泛函微分方程：

我读研究生时的大学-华南师范大学的应用数学研究所所长温立志教授的《泛函微分方程》领域我国第一本专著的问题更是常用不动点理论（可参考他的此书。因温教授是华师大几个很利害的数学专家之一，按学术成就当时甚至可说是与我的导师柳柏濂并驾齐驱为最利害--虽我导师1990年获得全校唯一特等奖、1991年获得教育部科技进步一等奖，但我常也关注温教授的研究）：设C([a, b], Rⁿ)表示将区间[a, b]映射入Rⁿ中的所有连续函数所组成的并且具有一致收敛拓扑的Banach空间，对给定的r³0，我们将空间C([-r, 0], Rⁿ)简记为C，对任一φÎC，其范数定义为||φ||=sup_-r£ɵ£0|φ(ɵ)|，其中|•|为Rⁿ中的范数。

如果t₀ÎR，A³0，xÎC([t₀-r, t₀+A], Rⁿ)，则对任一tÎC([t₀, t₀+A]，我们定义x_t为x_t (ɵ)= x(t+ɵ)，t取遍[-r, 0]上的一切值。因此，x_tÎC。

设DÍR´C，f: D® Rⁿ为给定函数，则关系式 x^·(t)= f (t, x_t ) 称为具有有界滞量的滞后型泛函微分方程(Retarded Functional Differential Equation-简写为RFDE)。其中x^·(t)表示x(t)对t的右导数。相对有无界滞量的滞后型泛函微分方程。

设B是由(-¥, 0]映入Rⁿ中函数所组成的某一种函数空间，如果t₀ÎR，A>0，x：(-¥, t₀+A] ® Rⁿ)，则对任一tÎC([t₀, t₀+A]，我们定义x_t为x_t (ɵ)= x(t+ɵ)，t取遍(-¥, 0]上的一切值。因此，x_tÎC。

设WÍR´B，f: W® Rⁿ为给定函数，则关系式 x^·(t)= f (t, x_t ) 称为无穷延滞的泛函微分方程。其中x^·(t)表示x(t)对t的右导数。

x^·(t)= f (t, x_t , x_t^·)称为中立型泛函微分方程(Neutal Functional Differential Equation-简写为NFDE)，其中f: R´C´C ® Rⁿ，x_t^·ÎC是由x_t^· (ɵ)=d x(t+ɵ)/dɵ 所定义。更准确地应称为有限滞量的中立型泛函微分方程

还有1970年Cruz和Hale引进一种特殊但又有广泛性的中立型泛函微分方程：设WÍR´C中的开集，f:和D都是W® Rⁿ中的连续泛函，当D(t, φ)对φ为线性时，它在集K上于0处是原子的，这里KÍR_W={t: (t, φ)ÎW}，当D(t, φ)对φ为非线性时，它在集HÍW上于0处是原子的，则关系式 d D(t, x_t )/dɵ= f (t, x_t ) 称为D算子型的中立型泛函微分方程。（附：线性D(t, φ) 在集上于0处是原子的定义：设DÍR´C是开集，D(t, φ)为W® Rⁿ的连续泛函，且对φ为线性的，由Riesz定理知存在一个n´n的有界变差矩阵函数h(t, ɵ)，使得D(t, φ)=ò_-r⁰[d_ɵ h(t, ɵ)]φ(ɵ)，(t, ɵ)ÎW，对于t₀= R_W={t₁ (t, ɵ)ÎW}及ɵ₀Î[-r, 0] 如果det[h( t₀, ɵ₀⁺)-h( t₀, ɵ₀^-)]≠0，则称线性泛函D(t, φ)在t₀于ɵ₀处是原子的，进一步地当然任一t₀ÎKÍ R_W于ɵ₀处是原子的，则线性泛函D(t, φ)在集K于ɵ₀处是原子的。关于Riesz定理可看泛函分析-这个定理建立了希尔伯特空间与它的连续对偶空间的一个重要联系，Paul Erdős就是Leopold Fejér和Frigyes Riesz的博士。非线性D(t, φ) 在集上于0处是原子的定义见温立志教授上面专著的第19页）

（有些书分为：滞后型、超前型、混合型、中立滞等）

考察解的存在或唯一状态的：第28页的定理1的证明就用Schauder不动点定理、第30页的定理2证明的两处地方也考察不动点，第43页的定理3考察解的的两处地方也考察不动点，第45页引理1是压缩映像原理，引理2是推广到导数情形，第46页的定理1及进一步情况也利用它们，第60页的定理1也用Schauder不动点定理、第62页的定理2的用压缩映像原理，第77页的定理1也用Schauder不动点定理、第82页的定理就是Darbo不动点定理（非常多模糊积分方程的论文都要用到Darbo不动点定理）、第85页的定理1的（8）式用Darbo不动点定理、第97页也考察不动点，第101页的定理4也考察不动点、第108页定理1考察压缩映像、第109页用Darbo不动点定理、第109页的定理2考察不动点，第110页定理3解的存在、连续依赖的证明提示其类似定理1，第191页定理1的部分证明仿照第二章第2节定理1，考察压缩映像、第108页定理1考察压缩映像。非振动解的情况：第369页的定理3两处用Schauder不动点定理、以及第373页的定理4两处用Schauder不动点定理、以及第375页的定理5而定理3类似、及第376页的定理6，第419页Horn的定理4和定理5这两个不动点定理。周期解的情况：第420页的定理6的用Horn不动点定理，第421页的定理7也用Horn不动点定理处理，第433页周期解的定理4也是用也用不动点处理，第442页广义非紧性测度的Nussbaum不动点定理（定理1），第442页的推论1和推论2也是也是不动点定理，第443页用Nussbaum不动点定理考察一个方程组，第455页的定理2的证明用定理1即Nussbaum不动点定理、定理3的没有给出证明只请参考发表Nussbaum不动点定理的这篇论文，第455页还说这篇论文还考察另一个方程组， 和得到定理4和定理5，第456页的引理1是Brouwer不动点定理，第458页的定理1是证明用这引理1即Brouwer不动点定理、第461页的定理2是证明用定理1，第463页的定理1是证明用Brouwer和一苏联人的不动点定理、第468页的定理2的证明用定理1，第470页的定理3是证明用Brouwer和一苏联人的不动点定理（在期刊网见此书另一作者的论文仅14篇，《科学通报》2篇；而温立志教授30篇，其中我读研究生前他已有《科学通报》5篇第一作者。在出这本专著的几年后，郑祖庥教授也出版我国第二本《泛函微分方程》专著，不过郑祖庥在1996年以前仅有一篇我国前十名数学核心期刊论文-是排在第六名左右的《数学进展》的论文）

郭柏灵院士“分数阶偏微分方程”讲稿，在土豆网的视频、56网的视频，郭院士也写分数阶偏微分方程的我国第一本专著，在期刊网见分数阶偏微分方程论文已有十几篇，主要在图像处理的应用

相关内容可看这偏微分方程网页的最下面附录的常微分方程部分

李万同,范先令,苏永福,姚永红,陈国谦,周勇,廖世俊,曹进德,殷朝阳,周勇,秦小龙,周定軒,

不动点定理的应用：

无限维空间中有界线性算子不变子空间的存在性是算子理论研究的一个重要问题。“博弈论之父”von Neumann(冯·诺依曼)最先证明了无限维Hilbert空间上的紧算子有非平凡的不变子空间，其后，N. Aronszajn和K. Smith对一般的复Banach空间上的紧算子证明了非平凡的不变子空间的存在性（不变子空间定义：T: C→C，BÌC为子空间，TBÌB，则称B为T的不变子空间）。1973年Lomonosov证明了与非紧算子可交换的算子存在非平凡的超不变子空间。

1973年Lomonosov的不动点定理：设X为复Banach空间，TÎB(X)，T≠aI.。又设K是X上的非零紧算子，TK=KT，则T有非平凡的超不变子空间。

超不变子空间定义：设X是赋范线性空间，TÎB(X)，记x_T={B| TB=BT, BÎB(X)}。如果X的线性闭子空间X₁是x_T中所有元的不变子空间，则称X₁为T的超不变子空间。

代数学基本定理：设是次复多项式P(z)=a_nzⁿ+…+a₁z+a₀，则必存在z₀，使得P(z₀)=0。（Yusun Tong）。

(1)、Banach压缩映像原理的应用：例1：设fÎC[a, b]), K(s, t)ÎC([a, b]´[a, b]), 且有常数M使得

ò_a^b |K(s, t)| dt£M<¥ (a£s£b),

则当|l|<1/M时，存在唯一的jÎC([a, b]), 满足，

j (s)=f(s)+l ò_a^b K(s, t)j (t)dt,

令 Tj (s)=f(s)+l ò_a^b K(s, t)j (t)dt,

记a=|l|·M，则a<1且对任意j, fÎC([a, b]), 有

||Tj-Tf||_¥=|l| ||ò_a^b K(s, t)j (t)dt-ò_a^b K(s, t)f (t)dt||_¥£|l| max _a£s£b ò_a^b | K(s, t) |· | j(t)-f (t)|dt£|l| M max _a£t£b | j(t)- f (t)|dt £a||j-f||_¥.

这说明T是C([a, b])到C([a, b])的压缩映射，从而存在唯一的jÎC([a, b])使得Tj=j，即

j (s)=f(s)+l ò_a^b K(s, t)j (t)dt,

(2)、Banach压缩映像原理推论的应用：例2：设K(s, t)是区域D={(s, t)| a£s£b, a£t£b}上的连续函数, fÎC[a, b]), 则对任意常数l，存在唯一的jÎC([a, b]), 满足

j (s)=f(s)+l ò_a^sK(s, t)j (t)dt,

记M= max_{(s, t)ÎD} | K(s, t) |，令Tj (s)=f(s)+l ò_a^s K(s, t)j (t)dt,

则对任意j, fÎC([a, b]), 有

|Tj(s)-Tf(s)|=|l| ||ò_a^sK(s, t)(j (t)-f (t))dt| £|l| M(s-a)||j-f || _¥.

于是|T²j(s)-T²f(s)|= |T(Tj(s))-T(Tf(s))|=|l| ||ò_a^s K(s, t)( Tj(s)-Tf(s))dt| £|l| ò_a^s |K(s, t)| |l| M(t-a)|| (j (t)-f (t))||_¥.dt=.|l|²M² ò_a^s (s-a)dt||j-f || _¥=.|l|²M² ((s-a)²/2||j-f || _¥

应用归纳法不难证明对任意自然数n，有

|Tⁿj(s)-Tⁿf(s)| £.|l|ⁿMⁿ ((s-a)ⁿ/n!||j-f || _¥

进而||Tⁿj-Tⁿf|| £.(|l|M ((b-a))ⁿ/n!||j-f || _¥

取自然数N，使a=(|l|M ((b-a))^N/N！<1，则T^N是压缩映射，从而存在唯一的jÎC([a, b])使得Tj=j。

上面应用(1)、(2)参考20世纪世界第一数学家、柯尔莫哥洛夫Kolmogorov的修订了八版的《函数论与泛函分析初步》

(3)、Banach压缩映像原理和Schauder不动点定理应用：例3：在Riemann-Liouville分数阶微分方程在实数域上解的性质中的应用：1996年Domenico Delbosco和Luigi Rodino在论文“Existence and uniqueness for a nonlinear fractional differential equation. J. Math. Anal. Appl. 204 (1996), no. 2, 609--625”利用Schauder不动点定理和Banch压缩映射原理证明了非线性分数阶微分方程D^a(u)=f(x, u)解的存在性与唯一性，其中0<a<1；1993年Ahmed El-Sayed在论文“ Linear differential equations of fractional orders. Appl. Math. Comput. 55 (1993), no. 1, 1--12”中利用Banch压缩映射原理利用Schauder不动点定理和Banch压缩映射原理证明了线性分数阶微分方程d^ax(t)/dt ^a=f(t, x, d^a1x(t)/dt ^a1,…, d^anx(t)/dt ^an) 解的唯一性，其中a,a_i ( i=1, 2, …,n)是实数，0<a₁<a₂<a…<a_n-1 <a_n<a；2003年Zaki El-Raheem在论文“Modification of the application of a contraction mapping method on a class of fractional differential equation. Appl. Math. Comput. 137 (2003), no. 2-3, 371—374”中通过修改Banch压缩映射原理证明了初值问题“①D^a_tu(t)=f(t, u(t)), ②D_t^ju(t)= u_j(0), j=0, 1,…,[ a]”解的全局存在唯一性，其中f(t, u)满足Lipschitz条件：| f(t, u)- f(t, v)|£L|u- v)|.

顺注：关于前段中的基本概念分数阶微积分-其可以说是和整数阶微积分几乎同时起源于300百多年前，即它的起源可追溯到1695年9月30日莱布尼茨和L’Hospital的讨论，1819年Lacroix给出了第一个有意义的幂函数的分数阶微分定义，1832年Liouville给出了Liouville第1公式和第2公式，扩大了定义适用的函数类，1847年Riemann以此为基础作了补充，将定义中的函数一般化；后来1872年Letnikov将他们二人的成果综合来，形成了第1个较为完备的定义，即分数阶微积分的Riemann-Liouville（简称R-L）定义。R-L积分定义：

_RD^-a₀,_xf(x)=(1/G(a))ò^x₀(x-t)^a-1 f(t)dt, aÎR⁺

其中G(a)为Gamma函数

R-L导数定义：

_RD^a₀,_xf(x)= Dⁿ_RD^-(n-a)₀,_x f(x), nÎN

1867年Grunwald和1868年Letnikov用相同方法（即Gamma函数和M-L函数）给出了适用于离散化数值估算的解析定义式，即分数阶微积分的Grunwald-Letnikov（简称G-L）定义（又称为分数阶导数的级数定义）。

G-L积分定义：

_GD^-a₀,_xf(x)=lim_h®0+h^aå_k=0^ëx/hû(G(a+k)/(G(k+1)G(a))f(x-hk)=lim_h®0+h^aå_k=0^ëx/hû (a(a+1)(a+2)…(a+k-1))/( G(k+1)) f(x-hk)= lim_h®0+h^aå_k=0^ëx/hû (^a_k) f(x-hk), n-1<a<n, nÎN

G-L导数定义：

_GD^a₀,_xf(x)=lim_h®0+h^-aå_k=0^ëx/hû(-1)^k(G(a+1)/(G(k+1)G(a-k+1))f(x-hk)= lim_h®0+h^aå_k=0^ëx/hû(-1)^k(a(a+1)(a+2)…(a+k-1))/k!) f(x-hk)= lim_h®0+h^aå_k=0^ëx/hû (-^a_k) f(x-hk), n-1<a<n, nÎN

1967年Caputo给出了分数阶微积分的Caputo定义。

Caputo积分定义

_CD^-a₀,_xf(x)=(1/G(a))ò^x₀(x-t)^a-1 f(t)dt, Re(-a)<0

Caputo导数定义

_CD^a₀,_xf(x)= _CD^-(n-a)₀,_xDⁿ f(x)= (1/G(n-a))ò^x₀(x-t) ^n-a-1 f⁽ⁿ⁾(t)dt, -1<a£n.

它们是迄今三种分数阶微积分基本定义，其中f(t)的范围应可怎样其定义才有意义，各位可自已考察。另外，能否推广它们？当然，发展那么久了肯定几乎没有可直接的推广，但必竟它远不如整数阶微积分那么成熟，因此能否有修补式的推广，各位也可自已尝试

不论如何，以前它仅做为数学纯理论来研究而发展缓慢。自20世纪60年代它用于控制领域和1965年美国耶鲁大学Mandelbrot教授提出分形概念，以及其后发现它也与记忆过程等现象都可建立密切联系起，自此，分数阶微积分才受到科技工作者越来越多的注意，并逐渐认识到，分数阶微积分可能是描述一些复杂运动、不规则现象、记忆特征、中间过程等方面恰当的数学工具（实际系统动态过程本质上也是分数阶的，如此运用分数阶系统模型可以更好描述系统特性）。从此，作为分形几何和分形动力学的基础，分数阶算子理论特别是分数阶微积分和分数阶微分方程的研究才得到了迅速发展，不过它的物理和几何意义则由Igor Podlubny最近在牛津大学做访问时给出。今天，它在电子学、化学、地震分析、控制理论、机械力学、流体力学、机器人等方面有着越来越广泛的应用，还有如分数阶微积分在图像处理中的研究综述、分数阶微积分及其在飞行控制系统中的应用、基于分数阶微积分的岩土材料变形研究等）

最后，让我们看看上面原先是纯粹数学家，其后也仍在不断开拓纯粹数学的同时做为计算机之父、博弈论之父的von Neumann(冯·诺依曼)是如何为解决经济问题而创立博弈论的：“我们必须弄清楚博弈论是如何与经济理论联系起来的，这两种理论的共同点是什么。为此，最好的办法是对某些基本经济问题的性质给以简要的叙述，以便清楚地看出它们之间的相同之处，然后，就能明显地看出，建立两者之间的联系非但没有任何牵强附会，而且博弈论恰好就是用以创建一套新的经济理论的恰当工具”-《经济学中的数学方法》。他的几个最著名的师兄弟和师妹都搞图论和组合数学，而要创立也要掌控相关的知识才行

John von Neumann也曾关注组合学如他撰写的《形式主义的数学基础》-中国科学院李文林翻译说：过去几十年，重新考虑了普遍认为的古典数学之绝对有效性根源问题。由于布劳威尔、罗素和Hilbert的三个重要进展-越来越多的真正明确的数学问题而非趣味问题正在数学基础上得到研究。他说他这篇文章不讲布劳威尔、罗素而是专门讲“Hilbert在这些方法及其关系的组合学研究方面的贡献”。于Hilbert，台湾大学数学系系主任、《台湾数学期刊》总编辑曹亮吉教授说Hilbert是“他那時代最偉大的數學家”

1945年-1954年在MIT、密西根大学获得学硕博士、是伦斯勒理工学院副教授、浙江大学副校长、浙江省政协副主席

参考常微分方程（www.qzu5.com/df.htm），和随机微分方程（www.qzu5.com/ri.htm）