纤维丛（是海南琼州大学优化证明他的最重要定理的Whitney（惠特尼）开创的，他1937年把流形及其上每点为原点的线性独立的切向量组全体总括在一起而得到纤维丛概念--惠特尼是这里右下角20个现代人之一，他前一位埃尔多什是琼大5行字证明的).

请问有哪一个人能想到华人首位诺贝尔奖得主杨振宁在这视频中竟然发出感叹:“现在的数学书只有两种，一种你看完第一页你就看不下去了，还有一种你看完第一句话你就看不下去了”（杨振宁先生要读这书是为了他在这视频中说“一生中最重要的工作杨-米尔斯规范理论”，其重要还如“杨振宁说：在基础物理学领域中，大家公认杨-米尔斯规范场理论是奠基性的重要工作”，并杨振宁先生说这书一页甚至一句都读不下去就如这里第2段见它源自于海南琼大评论的诺贝尔奖得主的高徒说一碰到就摸不着边际的“拓扑学”、每天学十几个小时都要一年才学完初步的“黎曼几何”、哈佛大学每学期仅讲1章5个学期才讲完的“代数几何”，并这页后部分见我们海南琼州大学在中国第一个组合数学研究室攻读3年多的组合数学对杨-米尔斯规范场理论起极其重要作用）。

关于这初步的纤维从已如给海南琼州大学来过多次信的论文居俄历史上第5的Fomenko院士自1988年开始出版的1251页3卷巨著说“纤维丛的空间、纤维、底空间的同调群之间的关联比起直积空间的情形要远为复杂”-如此就要千百次不断深入研读才能更透彻掌握，就如众大学问者认同的王国维的成大事业、大学问者的第三境界“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”，其中“千百度”的探求是关键的铺垫但不同人的“千百度”差别很大因此“那人”也就差别很大。并这复杂比起它们的进一步的奇异上同调群等之间的关联之复杂又也仅是小巫，因而我更赞赏爱情诗“曾经沧海难为水,除却巫山不是云”的历经沧海、巫山的层次。总之就算是神人若没有付出足够时间就想很快消化这样的数学是几乎不可能的并这书还涉及其它许多抽象的数学领域就如这里北京大学数院的“高考状元都成了被竞赛生碾压的学渣”这就只在于“竞赛生”花在数学上的时间比高考状元多得多如此更夸张得有些离奇的是传北大数院的人常说“你一个高考状元也想进数院”虽应是指全国一等奖和国奥集训队的，但也有些类似我1976年上三亚初中起数学竞赛得全校第一那为了保持第一就要多看各类数学书包括高一层次的其后的竞赛也才一直都是第一以致到读研究生时被北京大学状元称“魔鬼天才”，可根本就没这回事关键是多读多做苦拚。

关于杨振宁教授的规范理论，可参考母校熊钰庆教授和何宝鹏教授合著1990年出版的《量子场论导论》一书（关于我们海南琼州大学的导师柳柏濂教授担任第一届全校专家组组长的这个副组长熊钰庆教授还是《群论与高等量子力学导论》、《量子力学导论》、《近代物理学基础专题分析》、《量子效应与现代科技》、《量子力学提要与题析》这6本书的第一主编，也是喀兴林主编的量子力学教学丛书的《量子力学中的散射问题》一书的独立编者，可见熊钰庆教授是量子力学量子规范理论有影响的专家。此外还是《激光理论基础》等物理其它学科书籍以及很多更基础类书籍的第一或独立作者，如此我的导师的这副手在我国科学落后出书艰难的以前可能是主撰独撰量子力学书籍全国最多的科学家-甚至也可能居于世界前列（似乎外国人爱较真而量子力学一直至今仍有很多问题存在争议那就除了基本的成熟的外对较真的人就不愿随便写，而曾谨言的确实不错但主要居一本书不断扩展并主要讲述近似方法的下册特别是卷II虽与上面顺畅有别但也需多时间--而熊钰庆教授的书籍就如这里第2所述），熊钰庆教授主编的这些书中的许多书的第二主编母校华南师大担任全国量子力学研究会副理事长的何宝鹏还主编《现代物理与高新技术》、主编《电动力学提要与题析》、副主编《广义相对论导论》并曾是领导1千多退休教师的华师科教培训中心主任等，足见以前母校华南师大在科学上具有何等奋进的精神--因而激发推动我以前在各国都无法突破的很多领域都是世界第一个突破的而成为在有中大、华工等广东各重要大学研究生会代表列席的第一届全校研究生大会上的报告是唯一受到全场师生各大学代表站起来鼓掌的且因突破领域很多而站起鼓掌多次）。这些书全都是出版社正式出版的书而其实我的导师柳柏濂教授的这副手熊钰庆教授在1979年、1980年、1981年已作为第一主撰出版《量子力学》3册等等很多油印本并为研究生本科生撰写如此多书的我的导师的这副手熊钰庆教授是当仁不让的最具资格的全校督导委员会第1至4届主席而象第3、4届校督导委员洪光泉等是校副书记黄锦能等仅是副校长）。

关于上面纤维丛理论，它是海南琼州大学优化证明他的最重要定理的Hassler Whitney（惠特尼）为主开创的，即关于这美国第一个获得数学诺贝尔奖的Hassler Whitney（惠特尼）就如在哈佛丘成桐院士写的“陈省身—--二十世纪伟大的几何大师”一文说到“Andre Weil韦伊建议陈省身研究由惠特尼（Whitney）为主发展起来的纤维丛理论”（如在网上可见海南琼大优化证明他的最重要定理的Whitney大师首先就纤维丛形成较广泛的定义并进行系统的开创性研究而嘉当仅是出含糊的端倪。可参考海南琼州大学的编委Garabedian院士的下一位博士师弟Husemoller在1966年出版的《Fibre bundles纤维丛》，中文资料文献可参考陈省身大师写的“纤维丛的微分几何”和最近Wu-Yi Hsiang项武义在北大做的讲座《纤维丛及示性类》等，他的哥哥项武忠的博士论文就做纤维丛-项武忠的师兄Edwin H. Spanier撰写了很著名的《代数拓扑》一书由北京大学第一届代数拓扑班学生母校左再思教授独立翻译，并他俩的导师Norman E. Steenrod于1951年写出杨振宁教授在上面视频中说“非常著名的一本书”的《The topology of fibre bundles纤维丛的拓扑学》名著，就是从前面陈省身大师简述性的“纤维丛的微分几何”可看出基于纤维丛的大厦是可庞大的。不过,在MGP输入“fibre bundles”见到至今仍仅有包括项武忠的20余篇博士论文并最早的是海南琼州大学另一师爷叔Oswald Veblen的博士John H. C. Whitehead的博士Robert L. Taylor的（关于纤维丛，也如杨振宁大师与陈省身大师交流他告诉陈省身：“物理学中的规范场恰是纤维丛上的联络，而纤维丛是数学家在不涉及物理世界的情况下发展起来的”，“这既令人震惊,也令人迷惑不解,因为,你们数学家居然能凭空想出这些概念”。以及杨振宁曾经对陈省身说:“非交换的规范场与纤维丛这个美妙的理论在概念上的一致,对我来说是一大奇迹。…”。而关于规范场论, 杨振宁的杨-米尔斯理论把外尔发现的可交换群（阿贝尔群）的规范理论拓展到了不可交换群（非阿贝尔群），拓展后的非阿贝尔规范场论最后成功的描述了电弱相互作用和强相互作用，成为粒子物理标准模型的基础，产生作用极大，使很多人基于此的相关工作而获得诺贝尔奖，但至今这领域的中文书籍仍极少，可参考的除了上面我的母校华南师大何宝鹏教授和熊钰庆教授合著1990年出版的《量子场论导论》一书除一章规范场论外其它章也主要讲场量子化和重整化，则从它这就可直接进入主要内容是规范场量子化和重整化的规范场论，也就进一步读这里第6-2的下一段周恩来总理在苏联时与他交谈的1951年-1973年长期担任莫斯科大学校长的女博士的博士L.D.法捷耶夫(L.D.Faddeev)和Slavnov合撰的我身边有的1982年译为中文的《规范场的量子理论导引》（第一作者L. D. Faddeev曾在1987年-1990年担任国际数学联盟正主席，以及提出夸克模型的盖尔曼的低4届的师弟黄克孙的《夸克、轻子与规范场》、北大曹昌祺教授独撰高等教育出版社1990年出版的《量子规范场论》一书，还有戴元本院士的《相互作用的规范理论》科学出版社1987年、汪容的《量子规范理论》、以及胡瑶光的《规范场论》）。关于其中的L. D. Faddeev法捷耶夫就被外媒：“俄科学巨匠法捷耶夫逝世，系全球数学物理学奠基人”并从这页后部分见他也对杨振宁大师的规范场论做出极大贡献，而这全球数学物理学奠基人L.D.法捷耶夫(L.D.Faddeev)独立指导的博士Anatol Kirillov的博士学位论文就做我们海南琼州大学曾在许多领域世界领先的“组合数学”。当然下面见规范场与组合数学相关外-也要先具备这里的量子力学特别是量子场论的很多基础知识。注：母校华南师大的上面《量子场论导论》一书的第二作者熊钰庆教授是我的导师柳柏濂教授担任全校专家组组长的副组长和广东省生物物理学会第一届正理事长并他们上面的《量子场论导论》最后第十三章是规范场，而其实量子场论是规范场论的基础，如此也可说这书前部分是规范场论基础。（并上面国际数学联盟正主席的很多博士都做我们海南琼州大学在中国第一个组合数学研究室攻读3年多的领域如上面博士论文做组合数学的①Anatol Kirillov就发表很多组合数学论文如在组合数学会议发表“The 杨振宁Yang-Baxter equation, symmetric functions, and Schubert polynomials”、以及顶级杂志发表组合数学论文“Combinatorial B_n-Analogues of Schubert Polynomials”、这篇组合数学会议发表的双量子多项式论文、组合数学会议发表的杨振宁Yang-Baxter equation和格罗滕迪克多项式;、主办“Physics and Combinatorics物理学与组合数学”会议等等；L. D. Faddeev主席的博士②Anton Alekseev的1995年的组合数学的量子化陈省身-西蒙斯规范场论文；这主席的博士③Nicolai Reshetikhin为第一作者的组合数学的量子场论论文；他的博士④Vitaly O. Tarasov为第一作者的组合数学公式的主要用于描述量子可积系统的解的Nested Bethe vectors论文（Bethe是1967年诺贝尔物理学奖得主）；他的博士⑤Pavel Mnev的组合数学的量子场论；还可参考1994年的书“J-holomorphic Curves and Quantum Cohomology”等；也可参考刚见的讲座The quantization of gauge theories on manifolds with boundary有界流形上规范理论的量子化并演讲者Nicolai Reshetikhin就是上面L.D.Faddeev的博士）。

附：关于上面告诉杨振宁“规范理论一定与纤维丛上的联络有关”的资料可参考《科学》杂志1992年03期的“杨振宁和当代数学”（要知杨振宁之父作为中国第一个数学博士深刻影响着他、并杨振宁的数学也可以与第一流数学家比肩），这是全世界最会赚钱的数学家James H. Simons告诉杨的-此君的导师Bertram Kostant的博士论文Representations of a Lie Algebra and its Enveloping Algebra on Hilbert Space就属于这里可解码宇宙是否全息图的“算子代数”，并Bertram Kostant的导师Irving E. Segal就培养很多世界一流算子代数大师的；再附纤维丛及其在规范场论的应用（哈佛丘成桐授说广义相对论权威Robert Geroch 在1973年大会的演讲中呼吁几何学家帮忙物理学家解决这个问题被他和他的学生解决，这费曼的师弟Robert Geroch是梁灿彬教授的导师）。

关于纤维丛可参考我国一些名家的文章：吴光磊，关于黎曼空间的切纤维丛，北京大学学报(自然科学) 1955年00期；

曾是北京大学教授的内蒙古政协主席陈杰，关于纤维丛的分类问题，内蒙古大学学报(自然科学版)1959年01期；

廖山涛院士，纤维丛理论及其应用中的几个问题，北京大学学报(自然科学)1959年(S1)期；

陆启铿院士，规范场与主纤维丛上的联络，物理学报1974年04期；

杨振宁撰，谭声乙译，磁单极、纤维丛和规范场，自然杂志1979年01期；

郭汉英，向延育，吴可，纤维丛联络论与非线性演化方程的延拓结构，数学物理学报1983年

陈省身，纤维丛的微分几何，赣南师范学院学报1989年(S2)期。

等等（关于书籍再特别说一本是数学家李国平院士1980年的《一般相对论量子场论》一书值得一看）