无穷维动力系统、可积系统与不可积系统、无穷维分析（Infinite dimensional dynamical system、Integrable and Non-integrable systems、Infinite Dimensional Analysis）：

无穷维动力系统是相空间为无穷维函数空间的动态系统.最常见的为由偏微分方程所描述的动力系统，如，非均匀介质中化学反应的反应扩散方程，燃烧、热传导、粘性流体运动的纳维一斯托克斯方程等。

不可积系统是指那些无法用已知数学方式表达其运动形式的力学系统。在力学系统中，根据能量是否守恒，系统可以分为保守系统和耗散系统；根据系统可否用已知数学方式表达其运动形式，系统可以分为可积系统与不可积系统。不可积系统在所有可能的力学系统中无处不在，而可积系统则十分罕见。

可参考郭柏灵的《非线性演化方程》，上海科技教育出版社1995年（最后的第5章是“无穷维动力系统”）；

可参考刘曾荣,徐振源,谢惠民，无穷维动力系统中惯性流形和吸引子，力学进展 1991年04期，等等。

在建立无穷维动力系统框架之前，人们在解决实践问题时已经用到了若干方法，所有这些方法的中心思想，都是把无穷维间题约化为有限维问题加以讨论。这种把无穷维高维的动力系统问题约化为有限维低维动力系统的思想，从物理学角度看，在I．Prigogine开创的耗散结构理论和 H. Haken开创的协同论中已经得到了体现。按照耗散结构理论，一个远离平衡态的复杂开放系统可以通过物质和能量交换形成各种各样的自组织，显然这种自组织是一些被激励模式通过祸合而组成的空间结构。按照提出的役使原理，一个复杂的大系统中起主导作用的往往是一些被称为“序参量” 的变量，其他变量受到这些序参量的役使。事实上， 这些序参量变量个数就代表起到支配动力系统构形的参数个数，故也反映了约化思想。然而I．Prigogine和 H. Haken只是提出了新的思想，这种思想除了极个别情况（比如中心流形情况）外都没有从理论上得到证实。从这个意义上讲， 从理论上解决把无穷维动力系统可以约化为有限维动力系统的间题，对非线性科学的进一步发展具有开创性意义。（诺贝尔化学奖得主I．Prigogine的导师Théophile De Donder泰奥菲尔·德·顿德尔的导师是数学宗师Henri Poincaré庞加莱）。

诺贝尔化学奖得主I．Prigogine开拓的耗散结构是一个广泛存在的普遍现象。就如上面郭柏灵的《非线性演化方程》的前言所说“随着近代物理对孤立子和混沌问题的研究，不断地涌现出一大批具有非线性耗散的崭新的非线性演化方程也称发展方程--在力学或其他自然科学中用来描述随时间变化的状态或过程”。

也可参考朱位秋，随机激励的可积与不可积Hamilton系统的精确平稳解，科学通报1995年21期，等等。（关于Hamilton系统，可参考为了帮助海南琼州大学的论文出版曾来过约十次信交流的龙以明院士1993年出版的很有影响的《Hamilton系统的指标理论及其应用》一书，以及郭柏灵院士著的《无穷维动力系统（上下册）》国防工业出版社2000年；也可参考分析力学等等）。

将n自由度非线性随机动态系统表示成在随机激励与阻尼力作用下的Hamilton系统的形式。证明了其精确平稳解的构造与性质取决于Hamilton系统的可积性与共振性；随机激励的不可积Hamilton系统的精确平稳概率密度是Hamilton函数的泛函，平稳响应具有能量等分之性质对随机激励的可积Hamilton系统，在非共振情形，其精确平稳概率密度是n个独立运动积分或n个作用量的泛函。在具有a（1£a£-n1）个共振关系之情形，它是n个作用量与a个相位角组合之泛函，这两种情形，各自由度响应能量之比可由随机激励与阻尼力之大小与分布调配。

关于可积与不可积系统在上面已给出描述性定义；而可积与不可积Hamilton系统： m_i,j=f_i,k=0时，dQ_i=(¶H/¶P_i)dt 与 dp_i=-(¶H/¶Q_i＋m_i,j¶H/¶P_j)dt＋f_i,kdB_kt (i, j=1,2,…n; k=1,2,…m) 式描述一个以H为Hamilton函数的n自由度Hamilton系统. 若它具有n个独立运动积分H_i， 且 [H_i，H_j] =0, (i, j=1,2,…n) ,则称该Hamilton系统为可积的或完全可积的. 或者，若该Hamilton系统的状态可用作用量I₁与角变量q₁表示，且其Hamilton函数只是作用量的函数而与角变量无关，则称该系统为可积的或完全可积的-也可参考这页；而若该Hamilton系统只有一个运动常数，即Hamilton函数，则称该系统为不可积的或完全不可积的。

参考朱位秋的《随机振动》，科学出版社1992年。（随机振动指那些无法用确定性函数来描述，但又有一定统计规律的振动），等等。

其它相关领域：

无穷维分析：

可参考：Charalambos Dionisios Aliprantis和Kim Christian Border合撰的《Infinite Dimensional Analysis无穷维分析》；Gustave Choquet独撰的《Lectures on analysis. Vol. III: Infinite dimensional measures and problem solutions》；论文集《Infinite-dimensional analysis and stochastic processes无穷维分析和随机过程》以及1976年的《Spectral theory of operators and infinite-dimensional analysis算子谱理论和无穷维分析》；《Spectral theory of operators and infinite-dimensional analysis算子谱理论和无穷维分析》；《Operators of mathematical physics and infinite-dimensional analysis数学物理的算子和无穷维分析》《Probabilistic methods of infinite-dimensional analysis无穷维分析的概率方法》；《Probabilistic infinite-dimensional analysis概率无穷维分析》；Bernard Epstein独撰的《Linear functional analysis. Introduction to Lebesque integration and infinite-dimensional problems》

无穷维空间上的测度论、微分学和积分学：

Dao Xing Xia独撰1972年出版英文版的《Measure and integration theory on infinite-dimensional spaces无穷维空间上测度和积分法》一书（我有夏道行院士这书的上海科学技术出版社1964年出版的中文版）；其重要性就如北京大学张恭庆院士撰写的研究生用书《泛函分析》下册的最后一章的标题是“无穷维空间上的测度论”；还如我国首批18个博士之一的张荫南的论文“无限维测度空间上的微分演算(Ⅰ)”，应用概率统计1986年(03)期，等等（我国首批18个博士中竟然有3人：张荫南、李绍宽、童裕孙的指导老师都是夏道行院士）；

无穷维李代数：

可参考：Victor G. Kac独撰的“Infinite-dimensional Lie algebras”.第三版. Cambridge University Press, Cambridge, 1990. 400页；

Dmitry Borisovich Fuks (D. B. Fuks)独撰的“Cohomology of infinite-dimensional Lie algebras”Translated from the Russian by A. B. Sosinskiĭ从俄文翻译为英文. Contemporary Soviet Mathematics. Consultants Bureau, New York, 1986. 339 pp

无穷维随机分析：

黄志远教授和严加安院士合撰《无穷维随机分析引论》科学出版社1997年；

无穷维系统控制：

岳东著《无穷维状态空间系统的鲁棒镇定控制》中国矿业大学出版社1997年（硕士读华南师大低我一届毕业的李远清和岳东同是华南理工刘永清的前后隔一年毕业的博士）；

等等等