这页主要说海南琼州大学受欧洲的唯一评论杂志邀请评论的美国2个诺贝尔奖获得者在世界第一杂志发表的世界领导性重大论文。为此先说这相关的主要交叉学科--如仅在我国就如清华大学的百年清华报道“方锦清：攀登网络科学前沿高峰的领跑者”，这方锦清是多次应诺贝尔奖获得者普利高津邀请赴美国访问的，而方锦清教授一直在多篇重要文章多个报告中强调“图论作为网络科学的主要理论基石”，更强调:下面海南琼州大学在欧洲数学会评论诺贝尔奖得主的论文研究的2个学科-“统计力学与图论”已经成为网络科学的最重要的二个理论支柱或说“网络科学的两大主要理论基石是：图论与统计物理”，这学科之受重视也如主要从事统计物理的诺贝尔奖得主李政道为网络科学发来贺电以及亲笔题词（即海南琼州大学在欧洲数学会评论的诺贝尔奖得主的下面论文就是属于李政道大师的《统计力学》和图论的。虽然下段的是海南琼州大学在2007年在欧洲数学会才评论诺贝尔奖得主的这学科的标志性领导性工作，但这是阿东副省长兼任省地方志编委会副主任并主办的这里第18、19见《海南省地方志》把海南省第2个当选美国数学会评论员的却载入史册-即这海南第2个评论员是2008年才当选的-也就海南琼州大学2007年评论这2个诺贝尔奖得主的这学科领导性工作时除了琼大外的海南大学海南师大等全海南还没有一个人当选欧洲、美国评论员。而不仅是海南第一个欧洲数学会的评论员-海南琼州大学在2001年也已成为海南第一个美国数学会的评论员-即琼大更早就都已是海南第一个当选的欧洲以及美国的评论员--然而肯定的是不论如何都仍必定不仅一如既往地在中国唯一贫困重灾区的深山市啥好处都一点没份还更反而…然而这2008年之后已泛滥成灾了的都仍载入史册--而却2007年之前珍稀宝贵时的…就是下面评论论文也仍稍在泛滥成灾之前并如这里第26见创造出唯一的中国第一以及并列世界第一）：

关于这评论可看这里见Kewen Zhao (Hainan)(赵克文-海南)-即评论者，并看到被评论的美国2个诺贝尔奖获得者的论文的学科分类的前2个是Graph theory和Statistical mechanics(图论和统计力学)。并在这页第2行见是由3个机构European Mathematical Society(欧洲数学会)、世界最大…数据库以及世界最强Springer合办的《Zentralblatt MATH数学文摘》评论杂志（就如可见“《数学文摘》，1931年创刊,由施普林格出版公司在柏林出版,编辑部设在德国科学院和海德堡科学院。它是发刊最早的国际性文摘杂志,为数学文摘性刊物树立了榜样”，可见作为欧洲唯一世界第一个而受到欧洲很多最顶级的科学组织都想去沾光-当然是以前珍稀宝贵时）并它邀请海南省赵克文评论的论文的前2个作者：数学诺贝尔奖获得者即菲尔兹奖获得者Michael Freedman（此人还是这里世界最伟大理论的主要奠基人）、沃尔夫奖获得者兼国际数学联盟正主席László Lovász和第3作者世界顶级数学大师Alexander Schrijver共这3人合作的这领域最重要的世界领导性论文（前2作者下面再做介绍--第3作者Schrijver早在1986年就已和Peter Whittle大师同获L奖--这Whittle的博士Kingman在1985年是布里斯托尔大学校长/另一博士Kelly更早已获CBE -大英帝国司令勋章。当然Schrijver大师获得比这更大的奖很多)：即海南琼州大学评论Michael Freedman、László Lovász和Alexander Schrijver的这论文是发表在全球数学界世界第一杂志J. Amer. Math. Soc.的论文“Reflection positivity, rank connectivity, and homomorphism of graphs” ,20 (2007),1,37-51（为啥说世界第一杂志?看下面中科院大学校长席南华最近才成中国首次可能仍是至今中国唯一然而号称四大数学顶级杂志之首的Annals of Mathematics在这里见浙江大学女教授朱良璧、吉林大学王湘浩教授都发表2篇段学复教授1篇，就如见J. Amer. Math. Soc.是“季刊。每期发表不到10篇文章”如此JAMS每年仅发表约32篇论文是“最备受尊敬的杂志”都是发表世界最重大突破最重要进展的论文-比世界最顶级的《自然》《科学》杂志难发表多了）-此文可看JSTOR或美国数学会，海南评论的他们的这篇伟大论文在世界各国都很容易从很多渠道获得。关于海南评论的上面论文的第一作者Michael Freedman (弗里德曼)，1982年证明四维庞加莱猜想并发表在《微分几何杂志》上引起世界轰动而获得1986年数学诺贝尔奖-菲尔茨奖（也见这里第八段或这里倒数第二段）。庞加莱猜想是“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面”。它是拓扑学的问题--是为考察同伦下是否唯一，流形有组合流形、微分流形等，这庞加莱猜想考虑的是拓扑流形，它们许多有从属关系就可借鉴的共通之处--我国2个最国际化的数学大师陈省身和丘成桐作博士生时主要攻读的都是拓扑学名著，当然证明此猜想也用到黎曼流形等的理论方法技术（因久不接触微分几何和黎曼几何-而现评审所涉就摘其精彩的论断是为怀旧）。1980年已和陈省身大师合写“微分几何”的北京大学陈维桓教授最近的《黎曼几何引论》的“光滑映射”一节等专著中也说到上面我评论的诺贝尔奖得主Freedman的工作。最近，轰动全世界的佩雷尔曼证明三维庞加莱猜想而获得数学诺贝尔奖的理论技术方法等也主要来自于黎曼流形）；上面海南评论的论文的第二作者László Lovász是数学诺贝尔奖获得者并这里见车载斗量的成就荣誉特别是担任国际数学联盟正主席（数学界最重大的盛会是四年一届的会上颁发诺贝尔奖等很多重大奖项以及约20个最伟大数学家做的引领世界数学发展潮流的大报告及各分会报告的国际数学家大会并前一届仅3百多人参会但1950年突然是1700人参会规模极大后还有很多方面的需要如二战后世界各国数学与科学发展、大学不断增多变大、各数学领域层出无穷不断发展等等因而1950年就成立这国际数学联盟并由它主办如此主席也是四年一届，不过，现在信息越来越发达后获得数学各方面信息已越来越容易因而这联盟和这大会已变得不那么必要，但他担任主席时代那是…），还如百度见叶荫宇的主要成就只有冯·诺依曼理论奖一项，而这里做他是2009年第2获奖人的冯·诺依曼理论奖得主名单见这第2作者László Lovász与第3作者Alexander Schrijver是更早的2006年获奖人，而这奖的1997年和2008年获奖人分别是上面Peter Whittle和他的大英帝国司令勋章博士Kelly等等；第3作者Alexander Schrijver上面已简介（这后2作者都是我们图论界大师，可见这领域涉及不少学科难度跨度还是都较大，有些概念的理解如定理中的f_H=hom(.,H)从下面见也费精力，所以当评论员还是耗时费精力的事。上面说到了微分几何就再多说几句。因以前赚钱是资本主义道路就只有傻傻地学这2个数学大师皇帝而更重攻《微分几何》-因重视我是极端细致地认真去理解探究全书的每一个字的含意-教材的每一句话我都要反复看十几有的甚至几十遍以求不断深入理解每个字词的相关数学含意-绝不轻易放过,它是我收获几乎可以打100分满分的学科。迄今华人中只有微分几何之父嘉当的接班人陈省身大师和丘成桐获得数学的世界最高奖--他俩都是因《微分几何》的工作登上世界最高舞台。这里见诺贝尔奖得主丘成桐请陈省身当导师并半年多就获得博士学位且其学位论文和获最高奖的工作都是微分几何，而《微分几何》在我国最先是由我的导师钟集教授的导师兼岳父黄际遇教授在中国第一所大学天津北洋工学堂其后他到中山大学等都开创的数学系都亲自讲过微分几何。记得杨振宁在七十年代说他做的“规范场正是陈省身的纤维丛上的联络”，因而写了一首小诗说到“造化爱几何，欧高黎嘉陈”并说他和陈省身当年所爬的高山上面，还会有更高的境界。爱因斯坦更是运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论--广义相对论，而黎曼几何的核心要领也在张量，爱因斯坦流形就有诸多演绎）。下面是评论涉及学科的相关理论问题：

记J是所有无向图的集合，如果一个图参数f: J®R满足存在一个正整数k和一矢量aÎR₊^k和一对称矩阵bÎR^k´k使得对任何图GÎJ都有

f(G)= f_a,b (G):=å_f:V(G)®[k](Õ_vÎV(G) a_f(v))( Õ_uvÎE(G) b_f(u),f(v)) 其中[k]={1,2,…k}，则称f是划分函数。

图划分函数是从统计物理的发展需要引伸出来的（物理学家马红孺就说“在统计物理中，非理想气体的微扰论也是图论，配分函数就是买厄图的生成函数，自由能是连接图的生成函数，而热力势是不可约图的生成函数，李政道先生的《统计力学》把这一部分讲的非常精彩，可惜现在的大学，研究生的统计物理都不学这些，只算算第二位力系数就糊弄过去了”），[k]可以表达状态，如此每一函数f:V(G)®[k]给出图G的一个能允许的状态结构。a_i可当做点在状态i时的额外能量。如果å_ia_i=1，a_i可当做点在状态i时的概率，b_i,j可表示2个相邻点分别在状态i,j时的贡献给它们的边的能量。因此f_a,b(G)是对图G模型的一个划分。

程开甲,正则系综的分布函数

如果对每一状态i都有a_i=1和b是图H的邻接矩阵，则f_a,b(G)等于从图G到H的图同态的数量。如果H是k阶完全图时，则f_a,b(G)等于图G的点的适当的k阶染色的数量。

记S是有单位元的交换半群，对S的刻划就是实值积性函数。记f: S®R是一个凸性刻划的函数，其后，我们据此定义S´S矩阵M_f。类似地，f是一图参数，k是一个非负整数，我们规定矩阵M(f,k)_ij的第i行第j列处元素是f(G_iG_j)。因此M(f,k)一般是无限矩阵，我们把它称为参数f的关联矩阵。（我的理解是，做为一个无限矩阵，它有哪些性质呢？以前应学过一些但尚不足还需深入揭示，如哪些性质是起基本的深刻的作用呢？哪些对实质结构和关联起着决定性作用呢？同时，我利用它们是为了达到什么目呢？据此，我们首先研究它的二个对它的本质起决定性的：秩r(f,k)（rk(M(f,k))）和正半定性。其中r(f,k)是一个关于k的函数，我们把它称为参数f的秩连通性函数。

上面已给出图参数f的关联矩阵。现在再给出同态的关联矩阵：给定一个权图H=(a,B)。对各正整数k，记[k]={1,2,…k},对任何k标签图G和映射f：[k]® V(H)，

其后，记hom_f(G,H)=å_{j:V(G)®V(H), j是对f扩展}(a_j/a_f)hom_j (G,H)， 因此有 hom(G,H)=å _f:[k]®V(H) a_f hom_f (G,H)

文中还有很多概念也还没有见我国有中文翻译。好了，既然建立一学科，那么中心框架是什么？如何直捣核心？hom(.,H)居有什么战略地位？也就是hom(.,H)是怎样的f？下面定理是Freedman, Lovász和Schrijver的上面论文要说之枢纽（当然必会问是否有或如何去发现在统计物理、生物、信息和计算机等学科的相关领域有更紧密促进作用的参数？）：

定理：图参数f是定义在有重边但无环的图上的映射，对某阶为q的有限权图H，图参数f=f_H=hom(.,H)的充分必要条件是f是正半定的且对任何k≥0均有rk(f,k)≤q^k（我把他们论文中的Lemma 2.3和Theorem 2.4合为这定理。这是这篇论文的唯一结果，文中的命题2.1和命题2.2是为此所需的基本性质。本文的目的是在课题f下深入揭示和发展之，而hom(.,H)可说是一个承上启下的轴心-因此是关键的发现-如它是对f做半正定等关键限制。因此这个课题是否有更重要发展就主要看是否发现数学、统计物理、计算机甚至其它学科方面更著名的关联概念来限制它？当然也有其它方向途径的发展。关于这定理的证明，Lemma 2.3是容易证明的，第3节给出6个例解，第4节是Theorem 2.4的证明，看Freedman的证明见用6页多去证明它，可见有一定难度。关于其中的f_H=hom(.,H)只是在论文第2页的最后行规定它俩互为表示外，就一直没有见到它们的定义或就是稍为描述一下它们表达什么也没有见到，甚至在这定理之前只求见到它俩第二次也是奢望，因绝大多数研究者肯定没有见过这类图参数如此只有一头雾水了，另外它们跟着暂且称半群函数f而先图参数f承前启后出现也是大师思路。因此只有理解了定理前的内容及其内在联系,对它的联想才趋于明确和清晰）

其中第3节的最后2个例解是：第5例（Example 3.5）(有重边的情况)：举出这里传奇的数学大师Erdös和Rényi创建并已成为很多学科的重要基本理论的随机图模型H=G(n,P(边)=1/2)，并令每点的点权=1/n、每边的边权=1。说明这类情况的图参数f未必等于hom(.,H)。

第6例（Example 3.6）(同态的象是无限图的情况)：即类hom(G,H)的定义但把象H扩展到无限权图，其点权和边权都是收敛足够快的收敛数列，则其定义了一个图参数，可虽然M(f_H ,k)是正半定和对称的，但它的秩是无限的，因此这图参数不能用有限的H来表示。

更一般地，记a>0,I=[0, a],记W: I´I®R是可测函数，如此对每个正整数n均有 ò₀^aò₀^a|W(x,y)|ⁿdxdy < ¥

其后，记G是n点有限图，定义图参数f_W为f_W(G)=ò_{[0, a]}nÕ _ijÎE(G) W(x_i,x_j)dx_idx₂…dx_n。则不难知道对任意有限或无限权图H，f_H相对是其的特别情况。进一步地，不难知f_W是反射正的或说是正映象的. …

除了上面解释的概念外，说f是反射正的是指M(f,k)是对称的和半正定的，反之亦然；而半正定的、凸性集、凸性函数、凸性刻划函数、可测函数等等概念也都是大学里的基本概念，可参考“实变函数”等方面的书籍，如由这里第2、3封世界第一强校的最年轻院士福明柯于2004年和2005年给海南琼州大学的我的来信而促使我国高等教育出版社和国家天元基金合作出版或重新确定版权再版前苏联系列教材（我2005年给高等教育出版社张小萍写信，她2006年6月和郭思旭，赵天夫等就去世界第一数学强校--莫斯科大学并写的掠影中说福明柯院士是莫斯科大学数学力学系的科学院院士中当选年龄最轻的一位。其中包括出版世界第一数学家的《函数论与泛函分析初步》--它前几章的核心目的是为建立线性赋范和线性拓扑空间等之间的线性算子和之上线性泛函等，第五章等是为建立测度空间上的积分等，它们(泛函和实函)都是数学分析的进一步抽象化，因此，数分的性质是它们的基础，其后要把握线性赋范和拓扑、测度等各种空间的性质以及作用于它们的算子、函数或积分等，如此最好是把它们衔接并统一起来讲，能获得更立体的认识，而国内是分割讲特别是各大学都是先讲实变函数，因它们独立成体系如此这样做也并没有问题，但这与世界第一数学家宣传的“综合”统一思想完全相背，当然他的更系统深入全面的螺旋认识，要有充裕时间做保障。若要掌握更深入的相关理论概念可看海南琼州大学杂志编委Garabedian院士的师弟Royden的一直被哈佛大学等采用的研究生教材《实分析》

上面海南琼州大学评论的诺贝尔奖得主Freedman大师的关键奠基性论文发表在美国数学学会的J. Amer. Math. Soc.即JAMS上，这杂志可是全球数学界要求最高评审最严的杂志（这里第31页分析全球4大杂志并在主要的几方面它都是世界第一杂志），巧的是如在岗两院院士240人即院士数是世界最多的中国科学院大学常务校长席南华院士介绍他发表在海南省评论的前面论文之后的JAMS的论文仍是“中国大陆学者首次独立在JAMS上发表论文”

关于海南琼大评论的这学科之开创性奠基性，就如在2006年前在世界第一数学杂志J. Amer. Math. Soc.以及在美国计算机协会最权威的J. ACM没有图同态论文，但刚看到这2年已有好几篇，也足见之非常重要，但之后发表了不少，且这速度绝对称得上是奇迹！即看到这2个数学和计算机第一杂志这2年已发表如下论文：

Balázs Szegedy, Edge coloring models and reflection positivity. J. Amer. Math. Soc. 20 (2007), 969--988 pdf （这篇论文的参考文献都引用上面海南琼州大学评论的三个大师的开创奠基性论文并主要源于其工作即引用其甚多理论知识。刚刚竟见马云阿里巴巴发布全球范围内的数学比赛并也邀请到4个国外顶尖数学家指导-其中2人是上面大英帝国司令勋章得主Frank Kelly，和这论文的作者Balázs Szegedy）。另，毕业于牛津大学并在牛津大学和伦敦大学分别培养14和22个博士的Peter Cameron大师在他独著的这篇7页文章摘要说“a prelude to a study of the paper [1]”–即他为研究上面Lovasz主席等最初的这篇图同态论文而写的“Prelude-准备知识”，牛津和伦敦可都居世界前七，那做为英国组合数学主席、指导出如此多牛津高徒的权威--专为写…足见重视程度；做为权威的他读一篇论文还再需要7页准备知识…足见其难度）。

Hatami, Undecidability of linear inequalities in graph homomorphism densities. J. Amer. Math. Soc. 24 (2011), no. 2, 547--565. pdf

美国计算机协会（ACM）杂志J. ACM近年也发表如下图同态论文：Homomorphism preservation theorems. J. ACM 55 (2008), 3。pdf

On counting homomorphisms to directed acyclic graphs. J. ACM 54 (2007), Article No. 27, pp. 23。pdf；

The complexity of homomorphism and constraint satisfaction problems seen from the other side. J. ACM 54 (2007), no. 1。 pdf pdf

Finding a maximum matching in a sparse random graph in O(n) expected time. J. ACM 57 (2010), no. 4 。pdf；

还有上面台湾徐教授的导师Spencer等在《科学》发表的关于上面Erdös-Rényi模型工作； 哈佛PED和哈佛数学系3人在《自然》的工作，等等

统计力学方面，也可参考这页下部分等以及我多年前已有诺贝尔奖获得者杨振宁、李政道大师的老师王竹溪院士的《统计物理学导论》（学统计物理这门课要先掌握一定的热力学-很多教材把它们合写），我也有起点高一些的诺贝尔奖获得者李政道的《统计力学》-有可下载的文档下载+微盘，以及内容更多更广些的诺贝尔奖获得者朗道、栗弗席兹合写的《统计物理学》中文版1979年第4次印刷本（国内的统计物理学或统计力学等相关书籍都以这本为最主要参考书），数学之王希尔伯特的师弟也是教导过最多诺贝尔物理学奖得主的人Arnold Sommerfeld的《热力学与统计力学》， 以及他的博士即1945年诺贝尔物理学奖Wolfgang Pauli沃尔夫冈·泡利的物理学讲义4《统计力学》，Richard Feynman费曼的《统计力学》英文版下载，专讲非平衡态并更深远的诺奖得主Prigogine的《非平衡态统计力学》文档下载、微盘下载，获得诺贝尔物理学奖的女科学家Maria Mayer和其丈夫Joseph Mayer合撰的《Statistical Mechanics统计力学》，龚昌德的《热力学与统计物理》文档下载，当然被誉为中国物理学之父又是杨振宁和李政道的恩师的吴大猷的《热力学，气体运动论及统计力学》也是国内的基石性著作，钟云霄的《热力学与统计物理》文档下载、苏汝铿的《统计物理学》微盘下载+文档下载、林宗涵的《热力学与统计物理学》文档下载、微盘下载，也有F. Reif的《统计物理学》、汪志诚的《热力学统计物理》，也可看上面方锦清教授等翻译的R. K. Pathria的《统计力学》-这有第三版英文版，等。还可参考“与统计力学模型相关的图不变量：实例和问题”等论文。最近的文献可参考欧阳钟灿院士的3个博士的论文：统计物理的重要领域-“自旋玻璃理论及其在组合优化问题中的应用”和刚再见的“统计物理在组合优化问题中的应用”-豆丁下载，“蛋白质折叠，深度学习与逆增强学习中的统计物理”，可看上面马红孺教授的热力学统计物理-视频。 Joseph Edward Mayer百度搜索，Equilibrium statistical mechanics道客巴巴下载（关于这学科，中国第一个诺贝尔奖得主李政道院士写《统计力学》，而另一中国第一个诺贝尔奖得主杨振宁做硕士研究生的导师就是王竹溪先生，杨振宁的硕士论文是统计物理方面的，后来在统计物理方面也有很大的贡献）

最近,主要跟着诺贝尔奖获得者Michael Freedman、国际数学联盟主席L. Lovász等的工作已有多篇论文在世界四大超一流数学杂志JAMS、Ann. Math.、Acta Math.、Invent. Math.发表（包括年轻的Asaf Nachmias，以及其导师Yuval Peres和许多师兄弟也在四大超一流数学杂志发表相关论文。姜铁峰教授的导师Amir Dembo和部分师兄弟也在四大超一流数学杂志发表相关论文）。王竹溪等,十年来的中国物理学中主要说的5个学科中的第4和第5就是这里我百次去学习的冯秉铨教授的无线电和声学,