因哈密尔顿图的(一般图)非常不容易、虽若干特殊图也非常著名，但最名垂青史是一般图，如此重点简介一般图(赵克文的色数、连通性、荫度、生成树，化学能量，组合矩阵，吴文俊院士推荐的集论等的工作另外简介)。另，哈密尔顿图在图论中的份量，看第五段

数学诺贝尔奖获得者、国际数学联盟主席Lovász院士最近在Bull. Amer. Math. Soc（即《美国数学学会公报》，此刊和美国数学学会同在1888年创立）所写的“Graph minor theory”一文（即下面参考文献[22]）第79页中说“The linkage problem is very important in many applications: it plays a crucial role in VLSI design”（即Linkages在VLSI设计中起到决定性和关键性的作用）

关于VLSI，即超大规模集成电路， 国家863计划集成电路设计专家组组长严晓浪，把集成电路比喻成信息产业乃至整个国民经济的‘心脏’和‘倍增器’。但国内在这方面的工作非常少，关于国内专家的工作确实仅查到洪渊教授最近在Discrete Math.发表的一篇论文，他用minor刻划谱半径和最小特征值。可见minor不仅可刻划“linkage”（k-Linked 和H-linked）、嵌入、色数等，在刻划重要的谱半径等也发挥作用。从linkage望文生义就知道它与哈密尔顿图特别密切

因此，研究linkage和哈密尔顿图就显得具有更大的理论分析意义和实际应用价值。

一. 哈密尔顿图的若干核心方向

近二十年来，度型条件和邻域并型条件不疑是研究圈拓扑结构图的最得力条件，已出现的一些条件虽好但和这两类条件相比因其作用的局限及不能更深入探索哈密顿图的性质而得不到广泛的关注研究，大多条件也难登大雅之堂。不论如何，各类条件的出现，才进一步升华归纳、优化和发展，这方面的工作前赴后继，不进则退，使此学科不断达到新的世界高峰。

Gould RJ在1991和2003年的两篇哈密顿图综述文章（即参考文献[15][16]。若不引起混淆，把“参考文献”简说为“文”）被公认是圈结构图最全面的概论（至今在图论组合类杂志发表的综论整个哈密顿图的综述文章只有这两篇），也是本领域被引用最多的综述文章（如全国前四批四本研究生教材之一的图论也引用如此专的论文）。Gould RJ在其综述文章第一段引言均说“哈密顿图问题起源于1850年代。当今已有许许多多论文处理这问题和相关问题，它们提供给我们许多新结果，也提供许多进一步的新问题”。“这学科有四个基本结果，在很多方面，这四个结果是当今大量工作的基础”。

下面分别概述度型条件和邻域并条件研究哈密尔顿图、哈密尔顿连通、泛圈图、点泛圈图、泛连通图的概况。

1．哈密尔顿图（有哈密尔顿圈的图）

1.1：哈密尔顿图的度型条件等

Gould RJ教授上面所说“四个基本结果”就是下面前四个定理： www.qzuss.com/hp.htm

1952年伦敦大学Dirac在文[9]得到著名的度条件：

定理1.1.1(Dirac,1952[9]):n阶图G的每点x的d(x)≥n/2，则G是哈密尔顿图。

1960年耶鲁大学Ore在文[25]推广上面条件为：

定理1.1.2(Ore,1960[25]):n阶图G的不相邻的任意两点x,y均有d(x)+d(y)≥n，则G是哈密尔顿图。

1972年Erdös和Chvátal在文[8]得到：

定理1.1.3(Erdös, Chvátal,1972[8]) :若连通图G的独立数a≤连通度k，则G是哈密尔顿图。

1976年Bondy和Chvátal在文[4]建立闭包理论：

定理1.1.4(Bondy,Chvátal,1976[4]):若n阶图G的不相邻两点u,v有d(u)+d(v)≥n，则G和G+uv同哈密尔顿性。

1984年范更华教授在文[10]推广前两个条件，得到名垂青史的范定理：

定理1.1.5(Fan,1984[10]) :2连通n阶图G的距离是2的任意两点x,y均有max{d(x),d(y)}≥n/2，则G是哈密尔顿图。

1996年乔治亚州立大学计算机系特聘教授陈 冠涛教授和《图论》编委Egawa教授、《图论与组合》杂志执行编委Saito教授等人在文[6]再把Fan型条件从2点推广到k点。

定理1.1.6(Chen et al,1996[6]):k连通n阶图G的任一含距离是2的两点x,y的k个独立点组成的点集S，若有max{d(v):v∈S}≥n/2,则G是哈密尔顿图。

2007年，赵克文、赖,宏建教授和美籍专家邵教授等在Appl. Math. Lett.（文[35]）推广上面所有条件，得到：

定理1（赵克文，赖宏建等，2007[35]）：k连通n阶图G的任一含满足1≤|N(x)ÇN(y)|≤α-1的两点x,y的k个独立点组成的点集S，若有max{d(v):v∈S}≥n/2,则G是哈密尔顿图。

即，把Gould RJ教授的综述文章中所说的‘当今大量工作基础’的“这四个基本结果”及范定理等推进到新的世界先进水平，已被一些专家认为“这可能是一个极限结果，今后改进这条件的新条件，可能都有非哈密尔顿图”。

1.2：哈密尔顿图的邻域并型条件

哈密尔顿图的另一重要条件-邻域并型条件最先是由Faudree RJ，Gould RJ以及Jacobson MS、Schelp RH和Lesniak L等考虑的。

1989年Faudree RJ、Gould RJ、Jacobson MS和Schelp RH得到邻域并条件：

定理1.2.1(Faudree，Gould等,1989[11])：若2连通n阶图G的不相邻的任意两点x,y均有|N(x)ÈN(y)|≥(n-2)/3，则G是哈密尔顿图。

1991年Bauer、范,更华教授等把上面的界改进到|N(x)ÈN(y)|≥(n-3)/3。

定理1.2.2(Bauer，范,更华等,1991[1])：若2连通n阶图G的不相邻的任意两点x,y均有|N(x)ÈN(y)|≥(n-3)/3,，则G是哈密尔顿图。

1991年Faudree RJ、Gould RJ、Jacobson MS等考虑含参数δ的邻域并条件：

定理1.2.3(Faudree，Gould 等1991[12])：若2连通n阶图G的不相邻的任意两点x,y均有|N(x)ÈN(y)|≥n-δ，则G是哈密尔顿图。

1994年宋,增民和张,克民教授改进上面条件：

定理1.2.4（宋增民，张克民，1994[31]）：G是独立数为α的k连通n≥3阶图，对图G的任一恰有k+1的点的独立点集S，若满足下列条件之一，则G是哈密尔顿图

(i)存在u,vÎS,使d(u)+d(v)≥n或|N(u)ÇN(v)|≥a;

(ii) 对S中任意两点u,v,均有|N(u)ÈN(v)|≥n-△(S)。

现在，赵克文和Gould RJ等再改进宋增民和张克民的结果以及上面条件：

定理2（赵克文、Gould等，[待发表]）：G是独立数为a的k连通n≥3阶图，对图G的任一含距离是2的两点的恰有k+1的点的独立点集S，若满足下列条件之一，则G是哈密尔顿图

(i)存在u,vÎS,使d(u)+d(v)≥n或|N(u)ÇN(v)|≥a;

(ii)对S中任意两点u,v,均有|N(u)ÈN(v)|≥n-△(S)

2006年，赵克文和Gould RJ教授考虑3连通图，得到一个新的极限条件[18]，发表在SCI核心杂志Arkiv Mate2006年第2期（见Gould RJ教授的个人主页）。Arkiv Mate创刊于1903年，每年只出版两期，近20年来，每年的论文都没有超过25篇。淘汰比例较高，如在排名第一的中国数学会副理事长的个人网页见 把此杂志论文列在他所有论文的第一篇。这篇论文按作者字母序他是第二作者。

最近，赵克文、赖,宏建教授和美籍专家邵教授以及张莉莉老师等合作的一个这方向的更深刻的结果将在北美Ars Combin.发表（见赖教授的网页）

2、哈密尔顿连通性

这里有部分哈密顿图连通图的工作

3、泛圈性、点泛圈性和泛连通性

3.1：泛圈性、点泛圈性和泛连通性的度型条件

1971年Bondy,最先考虑上面耶鲁大学Ore教授得到的Ore型条件下的泛圈性：

定理3.1.1( Bondy,1971[3]):n阶图G的不相邻的任意两点x,y均有d(x)+d(y)≥n，则G是泛圈图或G≌K_n/2,_n/2。

1974年，美国孟菲斯大学校长Faudree RJ和Schelp RH研究d(x)+d(y)≥n+1的泛连通性

定理3.1.2(Faudree，Schelp,1974[13]):n阶图G的不相邻的任意两点x,y均有d(x)+d(y)≥n+1，则G是[5，n]泛连通图。

1984年北Dakota大学博士蔡小涛改进上面两个结果，在《中国科学》（英文版第 7期684—694页；中文版第2期96-106页.）发表“论Ore图的泛连通性”一文（正如这里说的搞清了Ore图的泛连通性）。

但因蔡小涛的此证明长达十页，而且他的方法不能解决的部分，他另借用Harary的《图论》一书九页图解才解决的结果。

因此，赵克文2001年在《南开大学学报》第4期用一页半就给出蔡小涛要共用近二十页证明的结果的一个简短证明。

3.2：泛圈性、点泛圈性和泛连通性的邻域并型条件

泛圈性的邻域并型条件

在邻域并型条件含参数δ的方向

2000年赵克文在《哈尔滨工业大学学报》第6期.得到类似上面1971年Bondy得到的泛圈图结论的邻域并条件结果（此结果是本人1993年的硕士学位论文的部分结果）：

定理3.2.1(赵克文，2000)：若2连通n≥6阶图G的距离是2的任意两点x,y均有|N(x)ÈN(y)|≥n-δ，则G是泛圈图或G≌K_n/2,_n/2。

我们的这定理把1991年Faudree RJ、Gould RJ等人的定理1.2.3和巴西尹家洪教授的距离是2的哈密顿图结果推广到泛圈图

其后，徐军教授2001年在《应用数学学报》第2期发表不相邻的两点的结果“设G是一个n-阶2-连通图且δ(G)≥t,若对于G的任意两个不相邻的点u和v,均有|N(u)∪N(v)|≥n-t成立,则G是一个泛圈图或G≌K_n/2,_n/2”。

伍玮等人2006年在《南京师大学报》第2期再得到距离是2的两点的结果“设G是一个n-阶2-连通图且δ(G)≥t,若对于G的距离是2的任意两点u和v,均有|N(u)∪N(v)|≥n-t成立,则G是一个泛圈图或G≌K_n/2,_n/2”，

显然，上面2001年徐军和2006年伍玮等人的定理都被赵克文2000年的定理3.2.1所包含。即，很显然由定理3.2.1可直接推出这两个结果。

在邻域并型条件不含参数的方向

1991年Faudree RJ、Gould RJ、Jacobson MS和Lesniak L得到：

定理3.2.2(Faudree、Gould等,1991[12])：若2连通n（n≥19）阶图G的不相邻的任意两点x,y均有|N(x)ÈN(y)|≥(n+5)/3，则G是泛圈图。

1992年赵克文的硕士学位论文中的结果大约是“n≥16和|N(x)ÈN(y)|≥(n+4)/3，则G是泛圈图”，它在北京召开的中-美图论会议上报告和被世界科学出版社出版的论文集收录（Combinatorics, graph theory, algorithms and applications (Beijing, 1993), 233--240, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1994），此结果虽只稍微改进Faudree RJ等人的上面定理3.2.2，但也许Faudree RJ等人用了近十页才能证明他们的结果，感到不容易。所以，Faudree RJ教授接受美国《数学评论》评论我们的此结果 (96b:05093)。

非常不容易和非常幸运的是，经过多年的研究，赵克文在2000年南京师范大学召开的《图论及其应用国际研讨会》论文集第35页中终于完全解决此问题：

定理3.2.3(赵克文,2000)：若2连通n（n≥10）阶图G的不相邻的任意两点x,y均有|N(x)ÈN(y)|≥(n-3)/3，则G是泛圈图。并也解决3≤n≤10的情况。

至此，彻底解决此问题。即把上面1991年Bauer等的哈密顿图条件推广到泛圈图。

点泛圈性的邻域并型条件

1991年Faudree RJ、Gould RJ、Jacobson MS和Lesniak L提出猜想：

猜想3.2.4(Faudree、Gould 等，1991[12])：若2连通n阶图G的不相邻的任意两点x,y均有|N(x)ÈN(y)|≥n-δ+1，则G是点泛圈图。

1991年在南京大学召开的全国图论专题讨论会的论文集（《南京大学学报》27卷图论专辑“问题研究”篇中，宋增民教授把此猜想列在他提供的三个猜想之首。

1995年，赵克文等最先证明此猜想（发表在Australas. J. Combin. 12 (1995), 81-91）。

其后，也有一些论文再证明此猜想，如武汉理工大学理学院副院长、博士导师肖新平教授2000年发表的“Faudree猜想与Hamilton性”一文就是证明此猜想。

2001年赵克文在《吉林大学学报 》第1期进一步得到改进的新条件|N(x)ÈN(y)|≥n-δ的点泛圈性。其后有论文在Ars Combin.等也发表“|N(x)ÈN(y)|≥n-δ的点泛圈性”，但都是在我们发表之后的结果。

最近，赵克文、赖教授和周博士合作的一个主流方向的深刻结果已被欧洲SCI权威杂志Math Achiv接受（见赖教授的网页）

泛连通性的邻域并型条件

1998年，现在密西西比大学的卫兵教授和朱,永津老师得到：

定理3.2.5(卫兵，朱永津1998[34])：若3连通n阶图G的不相邻的任意两点x,y均有|N(x)ÈN(y)|≥n-δ+1，则G是[7，n]泛连通图。

卫兵和朱永津老师并猜想：“在此条件下，G是[6，n]泛连通图”。

赵克文、赖,宏建和美籍专家邵博士等进一步研究到距离是2的情况，得到的部分结果是：

定理3.2.6(赵克文，赖,虹建等，[待发表])：若3连通n阶图G的距离是2的任意两点x,y均有|N(x)ÈN(y)|≥n-δ+1，则G是[6，n]泛连通图。

这定理3.2.6也直接推出卫兵和朱,永津老师的上面猜想

上面是一般图的哈密顿圈、泛圈图、泛连通图等方向在近二十年来最受重视的度型条件和邻域并型条件的进展概况和“国内外研究现状分析”。当然各类特殊限制图如无爪图、坚韧图、正则图、偶图、线图以及具有良好网络性能的更特殊图等也有很多进展，但本项目主要研究内容是一般图，也把特殊图中很重要的无爪图部分问题做为特例。

附§：一类重要的特殊图-无爪图

中科院刘,振宏教授和李明楚教授等在1991年南京大学召开的全国图论专题讨讨会的论文集（《南京大学学报》27卷图论专辑）的无爪图综述文章中说“由于要给出一个一般图具有Hamilton圈的充分条件是一件非常不容易的事，因而…无爪图等等，然后分别地对各类图进行研究”。如此，除了一般图，我们也对无爪图等做一些研究：

1984年Matthews和Sumner提出无爪图猜想：

猜想§1 (Matthews，Sumner，1984[23]):每个4连通无爪图都是哈密顿图。

1986年Thomassen提出线图猜想：

猜想§2(Thomassen,1986[33]):每个4连通线图都是哈密顿图。

1997年Ryjácek证明上面两个猜想等价，并证明7连通时猜想正确：

定理§3 (Ryjácek，1997[26]) :猜想§1和猜想§2等价.。

结论4：3连通 essentially 11连通线图是哈密顿图。

2006年，赖,宏建教授等在文[20]证明Kuipers 和Veldman的猜想：

定理§5 (Kuipers and Veldman, 1998) :最小度d(G)≥(n+6)/10的n 阶3连通无爪图，当阶n很大时，G是哈密顿图。

Gould RJ教授1991年的哈密顿图综述文章[15]的第137页列出无爪图猜想：

定理§6：若3连通n≥3阶无爪图G的不相邻的任两点x、y均有|N(x)ÈN(y)|≥(2n-6)/3，则G是哈密顿图。

已有许多改进此猜想的结果。现在，赵克文和赖教授等结合限制条件1≤|N(x)ÇN(y)|≤α-1，得到：

定理（赵克文，赖虹建等[待发表]）:若3连通n≥3阶无爪图G的满足1≤|N(x)ÇN(y)|≤α-1的不相邻的任两点x、y均有|N(x)ÈN(y)|≥(2n-6)/3，则G是哈密顿图。

未解决问题：

上面Matthews和Sumner的猜想至今只解决到7连通图，也结合essentially 11连通和最小度等参数得到一些结果。

关于无爪图，1997年Masaryk大学校长Ryjácek 在文[26]定义图G的closure（cl(G)）。并已知“G是哈密顿图当且仅当cl(G)是哈密顿图”，但对泛圈图就不成立，因此，是待解决的问题。

最近， Ryjácek等人在尚待发表的文[28]得到存在cl(G)是完全图的无限多个无爪图G均不含长度是某常数的圈，并确信他们2001年在文[27]提出的下面猜想正确：

猜想§7（Ryjácek等[27][28] ):对常数c，则当n充分大时，cl(G)是完全图的n阶无爪图G有长为n-c到n的圈 （[28]待发表）

猜想§8（Ryjácek等[28] [待发表] ):cl(G)是完全图的6连通无爪图G是泛圈图.

1999年Bollobás等借鉴cl(G)思想提出cl_k(G)(Discrete Math. 195 (1999), 1-3),并提出猜想“对无爪图G，G是哈密顿连通图当且仅当cl₂(G)是哈密顿连通图”。这猜想对迹成立。这方面的论文虽不多，但几乎都发表在《组合数学杂志B》《图论杂志》和《离散数学》。

最近，颜谨教授、赵克文、赖教授和周博士等合作也搞s-H图问题，已被北美的Ars Combin.录用（见赖教授的网页）

二、图linkage的度型条件、邻域并型条件和minors条件

定义1：H是有重边的无向图，图G的H-subdivision是一对映射f₁:V(H)→V(G), f₂:E(H) →G的路集，且满足 (i) :f₁是单射；(ii):对H的每边xy，f₂(xy)是f₁(x)- f₁(y)-路，且H的不同边的像是不交的路。

定义2：对每个单射f₁:V(H)→V(G)都能延伸出G中的H-subdivision，则称图G是H-linked

国际数学联盟主席Lovász最近在Bull. Amer. Math. Soc（即1888年创刊的《美国数学学会公报》）的标题为“Graph minor theory”的概述文章[22]第79页中说

“Linkages are “linked” to graph minors in a number of ways. To illustrate the idea, let us first consider a graph G that is k-linked. Let H be a graph with k edges. Then we can find a homeomorphic copy of H in G by first mapping the nodes of H arbitrarily, specifying the edges through which the connecting paths should start, and then solving a linkage problem to map the edges of H onto paths in G.

In the other direction, Robertson and Seymour [22] proved that if a graph is 2k-connected

and has a K_3k minor, then the graph is k-linked. Extending these ideas, Bollobás and Thomason [4] proved that every (22k)-connected graph is k-linked. For more on this connection, see [5].”

上面这段话是我一字不变地复制Lovász主席的原话。从“Linkages are “linked” to graph minors in a number of ways”和提供的这三个参考文献等，可知“minor”是刻划“linked” 等的非常得力的图特征。

Lovász主席上面一共只说到3篇论文：其中第1篇是Robertson 和Seymour的下面参考文献[29]一文“Graph minors. XIII. The disjoint paths problem”（这里“第三个是四色猜想”说的几个名垂青史的主角中有他们俩）。他们在这领域工作了二十余年，取得了相当多重要结果。如无K₅ minors的图是四色的。这也是水到渠成地成全他们证明上面四色猜想的主要基础。又如Mohar在Notices Amer. Math. Soc（美国数学会的会刊）的仅两页的论文“What is graph minor”[24]中说Robertson 和Seymour在文[30]解决了重要的Wagner猜想“有限图为元素的每个无限集，都有两个元素，一个是另一个的minor”，就是说他们证明这样的集对图minor关系是well-quasi-ordered。他们也考查Hadwiger猜想“每k色图有一K_k -minor”的k=6的情况，并知道此情况相当于四色定理。最近除了k=7的一些特例， k≥7基本上还未解决）

Lovász主席说的第2篇论文是Bollobás和JCT主编Thomason 的“Highly linked graphs”[2]。

Lovász主席说“For more on this connection, see [5].”的这第3篇论文是美国乔治亚州大学计算机系特聘教授陈,冠涛和Gould RJ教授等2005年发表的标题为“Graph minors and linkages”一文[7]（我跟着陈,冠涛教授做了不少工作，这里可找到一部分，几年前陈教授曾给我来信说“你在NC的工作非常不错”，并提供一些前沿的核心问题给我和他们合作）

陈教授和Gould RJ等的论文（即本申请书的文[7]）得到Lovász主席欣赏地说“For more on this connection, see [5]”，可见非常有价值，也是此课题的引领性论文。他们在文[7]得到几个结果，并提出几个尚未解决的猜想：

猜想1：边数至少是6n−20的n阶图G有K^-- ₉-Minor。

猜想2：边数至少是(13n−47)/2的n阶图G有K^-₉-Minor。

猜想3：有K^-- ₉ –Minor的6连通图是3-linked。

猜想4 ：8连通图是3-linked。

其中,K^-- ₉ =K^- ₉−e= K₉−2e。从前两个猜想可知用邻域并等结合一些重要参数可能也更精确地刻划Minor等，Minor又可刻划 “linkage”（ k-Linked 和H-linked）。

最近，《图论杂志》编委、乔治亚理工学院Thomas教授等在文[32]中得到：

定理 5 ：边数至少是5n−14的n阶6连通图是3-linked。

推论：10连通图是3-linked。（待出版）

从Thomas教授的推论到未解决的猜想4，显然还有很长的路要走。上面其它猜想也如此。因此，本课题的一些重要方向不仅尚处初级阶段，且有非常大的价值空间。

关于定义1和定义2，Gould RJ教授等的最近的几篇相关文章中均说直到最近才由Emory大学和伊利诺斯大学的相关人员研究H-linked问题。Gould RJ教授说的这些人员是Emory大学的他和他的三个博士M. Ferrara, G. Tansey 和T. Whalen，以及伊利诺斯大学Kostochka教授。

Gould RJ教授等人的几篇H-linked的论文[14][17][19]中均说H-linked推广k-Linked、k-连通、k-ordered以及圈、路性质等。可见，这是一个非常有力的图论工具。Lovász主席在Bull. Amer. Math. Soc的论文说“Linkages在VLSI 设计中起到crucial role”，这是我们集中精兵强将主攻此领域的动力。

关于Gould RJ等研究的H-linked，他们目前只用初步的度型条件来刻划。而从上面看到对度型条件和邻域并型条件的研究方面，我们在世界上也算是掌握得最全面、最深远的。

参考文献

[1] Bauer D; Fan Genghua et al, Hamiltonian properties of graphs with large neighborhood unions. Discrete Math. 96 (1991), no. 1, 33--49.

[2] Bollobás B，Thomason A, Highly linked graphs. Combinatorica 16 (1996), no. 3, 313—320

[3] Bondy JA. Pancyclic graphs. I. J. Combinatorial Theory Ser. B 11 1971 80--84.

[4] Bondy JA, Chvátal V, A method in graph theory, Discrete Math.15(1976),111-135.

[5] Cai Xiaotao. On the panconnectivity of Ore graphs. Sci. Sinica Ser. A 27 (1984), no. 7, 684--694.

[6] Chen Guantao, Egawa Y et al, Essential independent set and Hamilton cycles, J.Graph Theory 21(1996) 243-250.

[7] Chen Guantao, Gould RJ et al, Graph minors and linkages. J. Graph Theory 49 (2005), no. 1, 75--91.

[8] Chvátal V, Erdös P, A note on Hamiltonian circuits, Discrete Math. 2（1972）111-113..

[9] Dirac GA, Some theorems on abstract graphs, Proc. London Math.Soc.2 (1952) 69-81.

[10] Fan Genghua, New sufficient conditions for cycles in graphs, J.Combin.Theory Ser.B 37（1984）221-227

[11] Faudree, RJ, Gould RJ et al,. Neighborhood unions and Hamiltonian properties in graphs. J. Combin. Theory Ser. B 47 (1989), no. 1, 1--9.

[12] Faudree RJ, Gould RJ et al, Neighborhood unions and highly Hamiltonian graphs. Ars Combin. 31 (1991), 139--148.

[13] Faudree RJ, Schelp RH, Path connected graphs. Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 25 (1974), 313--319.

[14] Ferrara M, Gould RJ; Tansey G and Whalen T, On H-linked graphs. Graphs Combin. 22 (2006), no. 2, 217--224.

[15] Gould RJ, Updating the Hamiltonian problem—A survey, J.Graph Theory 2（1991）121-157.

[16] Gould RJ, Advances on the Hamiltonian problem—A survey, Graph and Combin. 19（2003）7-52.

[17] Gould RJ, Kostochka A,Yu Gexin, A lower bound for minimum degreee in H-linked graphs,   SIAM J. on Discrete Math , 20 (2006),4: 829-840.

[18] Kewen Zhao(赵克文), Gould RJ, A new sufficient condition for Hamiltonian graphs Arkiv Mate 44（2006），2：299-308

[19] Kostochka A, Yu Gexin, An extremal problem for H-linked graphs. J. Graph Theory, 50 (2005),4: 321-339.

[20] Lai Hong-Jian, Shao Yehong, Zhan Mingquan, Hamiltonicity in 3-connected Claw-Free Graphs J. Combin.Theory, B, 96 (2006) 493-504.

[21] Lai Hong-Jian, Shao Yehong, Wu Hehui, Zhou Ju, Every 3-connected, essentially 11-connected line graph is Hamiltonian, J. Combin.Theory, B, 96 (2006) 571-576.

[22] Lovász L, Graph minor theory. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 43 (2006), no. 1, 75--86

[23] Matthews MM, Sumner DP, Hamiltonian results in K1,3-free graphs, J. Graph Theory, 8( 1984)139-146.

[24] Mohar B, What is graph minor. Notices Amer. Math. Soc. 53 (2006), no. 3, 338--339

[25] Ore.O, Note on Hamiltonian circuits, Amer.Math.Monthly 67（1960）55.

[26] Ryjácek Z, On a closure concept in claw-free graphs, J. Combin. Theory Ser. B, 70 (1997), 217-224.

[27] Ryjácek Z, Saito A, Schelp RH, Claw-free graphs with complete closure, Discrete Math. 236 (2001), no. 1-3, 325--338.

[28] Ryjácek Z, Skupien Z, Vrana P, On cycle lengths in claw-free graphs with complete closure, 待发表。http://cam.zcu.cz/~ryjacek/publications/files/65.pdf ）

[29] Robertson N, Seymour PD, Graph minors. XIII. The disjoint paths problem. J. Combin. Theory Ser. B 63 (1995), no. 1, 65--110.

[30] Robertson N, Seymour PD, Graph minors. XX. Wagner's conjecture. J. Combin. Theory Ser. B 92 (2004), no. 2, 325--357.

[31] Song Zengmin, Zhang Kemin, Neighborhood unions and Hamiltonian properties, Discrete Math., 133(1994) 319-324.

[32]Thomas R, Wollan P, The extremal function for 3-linked graph,待发表www.math.gatech.edu/~thomas

[33] Thomassen C, Reflections on graph theory, J. Graph Theory, 10 (1986), 309-324.

[34] Wei.Bing, Zhu.Yongjin, On the pathconnectivity of graphs with large degrees and neighborhood unions. Graphs and Combin.14(1998)263-274

[35] Zhao Kewen赵克文), Lai Hong-Jian, Shao Yehong, New sufficient condition for Hamiltonian graphs. Appl. Math. Lett. 20 (2007), no. 1, 116--122.

附录：Bollobás等提出的weakly pancyclic以及上面的泛圈图、点泛圈图均被我新提出的weakly vertex pancyclic推广和深化，因此，这也属哈密顿图的新领域，这方面的工作本应一起概述，但这新领域只有Bollobás、JCT主编Thomason、Brandt、孟菲斯大学校长Faudree RJ和我等仅五个人做此新领域，且难度不小，至今也仅有几篇论文