图(论)的基本群(诸多都可借助其在图论上的理论推广以及至高维的同伦群可参看哈佛大学丘成桐大师的博士顾险峰教授最近写的同伦群的计算以及相对同伦群，绝对同伦群，高阶同伦群等)
在本科拓扑学教材可能不讲同调论但基本上都讲基本群若再讲复叠空间(复叠复合形)那几乎就占教材的1/3，基本群在高维的推广就是同伦群,至今仍保持最年轻数学诺贝尔奖得主纪录的Jean-Pierre
Serre，就是因其在球面的前8个同伦群的计算结果获得了菲尔兹奖，并其后也从事其它好几个学科研究，同伦和同调是互相促进共同推进撑起代数拓扑的关键基石如可参考Jean
Pierre Serre著的Galois
Cohomology伽罗瓦上同调，Serre也是第一个数学三大奖菲尔兹奖,沃尔夫奖,阿贝尔奖都获得的人，法国科学院院士清华大学讲席教授Jean-Marc
Fontaine是Jean
Pierre Serre在巴黎十一大学指导的博士并留校任教（20世纪最伟大的数学家之一Vladimir
Arnold撰写的”有关布尔巴基学派的数学辩论”就是他和Jean
Pierre Serre的辩论，而布尔巴基学派可确认的第一人就是肯定和推荐海南琼州大学工作的吴院士的导师），这巴黎十一大学也极厉害,该校Pierre
René Deligne是数神格罗滕迪克的上同调博士-正如第一次听Grothendieck的演讲中G就多次用了"cohomology
object "这个词,毕业后也留校任教并成为第四个数学三大奖都获得的人，这个巴黎十一大学的2个师兄弟Philippe Gille和Tamás
Szamuely也合撰伽罗瓦上同调方面的Central
simple algebras and Galois cohomology；
同调这一概念起源于Riemann（1875）、Betti（1871）以及Poincaré（1895）关于拓扑的“同调数”的工作。并相应就可推广到上同调,即由闭链群Zq(C)=ker ¶q, 其元素称为C的q维闭链；C的q维边缘链群Bq(C):=im ¶q, 其元素称为C的q维边缘链。由于¶q.¶q+1=0，边缘链一定是闭链，即BqÌ ZqÌ Cq，其确定的商群Hq(C):= Zq(C)/Bq(C)就 称为C的q维同调群。相应地, q维上闭链群Zq(C)=ker dq, 其元素称为C的q维闭链；q维上边缘链群Bq(C):=im dq, 其元素称为C的q维边缘链。由于dq. dq-1=0，上边缘链一定是闭链，其确定的商群H q(C*):=Zq(C*)/Bq(C*)就称为C的q维上同调群。现在同调与上同调方面的书籍已不少，其实甚至一些国外内的拓扑学书籍如国内的江泽涵院士的《拓扑学引论》就足够打下基础,我以前曾购买了几乎国内外同调论方面的著名书籍，至于较专新些的可看最近季理真教授,刘克峰教授和他们的博士导师丘成桐教授合编的Cohomology of groups and algebraic K-theory群的上同调与代数K-理论(其中2篇是诺贝尔奖获得者Daniel Quillen独撰的, Quillen和下面诺贝尔奖得主Michael Freedman的师兄Dennis Sullivan共同创立有理同伦论) ，第二个数学三大奖都获得的人John Thompson的博士David John Benson也写了几本上同调的书。第三个数学三大奖都获得的人John Milnor的主要贡献在于微分拓扑、K-理论, 其中微分拓扑与代数拓扑特别是其上同调密切相关而从他的书和上面丘成桐等的书可知K-理论在代数拓扑中是一种异常上同调，也可参考海南琼州大学评论其最重要杂志论文的诺贝尔奖获得者Michael Freedman的导师美国两院士William Browder的著作Algebraic
topology and algebraic K-theory代数拓扑与代数k-理论，或参考英国皇家学会会长Michael Atiyah迈克尔·阿蒂亚的K-Theory(
K-理论)（我也有Atiyah会长的《交换代数导引》著作,可参考,他就缺个沃尔夫奖否则也是数学三大奖都获得的人）。讫今为止一共就只有四个数学三大奖都获得的人.
值得注意的是,图论与上同调群还是极其密切相关的好课题,如下面见还得到国家项目支持:
即南开大学郑弃冰最近主持”图论与李代数的上同调”的国家自然科学基金面上项目（李代数的上同调是Claude Chevalley和Samuel Eilenberg为了对紧李群的拓扑空间的上同调进行代数构造,把李群的上同调论代数简化，构成了李代数的上同调论，可参考这个海南琼大主编的杂志编委苏育才教授和年轻的叶郁教授指导的博士论文代数的Hochschild上同调及导出中心），郑弃冰在周学光独立指导下在1990年完成博士论文，但在美国数学评论见郑弃冰至今仅有9篇论文被收录评论,也可能是这领域不易,从他的论文这样少也主持国家基金可说明。最近,周学光的另一博士南开大学数学学院王向军教授应中国科学院大学数学科学学院的邀请开讲《同伦论基础》。南开大学林金坤的《拓扑学基础》也很不错，他们经常互有合作.