分形:

分形的原意是具有不规则、支离破碎等意义，而由于不规则现象在自然界普遍存在，因此分形学又被称为描述大自然的科学。如此，分形学一经建立，很快就引起了各个学科领域的关注。分形理论已是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。如此美国物理学家约翰·惠勒曾说“谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人，将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识”。这里是我的导师的被教育部批准为全国前四本数学研究生教材之一涉及的“熵”的一些介绍

这里简说其集大成者-Mandelbrot（常译为芒德勃罗也译曼德布罗特）等的分形的主要诞生过程。即曼德布罗特在总结前人工作的基础上，于1967年在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。海岸线作为曲线,其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的,也就是局部形态和整体态的相似。在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片,看上去会十分相似。事实上,具有自相似性的形态广泛存在于自然界中,如:连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层…，曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal)。1973年，曼德布罗特在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。1975年他以“分形：形状、机遇和维数”为名发表他的划时代的专著，第一次系统地阐述了分形几何的思想、内容、意义和方法，标志着分形几何学(fractal geometry)作为一个独立的学科正式诞生。在此基础上,形成了研究分形性质及其应用的科学,称为分形理论(fractal theory)。

下面先介绍我们的论文的一些前因后果:清华大学数学系主任文志英介绍推荐Jacques Marion1987年出版的论文“Mesures de Hausdorff d'ensembles fractals”给中山大学周作领教授,这论文中猜想:H^s(K)=2^s/4≈0.5995, s=log₃4。周作领教授在1998年的《中国科学》杂志出版的论文“自相似集的 Hausdorff 测度----Koch 曲线”中否定这猜想,也就是他在论文中得到定理:H^s(K)<2^s/4,并说“这是迄今所知 Koch 曲线的Hausdorff 测度的最好上界”。文后也说他得到中国科学院数学院章祥荪院长和张锁春教授的热情邀请和支持而在中科院完成该文初稿(中国科学院数学院至今仅有11篇全国优秀博士学位论文但竟有周天寿和吕金虎的是张锁春教授指导的)。周作领教授论文的第一句话是“在分形几何的研究中,计算Hausdorff维数是一个困难的问题,而计算 Hausdorff 测度则更困难”,这得到公认的话我们也照搬为我们论文的第一句话,因这样的话要多数专家公认才算数。

在期刊网见周作领教授和他的合作者在《中国科学》杂志竟发表了十篇论文,刚见他和他的另一博士李浩及汪沁在《中国科学》最近出版论文“共形映像的 Hausdorff 测度及其算法”,文中说“某些经典分形, 如 Cantor三分集、Koch曲线、Sierpinski垫片、 Sierpinski地毯等的 Haudorff 测度可以被计算和估计”,其中 Cantor三分集由许绍元许璐的论文和我们的推广的论文决解，Koch曲线、Sierpinski垫片、 Sierpinski地毯由周作领教授的上面论文和周作领李浩汪沁的上面论文的参考文献列出的除1篇外国人的外其余6篇(都是中山大学周作领教授独立或合作的-见下面)研究计算估计。

周作领教授和李浩等的论文就是考察某集在共形映射作用下的像集的Hausdorff 测度的关系，只要准确了解共形映射的定义就好理解全文:设 V⊂Rⁿ是一个开集. 我们称一个C¹映射 f : V → Rⁿ为共形的, 如果在每一点x ∈V处的导映射D _x f : Rⁿ→Rⁿ都是相似变换。即此文主要是为得到定理 1.1 设 K ⊂ Rⁿ是一个紧致集合 , 满足 0 < H^s (K) < ∞,而 f 是定义在 K 的一个开邻域上的共形的单射 . 则我们有

H^s(f(K)) = H^s(K) ò_K|D_x f|^s dµ(x),

这里 µ =H^s|_K/H ^s(K)是限制在K上的概率测度`

周作领教授和李浩等的合作得上面论文的参考文献:

Qu C Q, Zhou Z L. Hausdorff measures for a class of homogeneous Moran sets. Nonlinear Anal, 2006, 65: 442–447,

Zhou Z L. Hausdorff measures of Koch curve and Sierpinski gasket. Progr Natur Sci (English Ed), 1997, 7: 401–406,

Zhou Z L, Feng L. A new estimate of the Hausdorff measure of the Sierpinski gasket. Nonlinearity, 2000, 13: 479–491,

Zhou Z L, Feng L. Twelve open problems on the exact value of the Hausdorff measure and on topological entropy: Abrief survey of recent results. Nonlinearity, 2004, 17: 493–502,

Zhou Z L, Qu C Q, Zhu Z W. The Structure of Self-similar Sets: Hausdorff Measure and Upper Convex Density, 2nded. Beijing: Science Press, 2010,

周作领 , 吴敏 . 一个 Sierpinski 地毯的 Hausdorff 测度 . 中国科学 A 辑 , 1999, 42: 138–144,

关于给出描述性或严格性的分形和一些基本概念描述或定义:什么是分形呢？事实上，目前对分形还没有严格的数学定义，只能给出描述性定义。粗略地说，分形是对没有特征长度但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称。

线性分形又称为自相似分形。自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。它表征分形在通常的几何变换下具有不变性,即标度无关性。由自相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。分形形体中的自相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构,如科赫(Koch)雪花曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯等。这种有规分形只是少数,绝大部分分形是统计意义上的无规分形。

这里再进一步介绍分形的分类，根据自相似性的程度，分形可以分为有规分形和无规分形，有规分形是指具体有严格的自相似性，即可以通过简单的数学模型来描述其相似性的分形，比如三分康托集、Koch曲线等；无规分形是指具有统计学意义上的自相似性的分形，比如曲折连绵的海岸线，漂浮的云朵等。

这里特别说有规分形即具体有严格的自相似性的典型分形：三分康托集,我们琼州大学就推广研究λ等分康托集的构造性质和Hausdorff 测度。关于这方向，1883年，德国数学家康托(Cantor)提出了如今广为人知的三分康托集。三分康托集是很容易构造的，然而，它却显示出许多最典型的分形特征。它是从单位区间出发，再由这个区间不断地去掉部分子区间的过程构造出来的(如右图)。其详细构造过程是：第一步，把闭区间[0，1]平均分为三段，去掉中间的 1/3 部分段，则只剩下两个闭区间[0，1/3]和[2/3，1]。第二步，再将剩下的两个闭区间各自平均分为三段，同样去掉中间的区间段，这时剩下四段闭区间：[0，1/9]，[2/9，1/3]，[2/3，7/9]和[8/9，1]。第三步，重复删除每个小区间中间的 1/3 段。如此不断的分割下去， 最后剩下的各个小区间段就构成了三分康托集。 三分康托集的 Hausdorff维数是0.6309。

三分康托集的构造过程

附几个最著名的自相似集:Cantor三分集（也见维基网）、Koch曲线（也见维基网）、Sierpinski垫片（也见维基网）、 Sierpinski地毯（也见维基网）、Mandelbrot set,

要更好掌握分形理论，首先要温习勒贝格积分的基本性质和定理等：如有限可加性、绝对连续性、s可加性、线性性质、单调性质、唯一性、列维(Levy)定理、法杜(Fatou)定理、控制收敛定理、有界收敛定理、平均收敛定理等

设(X, d)是一个完备度量空间，令ℋ(X)表示X中的非空紧集的全体构成的集合族。给定一个点x₀ÎX以及一个非空紧集AÎℋ(X)，定义点x₀到集合A的距离为

d(x₀, A)=min{ d(x₀, y): yÎA}

设A、B是X的两个非空紧集，定义集合A到B的距离为

d(A, B)=max{ d(x, B): xÎA}

从定义知d(A, B)未必等于d(B, A)。

因ℋ(X)中任两个集对应一个距离值，称为距离函数。设A,BÎℋ(X)，定义A与B的Hausdorff距离为

h(A, B)= d(A, B)∨d(B, A) （∨为逻辑符号即取最大者）

显然，Hausdorff距离是集合族ℋ(X)上的一个度量，因此，定义(ℋ(X), h)为分形空间。

设M是一个紧度量空间，ψ: M®M是一个压缩映射，即对M中任意两个元x, y均成立 d(ψ(x), ψ(y) )£ cd(x, y), 0<c£1，称使得一切使上述不等式都成立的值c的下确界为压缩比。假如一个压缩映射ψ把M中的任何一个子集都变为一个几何相关集，即成立d(ψ(x), ψ(y) )= cd(x, y), " x, yÎM，则称ψ为一个相似，压缩比c就是相似比。

所谓迭代函数系统，是指紧度量空间到自身的一组压缩映射{ψ_j : M®M; j=1,…,N}，使得d(ψ_j (x), ψ_j (y) )£ c_j d(x, y), 0<c_j £1，" x, yÎM，j=1,…,N。

给定一个迭代函数系统{M；ψ₁,…, ψ_N}，称集合E是它的不变集，如果E=∪_j=1^Nψ_j (E)。（注意：满足哪些条件的不变集称为迭代函数系的吸引子？迭代函数系的吸引子常常被看作“确定性分形”）

称{M；ψ₁,…, ψ_N}是自相似的，若函数迭代系统的每个压缩映射是自相似的，并且E是这个函数迭代系统的不变集，同时满足条件：H^s (E)>0, H^s (ψ_i (E), ψ_j (E))=0 (i¹j)

设FÌRⁿ是一个非空集合，d是一个非负实数，{U_i}是Rⁿ中的一个可数或有限的集合；如果FÌ∪_iU_i，并且对于每个i，0<|U_i|£d， 则称{U_i}是F的一个d覆盖。其中|U_i|是U_i的直径，其定义为|U_i|=sup{|x-y|: x, yÎU_i}。给定一个非负实数s, 对任何d>0，定义 H^s_d(F)=inf {å_i=1^¥ |U_i|^s: {U_i}是F的d覆盖}. 压缩相似比, P ₀ 的紧性,

显然，对给定的F和s，是H^s_d(F)是d的一个减函数，即当d减少时，H^s_d(F)随着增加，并当d®0时，H^s_d(F)趋于一个极限，这个极限值可能是0和¥，也可能是一个非0实数。记为H^s(F)=lim_d®0 H^s_d(F)，称H^s(F)是F的s维Hausdorff测度。如此定义的Hausdorff测度满足测度公理；

F的Hausdorff维数dim_HF定义为{dim}_HF=inf{s: H^s(F)=0}=sup{s: H^s(F)=¥}

但往往直接利用Hausdorff维数的定义来计算一个分形的维数是繁杂而又困难的。因此，需要建立一种计算维数的数学方法. 常见的计算维数的数学方法有位势法、质量分布法和富里叶变换法。其中计算分形的Hausdorff维数的位势法在理论与应用中都有重要意义。

设m是Rⁿ上的质量分布，s³0，xÎF。定义x的s-位势为 j_s(x)=òdm (y)/ |x-y|^s; 定义质量分布m的s-能为 I_s(m)=òj_sdm (x)=∬dm (x)dm (y)/|x-y|^s; 位势和能是物理学中最基本的概念，s-位势和s-能实质上是上述概念在分数维上的推广。比如m是Rⁿ上的质量分布，s =1，则j_s(x)就是常用的牛顿引力势，Hausdorff维数和位势有下列关系：

定理：设FÌRⁿ是一个非空集合，m是F上的质量分布，如果m的s-能为I_s(m)<¥，则H^s(F)=¥并且dim_HF³s.

设(X, d)是一个完备度量空间，令ℋ(X)表示X中的非空紧集的全体构成的集合族，e是一个非负实数；令B(x, e)表示一个中心在x半径是e的闭球。设A是X中的一个非空紧集， 令N(A, e)表示覆盖A的最小闭球的数目，闭球的半径是e，即 N(A, e)={M: AÌ∪_i=1^M N(x_i, e)}，其中x₁,…x_M是X的不同点。

设A是一个紧集，e是非负实数，若存在 D=lim_d®0 ln N(A, e)/ ln (1/e)，则称D是集合A的分形维数，记为D=D(A).

度量空间(X, d)上的一个动力系统是一个变换f: X®X。记为(X, f)。X中一点x的轨道是序列{ f⁰ⁿ: n=1, 2,…}.

设(X₁, f₁)，(X₂, f₂)是两个动力系统，如果存在一个同胚θ：X₁®X₂,使得f₁(x₁)=θ^-1° f₂°θ(x₁)，" x₁ÎX₁； f₂(x₂)=θ° f₁°θ^-1 (x₂)，" x₂ÎX₂。

设{X；w₁, w₂}是依赖于一个参数lÎP的迭代函数系，A(l)表示迭代函数系的吸引子。令M={lÎP：A(l)是连通的}，称M为{X；w₁, w₂}是迭代函数系{X；w₁, w₂}的Mandelbrot集。

上面是分形的基本概念。

迄今，分形的应用已是非常广泛，不仅在数学如随机分形，也在理化、生物、大气、海洋以至社会学科都有广泛应用，甚至在音乐、美术间也产生了一定的影响

这里附与我们琼州大学工作相关的一些学科领域

分形论的一些国内博士论文:

清华大学数学系主任文志英的一些博士生的论文:非一致双曲系统的重分形分析，非齐次多项式测度的重分形分析，分形上的热核估计和函数空间，分形的测度、维数，Lipschitz等价性和开集条件，非线性迭代函数系与Schrocdinger算子的谱的分形性质，关于自相似集的两个问题研究，

武汉文志雄的一些博士生的论文:一类自相似测度的奇异性与可乘序列的结构及关联维数，一类分形集截集的维数及相关问题，欧氏空间中加倍测度胖集和瘦集的研究，Ahlfors正则空间上的齐性测度和1权及Moran集的拟对称极小性和维数，一类广义Sierpinski三角和Sierpinski地毯的Lipschitz等价，两类具有分形结构的无标度网络及相关问题，分形与框架的相关问题研究，关于均匀Cantor集上加倍测度和填充测度的若干研究，一类拓广的Besicovitch集及其维数，

北京大学伍胜健的一些博士生的论文::拟圆周的Hausdorff维数，拟共形映射及其在复动力系统中的应用，超越亚纯函数的某些动力系统性质，北大还有文兰,李忠等动力系统前辈权威。

中山大学周作领的一些博士生的论文: 分形几何与动力系统的若干问题，动力系统中的若干问题，树映射的动力系统的研究，关于自相似集的测度的计算与估计，李浩的平面Tiling的拓扑结构和组合性质，分形几何与动力系统中的若干问题，迭代函数系统与逆极限空间中的若干问题，迭代函数方程的研究，动力系统与分形几何中的几个问题，拓扑动力系统符号动力系统与分形几何，动力系统的Lypunov特征指数,Hausdorff维数和熵的关系，环面动力系统的遍历性，拓扑动力系统中的遍历理论方法，孙文祥Anosov映射(孙文祥分到北大并早已担任北京大学数学系系副主任)，

华中科技大学吴军教授，两类具有分形结构的无标度网络及相关问题，Schmidt’s game及动力系统组合性质，龙以明和程崇庆主要是做哈密顿动力系统等,

david harte的重分形david vere-jones，

Random Cantor Set,

krapivsky , ben-naim, multiscaling in stochastic fractals,Physics Letters A,

M. K. Hassan and G. J. Rodgers,的1995年的论文Models of fragmentation and stochastic fractals, Physics Letters A,

Dyadic Cantor set and its kinetic and stochastic counterpart Chaos, （M. K. Hassan随机分形的论文）国内有胡迪鹤教授的专著,在期刊网可见这方面的论文.

Random Cantor set models for the elastic-perfectly plastic contact of rough surfaces,

· F. M. Dekking的Random Cantor Sets and Their Projections,

· K. J. Falconer的Projections of random Cantor sets,

· 在随机分形发展的早期随机图论大师Geoffrey Richard Grimmett院士在1988年的发表很有影响的随机Cantor集论文Superbranching processes and projections of random Cantor sets,（Geoffrey Richard Grimmett是哈密顿图大师J. Adrian Bondy的师弟)

· 关于随机Cantor集的测度,下面是一个较好的结果:记E的effective Hausdorff dimension为cdim_H E,设e_≤α= {x : cdim_H{x} ≤ α}. 我们知道e_≤α的 effective Hausdorff维数满足cdim_H e_≤α= dim_H e_≤α= α. 定义 f : R² → R² , f(x, y) = (y − x, y). 记B = f ⁻¹ (C × e_≤α), 我们得 dim_H B = dim_H C+α. 对(x, y)∈B有B_x = (C + x) ∩e_≤α. 记γ > dim_H C+α. 由Hausdorff 维数的Fubini型不等式, 必存在正常数b 使H^γ (B) ≥ bòH^γ−1(B_x) dH¹ (x)=bòH^γ−1(B_x)dx.

混沌与分形

混沌

学习了牛顿力学后，往往会得到这样一种印象，或产生这样一种信念:物体受力已知的情况下，给定了初始条件，物体以后的运动情况（包括各时刻的位置和速度）。就完全定了，并且可预测了。这种认识被称作决定论的可预测性。验证这种认识的最简单例子是抛体运动。物体受的重力是已知的，一旦初始条件（抛出点的位置和抛出时速度）给定了，物体此后任何时刻的位置和速度也就决定了。物体在弹力作用下的运动也是这样，已知的力和初始条件决定了物体的运动。这两个例子中都可以写出严格的数学运动学方程，即解析解，从而使运动完全可以预测。

牛顿力学的这种决定论的可预测性，其威力曾扩及宇宙天体。1757年。哈雷慧星在预定的时间回归，1846年海王星在预言的方位上被发现，都惊人的证明了这种认识。这样的威力曾使伟大的法国数学家拉普拉斯夸下海口：给定宇宙的初始条件，我们就能预言它的未来。当今日蚀和月蚀的准确预测，宙宙探测器的成功发射与轨道设计，可以说是在较小范围内实现了拉普拉斯的壮语。牛顿力学在技术中得到了广泛的成功的应用。物理教科书中利用典型的例子对牛顿力学进行了定量的严格的讲解。这些都使得人们对自然现象的决定论的可预测性深信不疑。

但是，这种传统的思想信念在20世纪60年代遇到了严重的挑战。人门发现由牛顿力学支配的系统，虽然其运动是由外力决定的，但是在一定条件下，却是完全不能预测的。原来，牛顿力学显示出的决定论的可预测性，只是那些受力和位置或速度有线性关系的系统才具有的。这样的系统叫线性系统。牛顿力学严格地成功处理过的系统都是这种线性系统。对于受力复杂的非线性系统，情况就不同了。下面通过一个实际例子说明这一点。

决定论的不可预测性。用畅销名著《混沌——开创一门新科学》的作者格莱克的说法，蝴蝶效应指的是“今天在北京一只蝴蝶拍动一下翅膀，可能下月在纽约引起一场暴风雨。”下面是几个混沌实例。

1．天体运动的混沌现象

前已述及，三体问题，更不要说更多体的问题，不可能有解析解。对于这类问题，目前只能用计算机进行数值计算。现举一个简单的例子。两个质量相等的大天体M₁和M₂围绕它们的质心做圆周运动。选择它们在其中都静止的参考系来研究另一个质量很小的天体M₃在它们的引力作用下的运动。计算机给出的在一定条件下M₃运动的轨迹。M₃的运动轨道是决定论的不可预测的，不可能知道何时M₃绕M₁运动或绕M₂运动，也不能确定M₃何时由M₁附近转向M₂附近。对现时太阳系中行星的运动，并未观察到这种混乱情况。这是因为各行星受的引力主要是太阳的引力。作为一级近似，它们都可以被认为是单独在太阳引力作用下运动而不受其它行星的影响。这样太阳系中行星的运动就可以视为两体问题而有确定的解析解。另一方面，也可以认为太阳系的年龄已够长以至初始的混沌运动已消失，同时年龄又没有大到各可能轨道分离到不可预测的程度。（顺便指出，人造宇宙探测器的轨道不出现混沌是因为随时有地面站或宇航员加以控制的缘故。）但是就在太阳系内，也真有在引力作用下的混沌现象发生。结合牛顿力学和混沌理论已证明，冥王星的运动以千万年为时间尺度是混沌的。（这一时间尺度虽比它的运行周期250年长得多，但比起太阳系的寿命——50亿年——要短得多了。）哈雷彗星运行周期的微小变动也可用混沌理论来解释。1994年7月苏梅克一列维9号彗星撞上木星这种罕见的太空奇观也很可能就是混沌运动的一种表现。

在太阳系内火星和木星之间分布有一个小行星带。其中的小行星的直径约在1km和1000km之间，它们都围绕太阳运行。由于它们离木星较近，而木星是最大的行星，所以木星对它们的引力不能忽略。木星对小行星运动的长期影响就可能引起小行星进入混沌运动。1985年有人曾对小行星的轨道运动进行了计算机模拟，证明了小行星的运动的确可能变得混沌，其后果是被从原来轨道中甩出，有的甚至可能最终被抛入地球大气层中成为流星。令人特别感兴趣的是美国的阿尔瓦莱兹曾提出一个理论：在6500万年前曾有一颗大的小行星在混沌运动中脱离小行星带而以10⁴m／s的速度撞上地球（墨西哥境内现存有撞击后形成的大坑）。撞击时产生的大量尘埃遮天闭日，引起地球上的气候大变。大量茂盛的植物品种消失，也导致了以植物为食的恐龙及其它动物品种的灭绝。

2．生物界的混沌

混沌，由于其混乱，往往使人想到灾难。但也正是由于其混乱和多样性，它也提供了充分的选择机会，因此就有可能使得在走出混沌时得到最好的结果。生物的进化就是一个例子。

自然界创造了各种生物以适应各种自然环境，包括灾难性的气候突变。由于自然环境的演变不可预测，生物种族的产生和发展不可能有一个预先安排好的确定程序。自然界在这里利用了混乱来对抗不可预测的环境。它利用无序的突变产生出各种各样的生命形式来适应自然选择的需要。自然选择好像一种反馈，适者生存并得到发展，不适者被淘汰灭绝。可以说，生物进化就是具有反馈的混沌。

人的自体免疫反应也是有反馈的混沌。人体的这种反应是要对付各种各样的微生物病菌和病毒。一种理论认为，如果为此要建立一个确定的程序，那就不但要把现有的各种病菌和病毒都编入打击目录，而且还要列上将来可能出现的病菌和病毒的名字。这种包揽无余的确定程序是不可能建立的。自然界采取了以火攻火的办法利用混沌为人体设计了一种十分经济的程序。在任何一种病菌或病毒入侵后，体内的生产器官就开始制造形状各种各样的分子并把它们运送到病菌入侵处。当发现某一号分子能完全包围入侵者时，就向生产器官发出一个反馈信息。于是生产器官就立即停止生产其它型号的分子而只大量生产这种对路的特定型号的分子。很快，所有入侵者都被这种分子所包围，并通过循环系统把它们带到排泄器官（如肠、肾）而被排出体外。最后，生产器官通知关闭，一切又恢复正常。

在医学研究中，人们已发现猝死、癫痫、精神分裂症等疾病的根源。可能就是混沌。在神经生理测试中，已发现正常人的脑电波是混沌的，而神经病患者的往往简单有序。在所有这些领域，对混沌的研究都有十分重要的意义。

此外，在流体动力学领域还有一种常见的混沌现象。在管道内流体的流速超过一定值时，或是在液流或气流中的障碍物后面，都会出现十分紊乱的流动。这种流动叫湍流（或涡流）。下图是在一个圆柱体后面产生的水流涡流图像，上图是直升机旋翼尖后面的气流涡流图像。这种湍流是流体动力学研究的重要问题，具有很大的实际意义，但至今没有比较满意的理论说明。混沌的发现给这方面的研究提供了可能是非常重要的或必要的手段。对混沌现象的研究目前不但在自然科学领域受到人们的极大关注，而且发展到人文学科，如经济学、社会学等领域。

3 一维逻辑斯蒂映射

非线性科学史中，关于一维逻辑斯蒂映射的研究有一系列有趣的典故，涉及一长串著名科学 家的名字，如马尔萨斯(T.R.Malthus，1766-1834)、乌拉姆(S.M.Ulam,1909-1984)、萨可夫 斯基(A.N.Sarkovskii)、MSS(指三个人)、DGP(指三个人)、费根鲍姆、梅(R.May,1936- ,)、约克 (J.Yorke, 1941- )、李天岩、辛格(D.Singer)等等，限于篇幅，本书不再叙述。下面仅从 图形的角度非常粗浅地介绍逻辑斯蒂映射的分岔过程。

映射(mapping)也叫迭代(iteration)，比如x_(n+1)=2x_n，若x_1=3 ,则x_2=6，x_3=12等等。从控制系统的角度看，这也叫反馈(feedback)，把 输出当作输入，不断滚动。很容易想到，反馈的结果有若干种：发散的、收敛的、周期的等 等。但是我们要问一下，一共有多少种可能的运动类型?是否存在既不收敛也不发散，也不 周期循环的迭代过程?回答是肯定的。这一点至关重要，但可惜的是人们最近才普遍认识到有这种运动类型。这说 的就是有界非周期运动，它与混沌有关。

逻辑斯蒂映射的形式为

x_(n+1)=ax_n(1-x_n)，

周期三窗口的放大图，注意横、纵坐标的比例不同

其中a是参数，取值范围是［-2,4］，通常人们只注意［0,4］这一半，其实另一半 ［-2,0］也一样有趣。x的取值为［0,1］。映射的不动点是指满足关系ξ=aξ(1- ξ)的相点ξ,解得ξ_1=0,ξ_2=1-1/a。设映射用 f表示，f的2次迭代记作f^2，3次迭代记作f^3，等等 。注意，这种记法不表示乘方关系。f的不动点也叫f的周期1点。f ^2的不动点实际上是f的周期2点。同理f^n的不动点与f的周期n点是 一回事。映射f的周期m点的稳定性由乘子

λ=｜df^m/dx｜=｜f′(x_1)f′ (x_2)f′…f′(x_m)｜= ｜∏^m_(i=1)f′(x_i)｜

完全决定。映射f的周期点(包括不动点，它为周期1点)的稳定性可具体定义为：

｜λ｜＜1，吸引，稳定；
｜λ｜＞1，排斥，不稳定；
｜λ｜=1，中性；
λ=0，超稳定。

以参数a为横坐标、以x的稳定定态(stable steady states)为纵坐标作图，的图中可以看出开始是周期加倍分岔(也称周期倍化分岔或周期倍分岔)，然后是混沌，混沌区中又有周期窗口。窗口放大后又可见到同样结构的一套东西。此 所谓无穷自相似结构。

更为有趣的是，不但对于上述形式的映射有这种分岔结构，映射取如下形式

x_(n+1)=1-λx^2_n，
x_(n+1)=μsin(πx_n)，
x_(n+1)=x_nEXP［δ(1-x_n)］

时，仍然可以得到相似的结构，这叫做结构普适性。从图中看到，一维映射不断发生周期倍 化分岔，比如存在2,2^2,2^3,2^4,…，2^∞及3×2,3×2^2,3×2^3,…，3×2^∞等周期加倍 过程。早在60年代苏联就有一位杰出的数学家将所有可能的周期轨道进行了排序，这人便是 萨可夫斯基，1995年他曾到中国进行学术访问。萨可夫斯基序列中第一个是周期3，然后是 周期5，最后是周期4、周期2和周期1，中间有无穷多别的周期。

曾在洛斯阿拉莫斯国立实验室任职的费根鲍姆在研究周期倍化过程中，发现相邻分岔间距之 比收敛到一个不变的常数：

δ=lim_(n→∞)｜[a_n-a_(n-1)]/[a_(n+1)-a_n]｜ =4.669,201,609…

不仅仅对于逻辑斯蒂映射有这个常数，对于一维“单峰”映射，都能算出同一个常数 δ 来。这件事很重要，令非线性科学界为之一震，后来曾有人为此提议给费根鲍姆授诺贝尔奖 ，但未成功。原因不详，作者猜大概是:第一，严格说来这项成果属于数学而非物理科学, 而诺贝尔奖从不授予数学学科；第二,人们还未彻底搞清δ的含义、意义；第三,此 项建议在讨论过程中首先遭到非线性科学内部权威人士的激烈反对。此次未获奖，不等于以 后不能获奖，不过麻烦的是，非线性科学研究是集体奋斗的历史，我们一口气可以说出10个 、20个杰出科学家，但找出一个或者两个最杰出者，却让人犯难。如果把非线性科学与相对论、量子力学相比，这也是一个极大的区别。也许一人或者几人独创一门新科学(如相对论) 的时代一去不复返了。

分形

闪电、冲积扇、泥裂、冻豆腐、水系、晶簇、蜂窝石、小麦须根系、树冠、支气管、星 系、材料断口、小肠绒毛、大脑皮层……。想想它们的形状、结构!

每样东西都挨不上。但它们都是分形(fractal)，从分形眼光看，它们的确是一回事,都可统 一用分形理论描述。

分形是近20多年来科学前沿领域提出的一个非常重要的概念，具有极强的概括力和解释力。 分形理论是一种非常深刻、有价值、让人着迷的理论。

到1996年底为止，混沌(chaos,也译作“浑沌”)、分形和孤子(soliton，有时也称“孤波” (solitary wave))仍然是非线性科学(nonlinear science)中 最重要的三个概念。

就目前情况而言，在学科定位上，分形研究属于非线性科学。非线性科学是相对于线性科学而言的，非线性现象普遍存在，但很难研究，科学界现在刚刚 开始向非线性进军。

分形理论诞生于70年代中期，创始人是美国IBM的研究人员芒德勃罗 (B.B.Mandelbrot, 1924- ， FRACTAL@watson.ibm.com)，他1982年出 版的《大自然的分形几何学》 (The Fractal Geometry of Nature)是这一学科经典之作。

分形指具有多重自相似的对象，它可以是自然存在的，也可以是人造的。花椰菜、树木、山 川、云朵、脑电图、材料断口等都是典型的分形。如果您从未听说过“分形”，一时又很难搞清楚分形是什么，有一个简单迅捷的办法：去市 场买一个新鲜的菜花(花椰菜)，掰下一枝，切开，仔细观察，思考其组织结构。这就是分形 ! 好了，分形概念虽然极有价值，但它并不神秘，人人都能明白它的基本含义。

分形理论是一门交叉性的横断学科，从振动力学到流体力学、天文学和计算机图形学，从分 子生物学到生理学、生物形态学，从材料科学到地球科学、地理科学，从经济学到语言学、 社会学等等，无不闪现着分形的身影。分形理论已经对方法论和自然观产生强烈影响，从分 形的观点看世界，我们发现，这个世界是以分形的方式存在和演化着的世界。

引用分形这一学科当之无愧的领袖人物芒德勃罗的话，也许可 以使您很快进入状态：

分形理论有很强的解释能力，能说明大自然的许多形态发生和自组织过程，分形自相似原理 和分形迭代生成原理对于人们更好地认识世界起到了推动作用。分形图形生成技术也对传统 艺术造成了不小的冲击。但不能把一种科学理论任意夸大、玄学化。分形理论与所有其他科 学理论一样，决不是万能的。分形理论已走过轰轰烈烈的革命式发展时期，已进入平稳发展 过程。注意到其限度，不断创新，由分形引出的新科学才有生命力。

分数维数：从拓扑维到度量维

整数维数是整数，这还好理解，原来我们知道的整数维数是拓扑维数，只能取整数，维数表 示描述一个对象所需的独立变量的个数。在直线上确定一个点需要一个坐标，在平面上确定 一个点得用两个坐标，在三维空间中确定一个点得用三个坐标，等等。

除拓扑维数外，还有度量维数，它是从测量的角度定义的。原来的维数也可以从测量的角度 重新理解。为什么要发展测量维数的定义?其实维数概念并不是从天上掉下来的，都有“操 作”的成分，都可以从操作的角度说明。学过数学的人都知道，积分理论从黎曼积分发展到 勒贝格积分，就是因为引入了“测度”这一概念，这一举动克服了传统积分理论的许多缺陷 ，扩充了所研究的函数的范围和极限的意义。后来柯尔莫哥洛夫(A.N.Kolmogorov，1903-19 87)将勒贝格测度引入概率论，又为概率论奠定了坚实的基础。

分数维数并不神秘。我们首先说明，从测量的角度看，维数是可变的。看一个毛线团。从远处看，它是一个点：0维的，好比在广阔的银河系外宇宙空间看地球， 地球的大小可以忽略不计。再近一些，毛线团是三维的球，好比进入太阳系后，乘航天飞机 在太空沿地球轨道飞行。再近一些，贴近其表面，它是二维的球面，甚至二维的平面，这好 比我们站在旷野上环顾左右或者站在草原的小山丘上向四周眺望。再近一些，看一根毛线，它是一维的线。再细看，它是三维的柱体。再近一些，它又是二维 柱面或者二维平面。

再接近，看毛线上的纤维，它又是一维的。再近则又变成三维柱了……

所以说对象的维数是可以变化的，关键是我们从什么尺度去观察它、研究它，一旦尺度确定 了，对象的维数就确定了。反过来，不规定尺度，问一个对象的维数，其实很难回答。这正 如问海岸线的长度一样,只有告诉用什么样的刻尺去测量，才能得到明确的结果。

作为整数的拓扑维，在拓扑变换下是不变的，所以拓扑学也叫“橡皮几何”，拓扑空间可以 像橡皮一样任意拉伸，只要不发生粘连和撕断。对于分形对象，仍然可用拓扑变换来考察， 但也可以用别的更好的、更形象的办法考察。分形体有许多空洞，像冻豆腐一样，用空间充 填的办法测度它，是一个好主意。

从测量的角度重新理解维数概念，就会自然地得出分数维数的概念，实际上1919年豪斯道夫 已经作了这种推广。我们看一个例子。

一根线段L，它是一维的，取单位长度A，将它的线度(边长)扩大到原来 的三倍，看看能得到几个原始对象(单位长度为A的线段)。显然得到三个：

L→3L=3^1*L.

再看平面上的一个正方形P，边长为A，假设仍然将其线度(边长)扩大到 原来的三倍，则得到9个正方形：

P→9P=3^2*P.

对于三维空间上的正方体V，边长为A，假设仍然将其线度(边长)扩大到原来 的三倍，则得到27个立方体：

V→27V=3^3*V.

得到的总个数可以表达为关系：

M=B^d,

其中B指放大倍数，M是总个数，d相当于对象的维数。上式换一种写 法，就有：

d=logM/logB，

其中指数d相当于维数。

以上是从放大的角度看问题，还可以从反面理解：从“铺砌”的角度看，对于给定的对象， 用很小的单元块ε充填它，最后数一数所使用的小单元数目N。 改变ε的大小，自然会得到不同的N值，ε越小，得到的N显然越大 ，ε越大，得到的N就越小。将测到的结果在“双对数”坐标纸上标出来， 往往会得到一条直线，此直线的斜率的绝对值就是对象的维数d。用数学关系表达就 是：

d=lim(ε→0)logN(ε)/log(1/ε) =-lim(ε→0)logN(ε)/logε.

在双对数坐标纸上绘出数据点，进而看看数据是否呈直线关系，或者可以分解为几段直线, 然后求出直线的斜率，这个斜率的绝对值就代表维数。

这是最简单的“计盒维数”，现在已经有许多种维数计算公式，如容量维、柯尔莫哥洛夫维 、信息维、关联维、雷尼(A.Renyi)维等等。用得最多的是关联维。

谢尔宾斯基地毯

波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916年期间，为实变函数理论构造了几个典型的例子， 这些怪物常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢氏海绵”、“谢氏墓垛”。如今，几乎 任何一本讲分形的书都要提到这些例子。它们不但有趣，而且有助于形象地理解分形。

我们首先看谢氏三角形。取一个大的正三角形，即等边三角形。连接各边的中点，得到4个 完全相同的小正三角形，挖掉中间的一个，这是第一步。

然后将剩下的三个小正三角形按照上述办法各自取中点、各自分出4个小正三角形，去掉中 间的一个小正三角形，这是第二步。

依次类推，不断划分出小的正三角形，同时去掉中间的一个小正三角形。这就是谢氏三角形 的生成过程。数学家很关心当步数趋于无穷大时最后剩下了什么。的确，最后仍然剩下一些 东西。

直观上可以想像，最后得到的极限图形面积为零。设初始三角形面积为S，则第一步 完成后去掉的面积为1/4S。第二步完成后去掉的面积为1/4S+3×(1/4)^2 S。第三步完成后总共去掉的面积为1/4S+3×(1/4)^2S+3^2× (1/4)^3S。第n步后去掉的总面积为：

S_n(去掉)=S/4×［1+3/4+…+(3/4)^n-1］=S× ［1-(3/4)^n］

显然，当n→∞时，S_n(去掉)→S，即剩下的面积为零。读者朋友最 好拿一张纸，亲自试一试挖取三角形的过程，挖掉的部分涂黑，用不了几步，就会发现差不 多一片黑了。重要的是，在挖取操作中能够体会分形的生成过程：生成分形一点也不难，小 孩子也会做!

我们大多不是数学家，所以不必真的关心极限图形，观察前8步就足够了。实际上，无限精 度只是个理想，作为物理学工作者(大家都是广义的物理学工作者!)，接触的永远是有限世 界，更感兴趣的是有限到无限的过程。当步数n比较大时，我们就可以近似认为达到 了无穷。在几乎所有规则分形的生成过程中，n取20便足可以认为是∞了!

在挖取三角形的过程中，我们发现，每一步骤构造出的小三角形与整个三角形是相似的，特 别是当步数n较大时，相似性更是明显，有无穷多个相似，每一小三角形与任何其他 三角形也都是相似的。

上面是以正三角形说明的，那么换成一般的三角形是否可以呢?当然可以。如果最初选一个 非常一般的三角形，每次也取中点，去掉中间一个小三角形，最后得到的结论完全一样。那 么不用三角形是否可以呢?也当然可以。比如开始时取一个正方形，将它9等分，去掉中间一 个小正方形。以上都是在二维平面上操作，增加一维可以吗?当然可以。其实数学家就是这 样想问题的：不断推广，力求得到更一般性、更普适的结论。

实际上一大类规则分形都可以这样生成出来，这种过程具有一般性，并可以用几 套语言类似地表示出来：

分形=原形+生成元+迭代；
分形=公理+产生式+解释；
分形=初条件+输入+反馈；

现在已经接触了几种传统分形对象，它们的维数用传统概念去描述都很别扭，用分数维数 描述是一个好主意。对于规则的分形体，通常可用相似性维数代表它的分数维数。设对象可 以剖分为N个局部单元，每个单元以相似比β与整体相似，则对象的相似性 维数可以定义如下：

D=logN/log(1/β)=-logN/logβ

在具体计算时，也可以反过来理解：如果将分形对象的一部分(用S代表)的“线度” 放大1/β倍，对象放大了N倍(即出现了N个S)，则此分形的 相似性维数是D=-logN/logβ。 以柯赫雪花曲线为例，看其中的一 部分(以S记之)，由生成元可知，线度放大3倍，对象S放大了4倍(即出现了4 个S)，则柯赫雪花曲线的相似性维数为log4/log3=1.2618…。

丢勒正五边形分形维数D=log5/log(3+SQRT(5)/2)=1.672…
康托尔集分数维数D=log2/log3=0.6309…，
希尔伯特曲线分数维数D=log4/log2=2.0，
柯赫雪花曲线分数维数D=log4/log3=1.2618…，
柯赫岛边界线分数维数D=log18/log6=1.6131…，
柯赫十字岛分数维数D=log32/log8=1.666…，
谢尔宾斯基三角垫片分数维数D=log3/log2=1.585…，
谢尔宾斯基四方垫片分数维数D=log8/log3=1.8927…，
门格尔海绵分数维数D=log20/log3=2.7268….

我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规
则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。

一、分形几何与分形艺术
什么是分形几何？通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。什么是自相似呢？例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来
一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。分形几何揭示了世界的本
质，分形几何是真正描述大自然的几何学。

"分形"一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有"破碎"、"不规则"等含义。Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以
一种出人意料的方式构成自相似的结构（见图1）。Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。如果计算机的精度是不受限制的话，您可以无限地放大她的边界。图2、图3 就是将图1中两个矩形框区域放大后的图形。当你放大某个区域，它的结构
就在变化，展现出新的结构元素。这正如前面提到的"蜿蜒曲折的一段海岸线"，无论您怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的生活中是不存在的。所以说，Mandelbrot集合是向传统几何学的挑战。
三维Mandelbrot集
图 1 Mandelbrot集合

图 2 Mandelbrot集合局部放大

图 3 Mandelbrot集合局部放大

用数学方法对放大区域进行着色处理，这些区域就变成一幅幅精美的艺术图案，这些艺术图案人们称之为"分形艺术"。"分形艺术"以一种全新的艺术风格展示给人们，使人们认识到该艺术和传统艺术一样具有和谐、对称等特征的美学标准。这里值得一提的是对称特
征，分形的对称性即表现了传统几何的上下、左右及中心对称。同时她的自相似性又揭示了一种新的对称性，即画面的局部与更大范围的局部的对称，或说局部与整体的对称。这种对称不同于欧几里德几何的对称，而是大小比例的对称，即系统中的每一元素都反映
和含有整个系统的性质和信息。这一点与上面所讲的例子："一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息"，完全吻合。不管你是从科学的观点看还是从美学的观点看，她都是那么富有哲理，她是科学上的美和美学上的美的有机结合。

二、复平面中的神奇迭代

Mandelbrot集合是Mandelbrot在复平面中对简单的式子 Z <- Z^2 + C 进行迭代产生的图形。虽然式子和迭代运算都很简单，但是产生的图形出现那么丰富多样的形态及精细结构简直令人难以置信以至于不可思议。在传统几何学中难以找到如此简单的规律隐藏着如
此复杂而生动的例子。Mandelbrot集合告诉我们自然界中简单的行为可以导致复杂的结果。例如，大型团体操中每个人穿的衣服只有几种颜色中的一种，每个人的动作也只是导演规定的几种之一。但是整体上可以显示出多种多样的复杂形态。

Julia 集合

在复平面上，水平的轴线代表实数，垂直的轴线代表虚数。每个Julia集合（有无限多个点）都决定一个常数C，它是一个复数。现在您在复平面上任意取一个点，其值是复数Z。将其代入下面方程中进行反复迭代运算：

就是说，用旧的Z自乘再加上C后的结果作为新的Z。再把新的Z作为旧的Z，重复运算。 当你不停地做，你将最后得到的Z值有3种可能性：

1、Z值没有界限增加（趋向无穷）
2、Z值衰减（趋向于零）
3、Z值是变化的，即非1或非2

趋向无穷和趋向于零的点叫定常吸引子，很多点在定常吸引子处结束，被定常吸引子所吸引。非趋向无穷和趋向于零的点是"Julia集合"部分，也叫混沌吸引子。

问题是我们怎样才能让计算机知道哪一个点是定常吸引子还是"Julia集合"。一般按下述算法近似计算：

n=0;
while ((n++ < Nmax) && (( Real(Z)^2 + Imag(Z)^2) < Rmax))
{
Z=Z*Z+C;
}

其中：Nmax为最大迭代次数
Rmax为逃离界限

退出while循环有两种情况，第一种情况是：

(Real(Z)^2 + Imag(Z)^2) >= Rmax

属于这种情况的点相当于"1、Z值没有界限增加（趋向无穷）"，为定常吸引子,我们把这些区域着成白色。第二种情况是：

n >= Nmax

属于这种情况的点相当于"2、Z 值衰减（趋向于零）"或"3、Z 值是变化的"，我们把这些区域着成黑色。黑色区域图形的边界处即为
"Julia集合"。"Julia集合"有着极其复杂的形态和精细的结构。

黑白两色的图形艺术感染力不强。要想得到彩色图形，最简单的方法是用迭代返回值n来着颜色。要想获得较好的艺术效果，一般对n
做如下处理：

Red = n*Ar+Br;
Grn = n*Ag+Bg;
Blu = n*Ab+Bb;
if ((Red & 0x1FF) > 0xFF) Red = Red ^ 0xFF;
if ((Grn & 0x1FF) > 0xFF) Grn = Grn ^ 0xFF;
if ((Blu & 0x1FF) > 0xFF) Blu = Blu ^ 0xFF;

其中：Ar、Ag、Ab及Br、Bg、Bb为修正量

获得的Red、Grn、Blu为RGB三基色，着色效果为周期变化，具有较强的艺术感染力，而且等位线也蕴藏在周期变化的色彩之中。

你可以想象得出，在屏幕上顺序的试用每个像素点来反复迭代方程要花费很长的时间。一幅 1024x768 屏幕尺寸的画面有786432个点。
其中一些点在计算机上要反复迭代方程次数达1000次（取决于Nmax的取值）或更多次才放弃运算。 运算产生一幅Julia集合需要花费
很长的时间，有时需要产生一幅做海报用的大图像时，如 10240x7680，要花几天的时间。当然，你使用高速计算机会缩短这个时间
图 4、5、6是三幅Julia集合：

图 4 象尘埃一样的结构

图 5 稳定的固态型

图 6 象树枝状

Mandelbrot 集合

将Mandelbrot集合和Julia集合联系在一起，Julia集合有若干类型，都包含在Mandelbrot集合之中。Julia集合中的C是一个常量，而Mandelbrot集合的C是由进入迭代前的Z值而定。迭代结果，Z值同样有3种可能性，即：

1、Z值没有界限增加（趋向无穷）
2、Z值衰减（趋向于零）
3、Z值是变化的，即非1或非2

Mandelbrot集合是所有的朱莉娅集合的合并，Mandelbrot集合的某个区域放大后就是这个点的Julia集合。 Mandelbrot集合有着一些很异国情调并且古怪的形状（见图1）。你能不停地永远放大Mandelbrot集合，但是受到计算机精度的限制。

Newton/Nova 分形

Newton奠定了经典力学、光学和微积分学的基础。但是除了创造这些自然科学的基础学科外，他还建立了一些方法，这些方法虽然比不上整个学科那么有名，但已被证明直到今天还是非常有价值的。例如，牛顿建议用一个逼近方法求解一个方程的根。你猜测一个初
始点，然后使用函数的一阶导数，用切线逐渐逼近方程的根。如方程 Z^6 + 1 = 0有六个根，用牛顿的方法"猜测"复平面上各点最后趋向方程的那一个根，你就可以得到一个怪异的分形图形。和平常的Julia分形一样，你能永远放大下去，并有自相似性。 牛顿分形
图形中的颜色显示每个答案的种类及性质，即迭代到目的地花费的时间，如图7所示：

图7 Newton分形

Paul Derbyshire研究牛顿分形图形时，他把Julia集合的常值C加入进去改变了一下算法，并用同样的方法去估算Z，逼近答案，产生奇特的并称之为"Nova"的分形图形。"Nova"类型分形图形如图8所示：

图 8 Nova分形

三、关于分形艺术的争论

把计算机产生的图形看成是艺术，有人可能要提出一些疑问。这些图形可以利用高品质的打印机产生任意多幅同样质量的"原作"，从而在商业化的艺术市场上造成混乱，因此她没有收藏价值，没有收藏价值的作品还能算得上是艺术吗？

这是一个十分敏感的问题。早在六十年代初有些数学家和程序设计人员就开始利用计算机及绘图设备从事这方面的工作。但他们大部分人避免将自己的工作与"艺术"一词挂起钩来，以免与艺术界的人们发生冲突。但是有一些人还是挺着腰杆去面对批评，承认计算机
是视觉艺术的一种新工具，称他们自己的方法为"计算机艺术"。在批评面前，他们没有受到影响。他们不顾理论界的反对而继续自己的探索。他们积累了大量令人难忘的成果。正因为他们的努力才出现了今天的PhotoShop、Corel DRAW等等著名的软件， 以及各种计
算机艺术团体组织。PhotoShop也成了某些美术专业学生的必修课。

当今时代出现的充满科技含量的"分形艺术"又不同于运用PhotoShop从事的计算机艺术创作。 "分形艺术"是纯数学产物，是否能算得上艺术必然会引起新的争论。争论最活跃的问题是：分形图形是纯数学产物能算得上艺术吗？既然学习数学和程序设计就可以从事艺
术创作了，学习美术专业还有什么用处呢？

这个问题提的好。从事分形艺术创作的人要研究产生这些图形的数学算法，这些算法产生的图形是无限的。他们没有结束，你永远不能看见它的全部。你不断放大她们的局部，也许你可能正在发现前人没曾见到过的图案。这些图案可能是非常精彩的。她们与现实世
界相符合，从浩瀚广阔的宇宙空间到极精致的细节，是完全可以用数学结构来描述的。另一个的问题是颜色，好的颜色选择，就可以得到一幅奇妙的图形。糟糕的选择，你得到的就是垃圾。所以说，创造分形艺术，最好再学一点绘画基础、色彩学等，那将是大有益
处。

分形几何冲击着不同的学术领域，她在艺术领域显示出非凡的作用。创作精美的分形艺术是国内外分形艺术家们的人生追求，总有一天分形艺术会登上大雅艺术殿堂。