李群和李代数（其横跨一些学科，如主要涉代数学、拓扑学、微分几何等）：

定义：

设G是一个拓扑群，同时是一个微分流形。若G作为群的群乘法与逆映射都是光滑的，则G称为李群。

设F是特征为0的域，L是F上的线性空间。如果L上有一个运算L×L→L，(x,y)→[x,y]满足以下三个条件，则称L是一个李代数。

（1）这个运算是双线性的，即 [ax+by,cz+dw]=ac[x,z]+cb[y,z]+ad[x,w]+bd[y,w]。

（2）[x,x]=0，对任意x∈L。

（3）雅可比恒等式：[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0，对所有L中元素x，y，z∈L。

李群和李代数的关系（正如下面Wu Yi Hsiang项武义、侯自新、孟道骥合撰1992年出版的《李群讲义》的第二章标题“李群结构的线性化――李代数”）：

设G为李群，TeG为G在e点的切空间。则LG:=TeG为李群G的李代数。

可参考：《李群讲义》，Wu Yi Hsiang项武义、侯自新、孟道骥，北京大学出版社1992年；

代数学的李群、李代数领域在我国之所受重视，不仅因有万哲先院士在60年代的《李代数》名著，还有和推荐我们海南琼州大学论文在全国政协副主席苏步青院士主编的《数学年刊》发表的吴文俊Wen-Tsün Wu院士同师从Ehresmann并一同在1949年博士毕业的严志达Chih-Ta Yen院士也在60年代已出2本著作《李群和微分几何》和《半单纯李群、李代数表示论》（此外，我在1985年前读陈省身大师的《微分几何讲义》也知之-如这书第六章是“李群和活动标架法”）

再附国内外一些这方面主要著作，它们都是这些领域的力作精品：万哲先院士在1964年出版的名著《李代数》。

邓金著上面曾肯成译的《半单纯李氏代数的结构》（而我也有邓金的名著《马尔科夫过程论基础》）

南开严志达院士在60年代出版的2本著作《李群和微分几何》和《半单纯李群、李代数表示论》；

严志达院士和华罗庚的研究生许以超合撰的《Lie群及其Lie代数》，高等教育出版社1986；

国家民族事务委员会副主任江家福的《实单Lie代数的分类和自同构群》广西民族出版社1986年；

南开在李群李代数的著名专家还有受段学复院士指导1966年研究生毕业的孟道骥教授独撰的《复半单李代数引论》，以及和加州项武义(Wu-Yi Hsiang)、南开侯自新校长合写的《李群讲义》北京大学出版社1992年等

刘绍学独撰1983年科学出版社出版的《环与代数》（是研究生用书虽没读研究生时已有这本书因好奇当时我一拿到书就对第一章共5节在一上午就读完-当然对较长些的证明先略过）；

曹锡华，王建磐合写《线性代数群表示导论》，科学出版社1987年（它介绍全书共分六章．上册包括三章，分别是：经典表示理论，仿射群概形与超代数，上同调方法。但我照不到下册。它说“我们假定读者熟悉线性代数群结构与分类的基本理论，熟悉范畴与函子的语言，并有一定的代数几何学基础。当然，同调代数的一般理论”。曹锡华Shih-Hua Tsao的导师Richard Dagobert Brauer是有限群奠基人；合作者王建磐是该校校长）；

布尔巴基学派的创始人之一Claude C. Chevalley谢瓦莱独著的《Theory of Lie groups李群理论》以及《Fundamental concepts of algebra代数基本概念》。

上面谢瓦莱的博士Gerhard P. Hochschild独著的《Basic theory of algebraic groups and Lie algebras代数群和李代数的基本理论》；

布尔巴基学派的创始人之一André Weil安德烈·韦伊独著的《Adeles and algebraic groups》；

André Weil的世界上第一个数学三大奖全包揽的博士Jean-Pierre Serre让-皮埃尔·塞尔独著的《Algebraic groups and class fields代数群和类域》；

Ellis R. Kolchin独著的《Differential algebra and algebraic groups微分代数与代数群》以及《Differential algebraic groups微分代数群》；

Veeravalli S. Varadarajan独著的《Lie groups, lie algebras and their representations李群、李代数及其表示》，（Anthony W. Knapp曾在BAMS评论它。Anthony W. Knapp也曾写《Representation theory of semisimple groups半单群的表示理论》）

Tonny A. Springer独著的《Jordan Algebras and Algebraic Groups若当代数和代数群》以及《Linear algebraic groups线性代数群》；

James E. Humphreys汉弗菜斯撰写《李代数及其表示理论导引》，陈志杰译、曹锡华校，上海科学技术出版社1981年（曹锡华Shih-Hua Tsao的导师Richard Dagobert Brauer是有限群奠基人；陈志杰最近写《代数基础:模、范畴、同调代数与层》-偏代数几何方向）；

Jens C. Jantzen独撰的《Representations of algebraic groups代数群的表示》（作者Jens C. Jantzen就是这里撰写《量子群讲义》并他的导师导师Jacques Tits是沃尔夫奖和阿贝尔奖得主）

Robert P. Langlands罗伯特·朗兰兹在耶鲁大学指导的博士K. F. Lai黎景辉和冯绪宁合写在1991年出版《拓扑群引论》，最近和上面陈志杰、赵春来合写《代数群引导》，这黎景辉新近又有新作。