模糊代数学：

1934年，Frédéric Marty在斯德哥尔举行的第八届斯堪的那维亚数学家大会上，在推广经典代数结构的基础上首次提出代数超结构理论和超群的概念之后，国内外许多数学工作者将超结构应用到许多分支，模糊超代数学等已是其中最活跃的研究分支。 Walter Prenowitz在1943年将几种几何结构表示成超群（Prenowitz, Projective geometries as multigroups. Amer. J. Math. 65 (1943), 235--256），其后他又和James S. Jantosciak（Prenowitz, Jantosciak, Join geometries.）以起提出相交空间（一种特殊超群）的概念。

模糊子群等最先由Azriel Rosenfeld引进。其后，这里第18邀请海南琼州大学和北京大学副校长等3个华人担任他的编委的该杂志主编Bijan Davvaz校长在1998年提出和研究fuzzy subhypergroup (模糊超子群也简说fuzzy Hv-subgroup)和anti fuzzy Hv-subgroup((反模糊超子群)的一些性质（Davvaz, On Hv-subgroups and anti fuzzy Hv-subgroups. Korean J. Comput. Appl. Math. 5 (1998), no. 1, 181--190），Davvaz教授1999年进一步研究fuzzy Hv-group的性质（Davvaz, Fuzzy Hv-groups, Fuzzy Set. Syst., 101 (1999), 191–195），2001年Davvaz教授再引进和研究fuzzy Hv-submodule的性质（Davvaz, Fuzzy Hv-submodules. Fuzzy Sets and Systems 117 (2001), no. 3, 477--484.）；2000年Bijan Davvaz主编又将模糊关系理论推广到半超群上，提出半超群上模糊强正则等价关系的概念（Davvaz, Strong regularity and fuzzy strong regularity in semihypergroups. Korean J. Comput. Appl. Math. 7 (2000), no. 1, 205--213.）。

上面Hv-group就是Hypergroup，在此先给出超群概念：考虑超结构(H,·),其中·是H´H®y(H)的映射,记作(x,y) |®x·y。这里y(H)表示的所有子集构成的集合。称超结构(H,·)是P-超群,如果满足下列条件

1) 对任意x, y, zÎH,有(x·y)·z=x·(y·z).

2) 存在eÎH 使得对任意xÎH,有e·x=x·e={x} (e称为单位元)

3) 对任意xÎH 存在x¢ÎH,使eÎx·x¢Çx¢·x，x¢称为x的逆元‚记作x¢=x-1.

4) 对任意x,y,zÎH,有zÎx·yÞxÎz·y-1, yÎx-1·z.

（在美国数学评论见Bijan Davvaz校长在1998年开始有杂志论文有3篇都是模糊数学的论文；其后隔年1999年有Polygroups的论文，就是上面P-超群的论文，如刚在中国期刊网的“主题”输入“Polygroups”或“P-超群”见至今只有3篇论文，都是模糊数学粗糙集的论文，并看这些论文见“Polygroups”的中文名就是“P-超群”）。

由定义，下述结论显然成立

对任意的x,yÎH,(x-1)-1=x, e-1=e,且(x·y)-1=y-1· x-1,其中A-1={x-1, xÎA},P-超群(H,·)的子集A称为H的子P-超群，如果(A,·)是P-超群, H的子P-超群是正规的,如果对任意xÎH,有 x-1·A·xÍA.

关于Bijan Davvaz主编提出的模糊超子群和反模糊超子群分别定义如下：

一个超群H的模糊子集m称为H的一个模糊超子群，假若它满足

1）对任意x, yÎH, min {(m(x), m(y))£inf aÎx,ym(a),

2）对任意x, aÎH, 存在yÎH,使 xÎa·y且min {(m(x), m(a))£m(y),

3）对任意x, aÎH, 存在zÎH,使 xÎz·a且min {(m(x), m(a))£m(z),

对偶地，有

一个超群H的模糊子集m称为H的一个反模糊超子群，假若它满足

1）对任意x, yÎH, max {(m(x), m(y))³sup aÎx,ym(a),

2）对任意x, aÎH, 存在yÎH,使 xÎa·y且max {(m(x), m(a))³m(y),

3）对任意x, aÎH, 存在zÎH,使 xÎz·a且max {(m(x), m(a))³m(z),

关于超结构、超代数、超群等，可参考相关早期文献萌发的思想：Frédéric Marty,  Sur une generalization de la notion de groupe. In: 8th Congress des Mathematiciens Scandinaves, Stockholm, (1934) pp. 45–49

Hubert S. Wall, Hypergroups. Amer. J. Math. 59 (1937), no. 1, 77--98.

上面Hubert S. Wall的博士Howard H. Campaigne, Some properties of finite hypergroups. Thesis (Ph.D.)–Northwestern University. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 1938. 60 pp

Lois. W. Griffiths, On Hypergroups, Multigroups, and Product Systems. Amer. J. Math. 60 (1938), no. 2, 345--354.

Azriel. Rosenfeld ,Fuzzy groups. J. Math. Anal. Appl. 35 (1971), 512–517.

Jean Mittas, Hypergroupes canoniques. (French) Math. Balkanica 2 (1972), 165—179

Piergiulio Corsini, Hypergroupes et groupes ordonnés. (French) Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 48 (1972), 189--204 (1973).

Piergiulio Corsini, Hypergroupes et groupes ordonnés. (French) Univ. Genova Pubbl. Ist. Mat. (2) No. 21 (1972), i+23 pp

Piergiulio Corsini, Prolegomena of hypergroup theory.

Piergiulio Corsini,Violeta Leoreanu, Applications of hyperstructure theory

超矢量空间Hyper vector space是代数超结构algebraic hyperstructure的重要概念，它由Tallini提出（M. S. Tallini, Hyper vector spaces, Proceeding of the 4th International Congress in Algebraic Hyperstructures and Applications, Xanthi, Greece (1990), 167–174.）

………

 

在我国，刘旺金教授的论文“不分明代数的基本概念”（四川师院学报(自然科学版)1980年第2期），给出3个基本定义：F-子群胚（定义2.1）；F-子群（定义3.1）；F-子环（定义4.1）（该文参考Azriel. Rosenfeld, Fuzzy groups. J. Math. Anal. Appl. 35 (1971), 512-517. 此文给出2.1给出fuzzy subgroupoid模糊子群胚的定义，5.1给出fuzzy subgroup模糊子群的定义，它俩的定义一致；）

假定X是非空（分明）集合， z为X上全体F一集的集合族。

Azriel. Rosenfeld的论文没有给出F-子环，刘旺金从子环推广F-子环：定义: 设X是一环， 其运算为“ + ’, “·”, AÎz,A¹Æ, 称为X 的F一子环， 如果A对不分明运算“+” 是一F -子群， 对不分明运算“·” 是一F -子群胚。

Wang Jin Liu刘旺金, Fuzzy invariant subgroups and fuzzy ideals. Fuzzy Sets and Systems 8 (1982), no. 2, 133—139，在这篇论文除了重给出F-子群胚、F-子群（、F-子环外，再给出Fuzzy invariant subgroup; Fuzzy quotient group; Fuzzy left ideal等的定义，也相应再得到一些结果。

Joby M. Anthony ，Howard Sherwood，Fuzzy groups redefined. J. Math. Anal. Appl. 69 (1979), no. 1, 124--130.

翻译图论世界第一名著《图论及其应用》的吴望名，是我国模糊图论第一人，他写了我国开创性论文“弗晰图和弗晰树（模糊图和模糊树）”，数学的实践与认识，1980年第4期（模糊图论及相关领域也可参考这里第10节）。

他也是我国模糊群论先驱：吴望名，正规fuzzy子群， 模糊数学，1981年第1期21-30.

孟道骥, fuzzy群， 模糊数学，1984年第4期40-60.

戚振开， 不分明亚群， 哈尔滨工业大学学报，1980年第2期。

马骥良，于纯海， Fuzzy群， 东北师大学报，1981年第3期。

邹开其， Fuzzy拓扑群和Fuzzy拓扑积群， 模糊数学，1982年第1期。

石勇， 关于Fuzzy子群的又一个同构定理及Fuzzy正规子群列， 西南石油学院学报，1981年第3期。

 

可参考其它模糊数学领域以及一些相关的数学等的学科领域.