本页说说分析力学（分析力学不仅仅建立了一套同牛顿力学等效的力学表述方法，其意义在于建立了比牛顿定律应用更广泛、物理意义更深刻的力学基础，而这些是通往新物理的桥梁--可参考振动力学与发展方程而分析力学最有效的工具之一振动矩阵力学）：

可参考下面文献：诺贝尔物理学奖得主李政道杨振宁教授的相关书籍；我也有在李杨之后的1962年获得诺贝尔物理学奖的朗道的《理论物理学教程第一卷力学》全书几乎只讲分析力学如介绍说为研究生、科研人员和物理系高年级本科生参考书；王光远院士的《应用分析动力学》人民教育出版社1981；世界工程力学之父S.铁摩辛柯的《高等动力学》科学出版社1962年、甘特马赫独撰的世界名著《分析力学讲义》；我也有梅凤翔、史荣昌、张永发、吴惠彬的《Birkhoff系统动力学》，梅凤翔,刘端,罗勇合写的《高等分析力学》，北京理工大学出版社，1991；北大力学系陈滨教授的《分析动力学》，北京大学出版社1987年；

最近2000年担任非线性力学国家重点实验室主任的“首批新世纪百千万人才工程国家级人选”就和海南琼州大学一同担任某杂志编委-他独撰的《力学讲义》

   （我以前也有些喜欢力学的其它领域如此单是清华大学工程力学专业我就有钱伟长院士的《广义变分原理》、黄克智院士主著的《张量分析》和龙驭球院士的《有限元法概论》这3本与数学密切的著作-因它们主要是为应用所以若要能深读就要有弹性力学等的基础，他们3人分别主要从事弹性、固体和结构力学研究工作并有专著或教材）

Paulette Libermann，Charles-Michel. Marle合撰的《Symplectic geometry and analytical mechanics辛几何与分析力学》

Ruggero Maria.Santilli,《Birkhoffian generalization of Hamiltonian mechanics哈密顿力学的伯克霍夫推广》--（此书值得参考也因分析力学的一个近些年来很受重视的领域是海南琼州大学师爷Birkhoff的系统动力学）

Vladimir I. Arnold弗拉基米尔·阿诺德的《Mathematical methods of classical mechanic经典力学的数学方法》

Jean Leray让·勒雷的《Lagrangian analysis and quantum mechanics拉格朗日分析与量子力学》

特别是其中非常重要的哈密顿系统，因众所周知，一切真实的、耗散可以忽略不计的物理过程都可以表示成哈密尔顿系统。它的应用范围极其广泛,包括结构生物学、药理学、半导体、超导、等离子体、天体力学、材料学等。20世纪量子力学创始人之一的Schrodinger曾经说过：“哈密尔顿原理已经成为现代物理的基石…。如果您要用现代理论解决任何物理问题,首先得把它表示为哈密尔顿形式”。这领域可参考：

1987年当选国际数学联盟主席Ludwig D. Faddeev路德维希D. 法捷耶夫，Leon A. Takhtajan合撰1987年翻译为英文版的《Hamiltonian Methods in the Theory of Solitons孤立子理论中的哈密顿方法》；

Walter Greiner的《Systems of particles and Hamiltonian dynamics质点系和哈密顿动力学》；

Helmut Hofer, Eduard Zehnder合撰的《Symplectic Invariants and Hamiltonian Dynamics辛不变量与哈密顿动力学》；

为了帮助海南琼州大学的论文出版曾来过约十次信交流的龙以明院士1993年出版的《哈密顿系统的指标理论及其应用》；

从事一般力学的博士江苏省政协副主席程崇庆教授和孙义遂院士合撰1994年出版的《哈密顿系统中的有序与无序运动》；

后来冯康院士主编的《哈密尔顿系统的辛几何算法》；

李继彬、赵晓华、刘正荣等1994年出版的《广义哈密顿系统理论及其应用》；

中国近代民主革命家、辛亥革命先驱、国学大师黄侃的次子武汉大学物理系黄念宁教授的《完全可积非线性方程的哈密顿理论》；

我们知道，哈密顿系统包括有限维和无限维特定形式的常微分方程和偏微分方程，下面给出一些著名的专门的无限维形式哈密顿系统著作：

伯克莱2个大师Paul R. Chernoff，Jerrold E. Marsden在1974年出版的《Properties of infinite dimensional Hamiltonian systems无穷维哈密顿系统的性质》

Rudolf Schmid在1987年出版的《Infinite-dimensional Hamiltonian systems无限维哈密顿系统》

Sergej B. Kuksin在1993年出版的《Nearly integrable infinite-dimensional Hamiltonian systems几乎可积的无限维哈密顿系统》

经典力学最初的表达形式由牛顿给出，大量运用几何方法和矢量作为研究工具，因此它又被称为矢量力学（有时也叫“牛顿力学”）。拉格朗日，哈密顿，雅可比等人使用广义坐标和变分法，建立了一套同矢量力学等效的力学表述方法。同矢量力学相比，分析力学的表述方法具有更大的普遍性。很多在矢量力学中极为复杂的问题，运用分析力学可以较为简便的解决。分析力学的方法可以推广到量子力学系统和复杂动力学系统中，在量子力学和非线性动力学中都有重要应用。

分析力学研究的主要内容是：导出各种力学系统的动力方程，最基本的是拉格朗日方程和哈密顿方程-就如分析力学≌拉格朗日力学+哈密顿力学：

设由n个质点组成的系统受s个完整约束作用。系统具有N=3n-s个自由度。设q1, q2,…, qN为系统的一组广义坐标，我们可以将各质点的坐标表示为矢径ri=ri(q1, q2,…, qN,t) ,(i=1, 2,…n)，由虚位移的概念可对之进行等时变分运算来确定第i个质点的虚位移dri。采用类似于多元函数求微分的方法，可得到  dri=åk=1N(ri/qk )dqk ,(i=1, 2,…n)，其中dqk(k=1, 2,…,N)为广义坐标qk的变分，称为广义虚位移。

设作用在第i个质点上的主动力的合力Fi在(x,y,z)三个坐标轴上的投影分别为(Fix, Fiy, Fiz)，将上式代入虚功方程，得到dWF=åk=1N[åi=1n(Fixxi/qk,+ Fiyyi/qk,+ Fizzi/qk)]dqk=0 ,记Qk=åi=1n(Fixxi/qk,+ Fiyyi/qk,+ Fizzi/qk) ,(i=1, 2,…n)。则它可写成dWF=åk=1NQkdqk=0，其中Qkdqk具有功的量纲，所以称Qk为与广义坐标相对应的广义力。

设第i个质点的质量为mi，矢径ri的加速度为ri¢¢，其上作用有主动力Fi，约束力FNi。令Fli =-miri¢¢为第i个质点的惯性力，则由达朗贝尔原理，作用在整个质点系上的主动力、约束力和惯性力系应组成平衡力系。若系统只受理想约束作用，则由虚位移原理 åi=1n(Fi+FNi+ Fli)×dri=åi=1n(Fi-miri¢¢)×dri=0

联立可求得 åi=1n(Fi-miri¢¢)×dri=åk=1N(Qk-åi=1nmiri¢¢×ri/qk) dqk =0,

对完整约束系统，其广义坐标是相互独立的。为使上式恒成立，必须有Qk-åi=1nmiri¢¢×ri/qk=0 (k=1, 2,…,N)

记T=åi=1nmivi2/2为质点的动能，则可求得拉格朗日第二方程（简称拉格朗日方程）

d/dt(T/qk¢)-T/qk-Qk=0    (k=1, 2,…,N)

如果作用在质点系上的主动力都是有势力（保守力），则广义力Qk可写成用质点系势能表达，于是可写成

d/dt(T/qk¢)-T/qk+V/qk =0    (k=1, 2,…,N)

引入拉格朗日函数（又称为动势）

L(p,q¢,t)=T-V

并注意势能不是广义速度的函数，则拉格朗日方程又可写成

d/dt(L/qk¢)-L/qk =0    (k=1, 2,…,N)

上述方程均由拉格朗日(J. L. Lagrange)于1788年奠定的。以拉格朗日方程为基础的分析力学，称为拉格朗日力学。

 

1834年哈密顿(W. R. Hamilton)将拉格朗日第二类方程变换成一种正则形式，将动力学基本原理归纳为变分形式的哈密顿原理，从而建立了哈密顿力学。

即对于哈密顿方程，系统的变量一般是由n对共轭变量表示，(p,q)=(p1,p2,…,pn,, q1, q2,…, qn), qÎM一般如上称为系统的广义坐标, pÎRn称为广义动量，M是一个n维流形，一般称为系统的构形空间。定义H(p,q,t)=áp,q¢ñ= L(p,q¢,t)（其中á×，ñ为经典意义下的内积），这时q¢可用(p,q,t)来表示，这种关系由p =L/q¢来确定（当然是这等式有隐函数为前提）。一个充分条件为L是q¢的凸函数，这时H也是p的凸函数。对求全微分

dH=(H/p)dp+(H/q)dq+(H/t)dt

这自然等于áp,q¢ñ= L(p,q,t)= L(p=L/q¢)的全微分

dH=q¢dp+(L/q)dq-(L/t)dt

因此有q¢=H/p，H/q=-L/q, H/t=L/t。

再利用拉格朗日方程，可得哈密顿方程，

q¢=H/p，p¢=-H/q。

可见，哈密顿力学是由拉格朗日力学演变而来。哈密顿力学与拉格朗日力学不同的是前者可以使用辛空间而不依赖于拉格朗日力学表述。

………

附：可参考一些有影响的论文：非完整系统Hamilton正则方程的形式不变性

非Chetaev型非完整系统的Lagrange对称性与守恒量

完整系统三阶Lagrange方程的一种推导与讨论

相对论非线性非完整系统动力学理论

非完整系统的自由运动与非完整性的消失

等等

还可进一步研究广义Hamilton系统如参考清华卢强院士等的“广义Hamilton控制系统的几何结构及其应用”等即它对把上面定义在通常的辛流形上的Hamilton系统推广到Poisson流形上的广义Hamilton系统的研究

国外的可参看如下专家的工作：这里第2封来信的海南琼州大学的杂志编委Anatoly Timofeevich Fomenko及其博士Boris Kruglikov（如这俄罗斯最年轻院士Anatoly Timofeevich Fomenko和数学诺贝尔奖获得者Sergei Petrovich Novikov合写的书既有“余切丛上的哈密顿系统”、“流形上的哈密顿系统”、也讲“具高阶导数的问题的哈密顿形式体系”、“场系统的哈密顿形式体系”等，附:在Sergei Petrovich Novikov介绍见他的父母都是世界著名数学家即见他的父亲是Petr Sergeevich Novikov和他的母亲是Lyudmila Vsevolodovna Keldysh-并见Novikov诺维柯夫的这对父母都有介绍-如此的数学家夫妻可能至今仍是全世界唯一的，Sergei Petrovich Novikov的介绍中也说到他的舅舅也是著名数学家并担任前苏联科学院院长很多年），此外-其他专家的工作也要参考如Edward Witten爱德华·威滕的博士Cedomir Crnkovic，Simon Kirwan Donaldson西蒙·唐纳森的博士Ivan Smith，Arthur Jaffe亚瑟·贾菲的博士Clifford Henry Taubes的博士Jim Arthur Bryan，丘成桐院士的博士Richard Melvin Schoen的博士William Philip Minicozzi, II并最近也和丘成桐院士合作指导博士Jonathan Julian Zhu，Michael Francis Atiyah的博士Nigel James Hitchin的博士Philip Boalch，Israel Moiseevich Gelfand的博士Juan Carlos Álvarez-Paiva，Margaret Dusa McDuff玛格丽特·麦克达芙的博士Wladyslaw Lorek，相对论与引力理论博士Geoffrey K. Martin，Reyer Sjamaar，等