这页简介“积分方程”（从下面见这领域的数学家写的书除了几十前的外，最近只有国外和海南琼州大学一同担任某一区SCI杂志编委的这里第6本书并是讲这学科新方法的-这对从后面见几十年来几乎再没有数学家写这学科的书之状况-这编委的书就显得珍贵等，此外，这学科领域的书就只有为其它学科领域应用的如搞电磁学的柳清伙教授的《基于积分方程法模拟的复杂介质可控源电磁…》、搞电磁学的马西奎教授的《电磁场积分方程法…》、搞电磁学的葛德彪教授的《电磁波时域计算方法--时域积分方程…》，搞建筑的梁建文教授的《基于间接边界积分方程…》、搞建筑的魏培君教授的《积分方程及其数值方法》等，而这些积分方程在电磁学等应用的书涉及的一个主要工作是海洋方面的如韩子夜院长等的发表在《物理学报》的论文“各向异性海底地层海洋可控源电磁响应三维积分方程法数值模拟”、夏明耀等的“基于单积分方程矩量法的海洋表面微波散射模拟”等等，值得思考；可参考这里的斯米尔诺夫的世界名著《高等数学教程》(第四卷第一分册)其是专讲积分方程的主要介绍了费雷德霍姆方程、沃尔泰拉方程、傅里叶积分方程、有柯西核的积分方程等，下面见斯米尔诺夫的包括诺贝尔奖得主的3个世界著名弟子也这方面的世界名著）
这学科奠基于包括1900年等的共4次国际数学家大会特邀报告者Vito Volterra（V.
沃尔泰拉,意大利科学院前身的林琴科学院院长）最先研究常称为Volterra方程的积分方程 òaxK(x,
y)f(y)dy=g(x)；Joseph Liouville（-J.刘维尔）最先研究积分方程f(y)+òaxK(x,
y)f(y)dy=g(x)；
其后，瑞典数学家Erik Fredholm(E.
弗雷德霍姆)研究积分方程f(y)-òabK(x,
y)f(y)dy=g(x)。（小知识：别以为这学科的开创者Erik Fredholm和其它数学领域的开创者比名气不大，但也师出名门--这Erik
Fredholm的导师是瑞典Gösta
Magnus Mittag-Leffler米塔-列夫勒--此人是瑞典数学的开拓者并瑞典科学院数学研究所就是以他命名的Mittag-Leffler institute，还有一段留传的故事是因Mittag-Leffle和诺贝尔因情仇而诺贝尔设立的诺贝尔奖不包含数学。而本网页的主人翁即本页积分方程的奠基人Erik Fredholm的这里只有2个博士并其中之一博士是Carl-Gustaf Rossby(即卡尔-古斯塔夫·罗斯贝)是现代气象学和海洋学的开拓者--并Rossby罗斯贝的博士Pekeris的博士Amir
Pnueli以一篇关于海洋潮汐计算的毕业论文取得应用数学博士学位但却是因时态逻辑的开拓工作而成为1996年的图灵奖获得者-并2005年度中国国家最高科学技术奖得主T. C. (Duzheng) Ye叶笃正也是这图灵奖得的师叔； Mittag-Leffle还有一个博士Robert Mellin-虽然不是特别厉害-但此人的博士Ernst Lindelöf却相当厉害-并这博士的2个博士更厉害：就是海南琼州大学杂志编委Paul Garabedian的导师也是第一届数学诺贝尔奖fields奖得主Lars
Ahlfors、另一博士Rolf
Nevanlinna奈望林纳就是第3届国际数学联盟主席并奈望林纳奖是国际数学家大会上颁发的第2个奖-即最早是数学诺贝尔奖fields奖。
这个瑞典科学院数学研究所Mittag-Leffler institute至今只有2个杂志并都有一百年以上悠久历史的数学杂志-该研究所称它俩都是世界领导性数学杂志-海南琼州大学只给它俩分别各投一篇论文，一篇最先被一个杂志发表、另一篇该所说那一个杂志也愿意发表，就是香港数学会理事长评价为世界领先水平的；在MGP的单位输入“Mittag-Leffler”没有见到博士-估计该所的博士都象海洋学开拓者Carl-Gustaf
Rossby(卡尔-古斯塔夫·罗斯贝)一样授予Stockholm University斯德哥尔摩大学博士学位）。
因而积分方程的主要内容是：òabK(x,
y)f(y)dy=g(x)； f(y)+lòabK(x,
y)f(y)dy=g(x)；
A(x)f(y)+lòabK(x,
y)f(y)dy=g(x)
它仨分别称为Fredholm型第一种、第二种、第三种积分方程，其中K(x,
y)是定义的矩形区域a£x,y£b上的已知连续函数，称为积分方程的核，l是参数，系数A(x)和自由项都是确定在区域a£x£b上的已知函数，f(y)是未知函数。
对第二种积分方程，Fredholm建立了系统理论，就是我们所说的Fredholm理论
至于第一种积分方程，在我读研究生时仍尚未建立起系统的理论。
至于第三种积分方程，当A(x)分别是0和1时就分别是第一种、第二种积分方程，所以，目前以研究第一种、第二种积分方程为先。如此，
第一部分：一般都先讲第二种Fredholm型积分方程，
类似地，也先讲第二种Volterra型积分方程f(y)-lòaxK(x,
y)f(y)dy=g(x)；
第二部分：再讲第一种Fredholm型积分方程。以及再讲第一种Volterra型积分方程òaxK(x,
y)f(y)dy=g(x)。
第三部分：讲积分方程组。主要讲Fredholm积分方程组：fi(y)-lål=1nòabKil(x,
y)fl(y)dy=gi
(x) (i=1,2,…,n)
其中Kil(x,
y)和gi
(x) (i=1,2,…,n)都是平方绝对可积的已知函数；而fi(y)是未知函数。
当这方程组满足Kil(x,
y)=0（a£x £y£b），就有如下形式的Volterra积分方程组：
fi(y)-lål=1nòaxKil(x,
y)fl(y)dy=gi
(x) (i=1,2,…,n)。
第四部分：对称方程，主要讲具有对称核的第二种Fredholm型积分方程的基本定理等等。
第五部分：积分变换理论（主要是Fourier变换，Laplace变换，Hankel变换，Mellin变换）和卷积型方程。
第六部分：非线性积分方程，这是发展已很广的积分方程，因此，已是主战场。
基础部分讲非线性Fredholm型第二种积分方程：
f(x)+lòabF(x,
y, g(y))dy=g(x),
其中l是参数，g(x)是变量x（a£x£b）的未知函数，假设：1）f(x)是关于x（a£x£b）的已知连续实函数；2）F(x,
y, u)是实变量x,yÎ[a,b]和实变量uÎ[p,q]的已知连续实函数，它关于变量u还满足Lipschitz条件
|F(x,
y, u1)- F(x,
y, u2)|£K|u1-u2|，其中K是正常数，p,q是给定的实数。
非线性Fredholm型第二种积分方程，也可推广到非线性Fredholm型积分方程组：
fi(x)+lòabFi
(x, y, g1(x), g2(x),…, gl(x))dy=gi(x), (i=1,2,…,l)
其中方程组中的成分也类似上面所定。
还有，就是非线性Volterra型第二种积分方程
f(x)+lòaxF(x,
y, g(y))dy=g(x), 方程中的成分也类似上面所定。
其中先进专题是非线性积分方程可解性的变分方法和拓扑方法；以及非线性积分方程多重解的变分方法和拓扑方法。 等等。
这领域的下面较著名的书籍我都有：
这里的斯米尔诺夫的世界名著《高等数学教程》(第四卷第一分册)其是专讲积分方程的主要介绍了费雷德霍姆方程、沃尔泰拉方程、傅里叶积分方程、有柯西核的积分方程以及欧拉方程、奥斯特罗格拉德斯基方程等（作者弗拉基米尔·伊凡诺维奇·斯米尔诺夫的俄文名为Влади́мир Ива́нович Смирно́в英文名为Vladimir Ivanovich Smirnov）；
陈传璋,候宗义,李明忠合写的《积分方程论及其应用》，上海科学技术出版，1987；（以华-王方法为核心的华罗庚大师、王元院士合著的《数论在近似分析中的应用》一书的最后一章是“积分方程与微分方程的近似解法”）
С.
Г. Михалин (Solomon G. Mikhlin，米哈林)著，陈传璋，卢鹤绂译，《积分方程论及其应用》(上、下两册)，商务印书馆，1955;
С.
Г. Михалин (С.Г.米赫林)著，李明忠，吴立鹏译，陈传璋校，《多维奇异积分和积分方程》，上海科学技术出版，1964；
С.
Г. Михалин (С.Г.米赫林)著，潘文熙译，《奇异积分方程》，数学进展，1958年第1期第55页-122页；
С.Г.米赫林还独撰《二次泛函的极小问题》，科学出版社1964年（参考苏联科学院院长Guri I. Marchuk马尔丘克为第一作者1976年出版的《迭代法和二次泛函》）；
这С.Г.米赫林也和他的博士Siegfried Prössdorf,合撰528页的《Singular
Integral Operators奇异积分算子》（1908年生的С.Г.米赫林有一个师弟是下面“社会主义国家唯一获诺贝尔经济奖”的1912年生的康托罗维奇并他俩的导师就是上面撰写不朽的五卷巨著《高等数学教程》的Vladimir
I. Smirnov（斯米尔诺夫），同在1908年出生的下面撰写泛函分析名著的Sergei
L'vovich Sobolev(谢尔盖·李沃维奇·索伯列夫)也是С.Г.米赫林的师兄弟，并他仨的另一博士导师应该是这里撰写不朽的三卷巨著《微积分学教程》的Grigorii
M. Fikhtengol'ts菲赫金哥尔茨- 虽然Mikhlin的这里的导师不写菲赫金哥尔茨但菲也应是导师之一）。
上面米赫林的导师Vladimir Ivanovich
Smirnov斯密尔诺夫著，陈传璋译《高等数学教程》第四卷第一分册，人民教育出版社,1979年重印。
1989年获沃尔夫奖的Alberto P.. Calderón阿尔贝托·卡尔德隆著，伍卓群译，《奇异积分算子及其在双曲微分方程上的应用》，上海科学技术出版，1964；
陶哲轩的导师Elias M. Stein(E.
M. 斯坦恩)《奇异积分与函数的可微性》，程民德等译，北京大学出版社，1986；Harry Hochstadt的《积分方程》
郭大钧，孙经先合写的《非线性积分方程》，山东科学技术出版社，1987；
路见可，钟寿国合著的《积分方程论》，高等教育出版社，1990；
Н.П.维库阿著，路见可译，《奇异积分方程组及某些边值问题》，上海科学技术出版社，1963；
H.H.穆斯海里什维里的《奇异积分方程》，朱季讷译，上海科学技术出版社1966；
Г.С.利特温秋克著，赵桢,陈方权,蒋绍惠,刘来福,邝荣雨译，《带位移的奇异积分方程与边值问题》，北京师范大学出版社，1982；
C D. Green，《Integral Equation methods积分方程法》， New York, 1984
担任莫斯科大学校长时间最久的Ivan G. Petrovsky彼得罗夫斯基独著的《积分方程论讲义》高等教育出版社，1961年，由北大 胡祖炽翻译（我也有他的《偏微分方程讲义》和《常微分方程论讲义》）。
杜庆华院士的《边界积分方程方法:边界元法》，高等教育出版社，1989；（硕士导师是哈佛大学Richard Edler von Mises冯·米泽斯，博士导师是Stephen Prokofievitch Timoshenko铁木辛柯和James Norman Goodier，曾是中央电视台著名的节目主持人的杜宪是他女儿）
我国数学专家在8、90年代出版的这领域书籍还有赵桢的《奇异积分方程》北京师范大学出版社1984；姚家宁的《积分方程》；张石生的《积分方程》；沈以淡的《积分方程》；李思华的《积分方程》。
积分方程理论在大量的数学物理问题中有很多应用，如此，还应先修读《数学物理方程》方面的书籍；
还有，它一些内容涉及泛函分析，如此，还要了解这学科相关的部分，如
F. Riesz弗里杰什·里斯是第一主撰的世界名著《泛函分析讲义》第二卷是“积分方程和线性变换”。
还有诺贝尔经济学奖得主Leonid V. Kantorovich列奥尼德·康托罗维奇是第一主撰的2本世界名著《半序空间泛函分析》上下册和《泛函分析》上下册都有许多积分方程的内容，其中它俩的下册都有集中讲述的“对积分方程的应用”部分（关于半序空间理论，正如曾在北大等任教的杨宗磐教授的《半序空间引论》说“半序空间理论肇始于杰出的学者F. Riesz弗里杰什·里斯，1935年前后苏联学者Leonid V. Kantorovich列奥尼德·康托罗维奇奠基了半序空间理论的基础”）；这方面的泛函分析名著还有Sergei
L'vovich Sobolev(谢尔盖·李沃维奇·索伯列夫)的《泛函分析在数学物理中的应用》--并他和Leonid V.
Kantorovich(列奥尼德·康托罗维奇)、上面Solomon Grigoryevich Mikhlin(С.Г.米赫林)就是博士师兄弟并他仨的导师就是上面撰写不朽的五卷巨著《高等数学教程》的Vladimir
I. Smirnov（斯米尔诺夫）以及Grigorii M. Fikhtengol'ts菲赫金哥尔茨。
在陈省身大师之前获得世界数学终身成就奖的Mark Krein的最得意博士Mark A. Krasnoselskii是第一撰者的《凸函数和奥尔里奇空间》最后的第四章是“非线性积分方程”（奥尔里奇Orlicz是波兰学派的主将之一，曾任国际数学家大会名誉主席，并我也有他独撰的《线性泛函分析》）
上面С. Г. Михалин就是СОЛОМОН
ГРИГОРЬЕВИЧ МИХЛИН英文名就是Solomon
Grigoryevich Mikhlin，他就是Vladimir Ivanovich
Smirnov斯密尔诺夫的博士，斯密尔诺夫还有其它几个博士也是世界大师级的如舍盖·索伯列夫、诺贝尔经济奖得主列昂尼德·康托罗维奇等。斯密尔诺夫撰有一套数学教科书"高等数学教程"
Prasanta K.
Banerjee班努杰的《工程科学中的边界元法》，国防工业出版社,1988,
C.A. Brebbia布雷拜的《边界元法的工程应用》，陕西科学技术出版社,1985;
也可参考更多数学及其它相关学科领域。