物理解释概括了保守系统和耗散系统,内容更广泛。微分动力系统的研究对象是微分流形M上的微分同胚φ或流 φ_t。有关的遍历性研究往往涉及双曲性条件。所谓微分同胚φ在不变集Λ上有双曲结构，是指M的切空间丛在Λ上可以连续地分解成两部分,φ的微分Dφ在其中一部分上的作用是压缩而在另一部分上的作用是扩张。继Д.Β.阿诺索夫1963年的开创性工作之后，数学家们证明了：在整个流形上有双曲结构的系统(阿诺索夫系统)是遍历的。随后，S.斯梅尔、R.鲍恩和D.吕埃尔将这方面的研究推广到更为一般的公理A 系统（周期点在非游荡集中稠密并且非游荡集具有双曲结构的系统）。他们证明了:公理A系统的非游荡集Ω可以分解成有限多块Ω₁,Ω₂,…,Ω_k,系统限制在每一块上都具有遍历性。在这样的分解中必定存在某些块Ω_i使得邻近的轨道都趋于该块。这样的块称为吸引子。公理A系统是一种耗散系统,吸引子上的适当的不变测度表示这一系统的平衡态。
　　微分动力系统中相当多的运动趋于吸引子。除去不动点、周期轨道、不变环面这些平凡的吸引子外，还有所谓奇异吸引子。这种吸引子一方面吸引外部的点向它靠拢，另一方面其内部的点又互相排斥、互相离开。由于运动的区域有限，在奇异吸引子的范围之内势必产生许多折叠、孔洞，使运动呈现复杂、纷繁、混乱的图景。这种运动对初始条件非常敏感，最初的微小差异可导致后来轨道的巨大区别，因而运动表现出某种随机性。这种运动的另一特点是自相似性，即运动的某些局部会具体而微地不断呈现缩小了的整个运动的图景。这一类运动被称为混沌，是近年来引起广泛兴趣的研究课题。
　　关于微分动力系统的遍历性质的某些进一步的研究，涉及双曲性概念的某种推广。廖山涛于1963年和Β.И.奥谢列杰茨于1965年的工作在微分动力系统的研究中引入了李亚普诺夫指数的概念。利用这一概念可以定义非一致双曲性，即在平均意义下的双曲性。奥塞列杰茨证明了与这一概念相关联的乘法遍历定理。70年代中期，Б.佩辛对非一致双曲集的遍历性进行了深入的研究，得到了与公理A系统的有关研究相类似的结果。此外,为了深入了解运动的复杂性，人们还探索熵、李亚普诺夫指数、豪斯多夫维数等量的相互关系，探索在怎样的条件下会出现符号动力系统，在这方面也取得了值得重视的结果。
　　在遍历理论的数学研究不断深入的过程中，这一理论的最初目标（证明各种具体的哈密顿力学系统的遍历性）始终仍然是人们最重视的问题之一。有一类哈密顿系统称为可积系统，这种系统的能量面分解成一些不变环面，每一轨道在所属的环面上运动。这样的系统不能在整个能量面上具有遍历性。原来人们以为这种情形或许是少数例外，或许经过小扰动之后就会消失。从50年代到60年代，柯尔莫哥洛夫，Β.И.阿诺尔德和J.K.莫泽对这一情形进行了深入的研究.他们得到的KAM定理（见哈密顿系统）指出:上述状况经过小扰动并不会消失,大部分不变环面仍然存在，只是形状稍有改变。这一意义重大的定理表明，遍历的力学系统并不像人们原来想象的那么多。虽然如此，人们并不因此对遍历性的统计物理应用持怀疑态度，因为至少对于一些重要的情形来说从这一理论推导出的结果与实验事实吻合。1963年,Я.Γ.西奈依从数学理论上也证明了统计力学中重要的刚球气体模型确实具有遍历性。而辛钦早年的一项研究也指出：当系统的自由度无限增大时，遍历的可能性也就越来越增大。