下面说说规范场与主纤维丛上的联络等的对应关系，也顺便介绍华人首个诺贝尔奖得主杨振宁先生说“不懂”一页甚至一句都读不下去的Norman Steenrod独著的《The Topology of Fibre Bundles纤维丛的拓扑学》（我有这书1974年的第9次印刷的。纤维丛上的联络确是值得下功夫的因其作用不止于规范场，在1988年的一本书中已说在超引力理论、电动力学、分析力学等也开始采用纤维丛结构作为其基础结构。这书的文献最多几人是世界大师陈省身、1955年国际数学联盟正主席、1971年副主席等外高度评价海南琼州大学的工作并推荐给全国政协副主席苏步青大师主编的杂志发表的吴文俊大师的文献居全世界第5-陈和吴分别8篇/7篇最多的十篇并他们几乎全都合作2篇以上而吴大师的全是独著，其他人都少于7篇，华人还有王宪钟2篇、胡世桢1篇--所以吴大师是中国最高奖首位得主-若不回国将获给40岁以下的菲尔茨奖那是在50年代初-比哈佛大学丘成桐早约30年（丘成桐是2006年前唯一获得菲尔茨奖的华裔，2006年起另一获奖的华裔陶哲轩就是这页最后智商超过爱因斯坦并给海南琼大来信说会记住海南琼大的杂志以及会支持的）；特别是下面后部分看到我们海南琼州大学在中国第一个组合数学研究室攻读3年多的组合数学对规范场理论起极其关键作用：

关于纤维丛的杨振宁先生说“不懂”一页甚至一句都读不下去的Norman Steenrod的《纤维丛的拓扑学》之难读就如从下面附的的目录见这书共有3部分并中后部的第2、3部分分别是“丛的同伦论”与“丛的同调论”就可知纤维丛与这里拓扑学的海南琼州大学评论的诺贝尔奖得主的高徒说‘一碰到总感到就摸不着边际的同调论’密切关系，还有一个博士都每天学十几个小时一年才学完初步的《黎曼几何初步》等这领域深入些的书籍都要讲纤维丛可知它是微分几何黎曼几何的深入领域，以及哈佛大学研究生每学期只讲1章要讲5个学期才讲完5章的《代数几何》的概型和上同调方面长结合给出其定义并常结合纤维丛拓展这领域（就如给海南琼州大学来过多次信的论文居俄历史上第5的Fomenko院士的书既有“纤维丛的微分几何学”也有“纤维丛的同伦同调理论”这2部分，以及数学皇帝Alexander Grothendieck的《代数几何学原理：概型语言》一书是专门讲代数几何的核心方法概型的这书的第3部分是“概型的纤维积”、第4部分的底3是浸入的纤维积），等等。

现在看规范场，概貌可看杨振宁先生的文章“磁单极、纤维丛和规范场”特别是最后部分。关于的规范变换：正如母校熊钰庆教授和何宝鹏教授合著1990年出版的《量子场论导论》一书第二章“相对论波动方程”开头说“基本粒子现象是高速微观现象，要求描述基本粒子的运动方程满足相对论要求，电磁场方程具有相对论不变性，但非相对论量子力学中描述粒子运动的薛定谔方程则不满足相对论要求”并第十三章说规范粒子有光子、中间玻色子以及胶子等的运动速度都是光速的如此就得从电磁场方程这个第一个相对论性波动方程经过协变形式推导而得到自由Dirac方程如可改写为方程2.7-3的(gmm＋m)y=0。关于这“Dirac方程促使相对论就与量子力学第一次胜利会师。而相对论和量子力学是在上个世纪物理学取得最伟大进展的两大学科，尽管统一广义相对论和量子力学的理论至今仍未有定论”，如此“Dirac方程是一个无法忽视的存在，因为它开辟了一个新的领域，叫相对论性量子力学，是量子力学与狭义相对论的第一次融合，Dirac方程还预言了反物质的存在，促进了粒子物理、高能物理的发展，并且为电磁理论发展到量子电动力学做出了重要的贡献。还为建立量子场论奠定了基础”。关于这方程的上面形式，从东北大学娄太平教授的论文“超光速自由粒子的Klein-Gordon方程和Dirac方程”从亚光速自由粒子的Dirac方程可推出它的协变形式的自由Dirac方程，也可直接推出母校熊钰庆教授等的方程 (gmm＋m)y=0，当然不只母校熊钰庆教授等的书而是相对论量子力学书籍都会讲Dirac方程而量子场论是由量子力学、狭义相对论和经典场论相结合的物理理论如此不仅母校熊钰庆教授等的书并所有量子场论书都会讲Dirac波动方程；相应的拉氏量为L=-y -(gmm＋m)y（参考澳大利亚张耀中教授的有效拉氏量论文等）。

整体规范变换（即常数相因子变换），y ®y ¢=e-iqy， y -®y -¢=y-eiq，带入拉氏量可计算得L¢= L，可见拉氏量在整体规范变换下不变。

定域规范变换（相因子q随x,t而变），即y ®y ¢=e-iq(x)y， y -®y -¢=y-eiq(x)，带入拉氏量就不再是不变。如此要维持拉氏量不变，就必须引入一种场Am(x)，拉氏量改写为Ly=-y -(gmm- gmieAm＋m)y，并Am(x)也有相应的变换Am(x)® Am(x)¢= Am(x)-1/e(mq(x))。这新引入的场Am(x)叫做规范场，参考谷超豪和杨振宁先生的论文“规范场理论的若干问题”以及周光召、杜东生、阮图南的“陪集空间纯规范场”。它也有相应的自由拉氏量LA=-1/4(mAv-vAm)2。如此显然Ly和LA在上面变换下保持不变，并上面y ®y ¢， y -®y -¢，Am(x)® Am(x)¢变换叫做定域规范。

关于上面这规范场Am(x)，由于其与联络有对应关系，故可以定义一般李群的规范场。

先看主纤维丛p: B®M上的一个联络，这联络就是在丛空间B上在李群的右作用下保持不变的一个水平分布。

现考虑所有行列式为1的2×2复方阵所成的群SL(2,C)规范场：

如果№ÎSL(2,C)，由det№=1，可知/sa(log det№)=tr(№-1№/sa)=0，

其中sa=(a=1,2,3)是SL(2,C)的3个复参数。故SL(2,C)的复李代数sl(2,C)的基

Ta=(№/sa)(№/sa)s=0，

适合 tr(Ta)=tr(s)№/sa)s=0。

如果令Ta=( TaAB)1£A,B£2，

则有TaAB=0，… 。                                                                             

具体可参考相关文献如数学家L.D.法捷耶夫(L.D.Faddeev)和Slavnov合撰1982年译为中文的《规范场的量子理论导引》一书（在下面见L.D.Faddeev是第一个解决量子化问题的），以及他不久前在《自然》杂志的“Stable knot-like structures in classical field theory”，还有周光召等的“一种新的上边缘算子及其应用”和“普遍的Chern-Simons链和它们的应用”，不久前杨振宁先生在中科大的演讲：向量势,相位,联络及规范场论等。当然戴本元本院士的《相互作用的规范理论》和北大曹昌祺教授《量子规范理论》等书籍。

再在华人首个诺贝尔奖得主杨振宁先生的一生最大成就-非交换群（SU(2)）规范场，又称杨-米尔斯（Yang-Mills）规范场。

设V是R4的开集，TABj是SU(2)型联络。由于SU(2)是所有行列式为1的2×2复方阵所成的群SL(2,C)的李子群，必须有TABj=0。

如果№ÎSL(2,C)是在SU(2)的单位充分小的领域中，能写№=eH。

‌可参考华人第一个居于学科整体性世界领先的大师陈省身在1967年第一版的《Complex manifolds without potential theory不具位势原理的复流形》共9个专题中的第1个是“导引和例”的第1页举全纯线丛的例并第2页全纯线丛是复流形的中心、第5个是“complex vector bundles: connections复向量丛：联络”、第6个是“holomorphic vector bundles and line bundles全纯向量丛和全纯线丛”并附录2是联络（关于在代数几何的定义如在数学皇帝Alexander Grothendieck）亚历山大·格罗滕迪克的《Éléments de géométrie algébrique. I. Le langage des schémas.代数几何学原理：概型语言》的专门讲上面说代数几何的核心方法概型的这书的第3部分是“概型的纤维积”、第4部分的底3是浸入的纤维积等，就如1955年毕业的博士论文做代数几何的Michael F. Atiyah迈克尔·阿蒂亚是唯一担任过英国皇家学会主席的数学家在1957年的这38页的论文“Vector Bundles Over an Elliptic Curve”说“设X是Algebraic variety代数簇，我们会关心向量空间为纤维的X上的代数纤维丛即向量丛”，而代数几何主要研究的正是代数簇及其结构性质，以及Atiyah毕业当年的“Complex fibre bundles and ruled surfaces”和1957年“Complex analytic connections in fibre bundles纤维丛的复解析联络”以及这篇“The index of elliptic operators on compact”使他和辛格最近再获得第2届数学诺贝尔奖阿贝尔奖的阿蒂亚-辛格指标定理并这论文标题虽不含纤维丛或联络但这定理在理论物理中的应用却很显著，特别是在1970年代后期被广泛应用于杨-米尔斯规范场如通过Atiyah-Singer指数定理可研究杨-米尔斯场的几何性质、以及计算杨-米尔斯场中的某些物理量，总之Atiyah-Singer指数定理与杨-米尔斯场之间的联系在于它们共同探讨了几何学在现代物理中的应用，特别是量子场论--侯伯元和侯柏宇1990年出版的《物理学家用微分几何》一书的第十二章是“Atiyah-Singer指数定理”-可参考，如此这篇论文值得花功夫读--所以论文即要看标题更要看内容--不过,它还不给出这定理的完整证明-其后在1965年的366页的这书中才给出）。

如此，仅从上面Michael F. Atiyah迈克尔·阿蒂亚一个人自1955年毕业起到60年代初的多篇纤维丛和联络等的论文，就可知道这时期是这领域发展及其丰收成熟时期。可西蒙斯(James Simons)推荐给杨振宁先生看的Norman Steenrod的上面纤维丛书籍我有的1974年的第9次印刷的“Index”很多但没“connections联络”。那多数在1974年前已推荐也就是没有“联络”的版。而没有联络的纤维丛和规范场至多仅有表皮的关系，西蒙斯怎不推荐上面陈省身大师1967年的《复流形》一书和海南琼州大学的编委Garabedian院士的下一位博士师弟Husemoller的1966年的《纤维丛》这更为丰富深刻成熟的书-因这书讲到与规范场有很多实质联系的理论如connections。但作为同调论博士的西蒙斯(James Simons世界上最会赚钱的数学家)也许是为杨先生更快接触纤维丛因确实这书第一个词是“纤维丛”，当然同调论博士不会出现这样的晕懵并全书只有一次出现这词但意思不是“联络”。

关于纤维从理论，还有Raoul Bott博特为第一作者和Phillip Griffiths的博士Loring W. Tu合撰的《Differential Forms in Algebraic Topology代数拓扑中的微分形式》的第一章第一节之前的引论中已讲纤维丛概念；而和前面博特同在1970年国际数学家大会做报告的16个人之二的Phillip Griffiths为第一作者和John W. Morgan约翰·摩根合撰的《Rational Homotopy Theory and Differential Forms有理同伦论和微分形式》的第一章中以及下面书籍第一句就都已讲纤维等，可见它是一个很基本的东西。阿廷的博士Serge Lang塞尔日·兰1962年出第一版的《Introduction to Differentiable Manifolds微分流形导论》和他的最近1996年出版的《Differential and Riemannian manifolds微分和黎曼流形》的第三章都是“向量丛”（不过,因兰的前一本我有后就不太需后一本书并这页所说的其它书我都有）；还有给海南琼州大学来过约十次信的“当代最富有色彩的著名数学家史蒂芬·斯梅尔(Stephen Smale)的博士Morris W. Hirsch的《Differential topology微分拓扑学》一书的第4章是向量丛-就是一类特殊的微分丛（Morris W. Hirsch的博士Thurston William威廉·瑟斯顿就是和丘成桐同获1982年数学诺贝尔奖菲尔茨奖的）。（关于流形上的向量丛分类：就如最近哈佛大学丘成桐撰写的《数学史大纲》的第五部分所说：“61. Hassler Whitney [1907 — 1989] 开启了将流形浸入和嵌入到Euclid空间的研究，浸入的Gauss映射给出了流形到Grassmann流形的分类映射，从而将流形上的向量丛进行分类.Whitney开始了合痕意义下的浸入分类工作, 最后由Stephen Smale [1930 —] 和Morris Hirsch [1933 — ] 完成”。其中开启这领域的Hassler Whitney是这页第一行海南琼州大学优化改进的美国第一个数学诺贝尔奖得主，而完成这领域工作的Stephen Smale [1930 —] 和 Morris Hirsch就是给海南琼州大学来过约十次信的当代最富有色彩大师和他的徒弟）

还有一点不清楚，Steenrod的“纤维丛”虽1951年出版而与规范场有深刻联系的微分几何都是1950之1966年产生，但嘉当1946年第二版共29章的《黎曼几何学》已有很深刻的纤维丛理论特别是可以与规范场联系的，但Steenrod的“纤维丛”竟有多达113个文献却没有嘉当一个，虽嘉当这书当时仅有法文和俄文版我有的中文版也是1964年才出的但他113个文献中的多达10个文献是高度评价推荐海南琼州大学的论文给苏步青院士主编的杂志发表的我国最高奖首个得主吴文俊院士的导师也是嘉当的博士C. Ehresmann的法文的且是独占他这书文献最多的-并吴文俊院士的这博士导师C. Ehresmann也是世界第一数学组织布尔巴基可确认的第一人；而他俩的导师师爷嘉当，就如杨振宁先生赞誉陈省身是继欧拉、高斯、黎曼、嘉当之后又一里程碑式的人物）：

附杨振宁先生说“不懂”的Norman Steenrod独著的《The Topology of Fibre Bundles纤维丛的拓扑学》的目录，可见这书常讲述这页下面北大状元罗锋教授说“非深入研究者一碰到奇异同调总感到摸不着边际”的同调论、同伦论以及也较复杂的代数几何等等，所以杨先生这样说就没啥奇怪了。这主要专于纤维丛的书仍还不如由陈省身先生1980年在北大讲课记录整理而成的北京大学出版社出版仅272页书名更广泛的《微分几何讲义》的内容与规范场有更深入的联系，这也许是出版较早的原因但2、30年代这些在陈省身先生的这书中的全部与规范场更密切的内容早就成熟--是否是Steenrod不太多考虑与规范场的关系。：

Part I. THE GENERAL THEORY OF BUNDLES

1. Introduction  

2. Coordinate bundles and fibre bundles

3. Construction of a bundle from coordinate transformations 

4. The product bundle 

5. The Ehresmann-Feldbau definition of bundle  

6. Differentiable manifolds and tensor bundles  

7. Factor spaces of groups  

8. The principal bundle and the principal map  

9. Associated bundles and relative bundles 

10. The induced bundle  

11. Homotopies of maps of bundles 

12. Construction of cross-sections 

13. Bundles~having a totally disconnected group 

14. Covering spaces 

Part II. THE HOMOTOPY THEORY OF BUNDLES

15. Homotopy groups 

16. The operations of p1on pn 

17. The homotopy sequence of a bundle  

18. The classification of bundles over the n-sphere  

19. Universal bundles and the classification theorem  

20. The fibering of spheres by spheres  

21. The homotopy groups of spheres 

22. Homotopy groups of the orthogonal groups 

23. A characteristic map for the bundle Rn+1over Sn 

24. A characteristic map for the bundle Un over S2n-1 

25. The homotopy groups of miscellaneous manifolds 

26. Sphere bundles over spheres 

27. The tangent bundle of Sn 

28. On the non-existence of fiberings of spheres by spheres 

Part III. THE COHOMOLOGY THEORY OF BUNDLES

29. The stepwise extension of a cross-section 

30. Bundles of coefficients 

31. Cohomology groups based on a bundle of coefficients 

32. The obstruction cocycle 

33. The difference cochain  

34. Extension and deformation theorems 

35. The primary obstruction and the characteristic cohomology class 

36. The primary difference of two cross-sections 

37. Extensions of functions, and the homotopy classification of maps 

38. The Whitney characteristic classes of a sphere bundle  

39. The Stiefel characteristic classes of differentiable manifolds 

40. Quadratic forms on manifolds 

41. Complex analytic manifolds and exterior forms of degree 2 

Appendix 

Bibliography 

Index 

      再说回规范理论：在物理学的发展历史中，电和磁曾经被认为是两种互相独立的作用。经过Faraday和maxwell等人的研究，证明了电和磁是统一的电磁作用的两个方程。1967年11月20日Steven Weinberg史蒂文×温伯格在《物理评论快报》的论文它标志着粒子物理学的标准模型正式诞生。看似毫不相关的电磁力与弱核力在Weinberg模型中有机地统一起来了，在随后该模型经受住了无数高能物理学实验的考验，成为继相对论和量子力学之后最成功的物理学理论。其后由弱电统一的Weinberg-Salam模型和强作用的量子色动力学组成的规范理论也取得了很大的成功，当然还存在问题。这是人们思考四种基本作用之间是否也有某种内在的联系可以统一描述呢？

广义相对论也是一种规范理论。六十年代以来的。六十年代以来的理论和实验的重要进展表明四种基本作用可能都是规范作用。这些成就引导人们去研究把弱电作用和强作用统一描述的理论，即大统一理论。人们还企图更进一步把引力作用也和其他三种基本作用统一起来描述。但这些企图还没有得到实验的支持。

在规范理论中，在时空中的每一点x定义了内部空间的基矢ei(x)(i=1,2，。…，n)和作用于每点上的ei(x)(i=1,2，。…，n)的变换群Gx。规范势Am(x)决定把矢量ei(x0)(i=1,2，。…，n)由x0点移到(x)点后与ei(x)的差别。这样的理论结构在数学上属于纤维性。。  把纤维丛理论的微分几何方法用于规范理论已经富有成果，它对与规范场的拓扑性质有关的问题很有用。

在物理规律的对称性中，有一些是严格的对称性；另一些对称性是近似如同位旋对称性，并同位旋对称性的破缺是由于存在比较弱的电磁作用和弱作用。

量子化：在非阿贝尔规范场经典理论提出后的相当长一段时间内，它的量子化问题一直没有很好地得到解决。1967年L.D.Faddeev才通过泛函积分的途径，对非阿贝尔规范场理论的量子化问题作了完满的解答，明确地给出推导费曼规则的系统方法（L. D. Faddeev的许多最厉害博士就做我们海南琼州大学在中国第一个组合数学研究室攻读3年多的组合数学）。

有了格林函数就不难得出相应过程的S矩阵元，并它的表达式称为顶角函数，而顶角函数的研究，对于下面重整化问题特别重要。

重整化：是为消除计算量中产生的无穷大并即使在量子场论的圈图中没有出现无穷大，对原拉格朗日场理论中出现的质量和场进行重整化也是必要的。规范场理论的重整化。通常在利用微扰论(Feynman规则)计算量子场论中的格林函数时，会迁到由对内部动量积分引起的发散。发散困难手续反映粒子量子场论基本理论结构的不完整性。重整化手续是绕过这个困难由量子场论重分离出有意义的物理结构的方法。

Yang-Mills场论可重整性的重任是由诺贝尔物理奖得主Gerardus ‘t Hooft杰拉德·特·胡夫特证明的-他1972年博士毕业1973年和Martinus Veltman在核物理 B杂志合作发表35页的“Combinatorics of gauge fields规范场的组合数学”或见美国数学评论（我们海南琼州大学在中国第一个组合数学研究室做的在这领域也很有用，而他这论文的合作者、导师Martinus Veltman也是诺贝尔物理奖得主）。他的博士毕业前一年的1971年2月和7月他在《核物理学》上接连发表了两篇唯一作者的论文，题目分别是“无质量Yang-Mills场的重整化”（Renormalization of Massless Yang-Mills Fields）和“有质量Yang-Mills场的可重整拉格朗日量”（Renormalizable Lagrangians for Massive Yang-Mills Fields）（这2篇论文也组成他的1972年的博士论文“The Renormalization Procedure for Yang-Mills Fields杨-米尔斯场重整化过程”）。据说当时全世界没有几个人能看懂这位从小就立志做个“什么都懂的人”（A person who knows everything）的论文，以至于Sheldon Glashow谢尔登·格拉肖认为Gerardus ‘t Hooft要么是天才，要么是疯子。