图论是海南琼州大学和世界历史上十大天才之一的Paul Erdős大师同任副主编的离散数学的重要领域并最近产生许多惊人的作用如促进的集成电路对中华民族伟大复兴起重要作用及孕育的运筹学催生前8届诺贝尔经济奖。

这页主要说图论的网络流分支：先了解从哈佛大学毕业的3个前辈权威大师的3本网络流的世界名著：Lester R. Ford为第一作者的《网络流》；Eugene L. Lawler独撰的《网络流和拟阵》和Ralph T. Rockafellar独撰的《网络流和单值优化》（并北京大学计算机系邀请海南琼大去做的Petri网就是广义网络流或说源于网络流，并1992年才获Petri网博士的已成H指数欧洲最高的计算机科学家而我也曾读他2002年的书等）。

众所周知,这网络流领域的2篇奠基论文是：⑴哈佛大学Lester R. Ford、Delbert R. Fulkerson这2人合作的这论文， ⑵麻省理工3个博士Peter Elias（“5G标准”巅峰对决的就是他的博士Robert Gallager和徒孙Erdal Arikan）、Amiel Feinstein（他和伟大数学家辛钦最早分别独撰“信息论”著作）和Claude Shannon香农(这香农被认为完爆爱因斯坦媲美牛顿)合作的这论文，他们的这2篇论文独立创建了最大流最小割定理，这是网络流理论的基本重要性定理（哈佛和麻省理工的这2篇论文在和海南琼州大学合作发表多篇SCI论文的美国大师编写的世界名著《图、网络与算法》、上面哈佛大学3个高徒Ford、Lawler和Rockafellar的3本世界名著、超级书《图论》、以及与海南琼大同担任一区SCI杂志的第5个副主编Katta Murty独撰的这里使世界第一企业谷歌等起家的最优化领域都以其为重点).

上面这最大流最小割定理、海南琼州大学证明的Whitney定理（Whitney在哈佛大学毕业就一直留在哈佛大学和曾偶尔到爱因斯坦的普林斯顿研究院-是美国第一个获得数学界影响最大最重要的“诺贝尔奖”Wolf奖的世界领袖-“Whitney”的中文名为“惠特尼”，而海南琼大就证明这个“惠特尼定理”-并这里的第5个参考资料见“Kewen Zhao, Sanya”即第5个参考资料是中国海南三亚的，它也常称为“连通性定理”等，但图论诞生几百年来全世界的所有证明都用归纳法、而至今全世界只有三亚Kewen Zhao的证明不用归纳法并竟然还简捷约十倍-这是惊人的）-并它俩和拓广的Menger定理、Dilworth定理等几种变形在同维度上都是可直接互相推出的等价的，正如Diestel的当今图论世界第一名著《图论》第三章最后的“注解”说“毫无疑义地说连通性定理属于图论中最自然也最实用的结果”“Menger定理可能是图论中应用最广的经典结果”，而且横跨几个重要领域起着基本重要性作用的这几个结果等价，因而可称是“图论”中最重要的结果（而图论在数学甚至计算机科学上的地位如《图论》书被引用率排名数学历史上第五，并在世界上最大的学术演讲视频网中见到(Graph Theory)图论竟有3百多个而数学其它学科一般是几十就不错了且数学其它所有学科加起来都不到3百（如北大才子UIC校长汤涛院士在这视频4分半钟处说“计算机包括阿里很多人做的都是跟图论有关的”。顺注:与这汤涛校长合写这书的密比大丁玖写的这篇文章只分别说5个人：顾静徽、吴健雄、诺特、哈佛大学女校长、以及最后段的和海南琼大合作多篇SCI论文的张平教授-张教授曾说会邀请图论论文总数排名史上世界第4的Gary Chartrand和我们海南琼大合作并此君的书《图论导引》说“Whitney以多种方式对数学作出了贡献，在1944-1949年是AJM杂志编委，1949-1954年是美国数学评论编委，1953-1956年是美国基金数学组主任”-虽然Whitney的这1区的AJM是顶级杂志但影响因子比海南琼大当编委的这些杂志的都低-所以不要唯影响因子论-且虽前不久琼州大学2012年担任到100个编委时海南大学还没人当国际编委、以及琼大是美国数学评论的海南唯一评论员和欧洲数学评论海南唯一评论员十年后海南才有第2个评论员--但现在已泛滥其影响的因子已不值一谈）。

如此以前很多大师都想给出它们的更简单证明,如在对Menger定理等的证明中国际数学联盟主席László Lovász(拉兹洛·洛瓦兹)就为此竭力即他在1970年已给出证明，其后1978年又给出新的解决方案（前半世纪Menger可能比Whitney有声誉-这除了辈份稍高那代历史机遇更好以及Whitney成果尚待形成影响外-还主要因Menger的学生博士太厉害如这里中间部分说的“He also started up the Mathematical Colloquium[创办了数学学术讨论会] in Vienna in 1928 which was addressed by leading mathematicians”并再下几段说“Kurt Gödel had joined his Mathematical Colloquium. While in the United States, Menger kept in touch with the Colloquium in Vienna through Georg Nöbeling and also corresponded with Gödel.而这参与Menger主办讨论会的Gödel哥德尔可是下面爱因斯坦说比他厉害之人-也即这20世纪世界第一数学家还是史上第一逻辑学家的Gödel哥德尔不仅是Menger的本科生，还应是实质硕士博士生-即和Menger同研究组的哈恩仅是Gödel挂名导师（如Gödel在1929年才博士毕业，而之前1926年已博士毕业的Witold Hurewicz都已是Menger和哈恩合作指导的并Menger也应已是他的实质导师--因哈恩一直身体不好并1934年就逝世了）；关于创建给上面定理的Menger的本硕博学生哥德尔是何等世界科学巨人-就如天才中的天才、神一般存在的科学巨人冯·诺依曼等就称哥德尔是亚里士多德以来最伟大的逻辑学家”（关于亚里士多德和逻辑学对现代科学的作用,可参考母校大师开创的中国逻辑学中心这页所述，也如Hegel黑格尔说：“从亚里士多德以来，逻辑学未曾有过任何进展”，而只有到了哥德尔的工作才算是进展）---因而哥德尔和亚里士多德可并称史上最伟大逻辑学家；可哥德尔还是20世纪最伟大的数学家、哥德尔还被誉为现代计算机科学之父和人工智能之父，就如爱因斯坦说:“我自己的工作没什么意思，来上班只是为了有幸和哥德尔一起散步回家”；如哥德尔的不完备性定理,堪称数学、计算机科学、人工智能和逻辑理论中最伟大的发现-可参考霍金所述“哥德尔不完备性定理”以及哈佛大学王浩院士的《逻辑之旅》等--如此我们海南琼州大学就也在哥德尔发表这“不完备性定理”的杂志也发表重要论文-可惜遗憾的是我们海南五指山深山区不仅环境差更一直没有分文经费来向更深更广推进）。另-Menger的博士还如刚见2018年全国卷II高考作文题是根据《消失的弹孔》材料写作文的这材料就是Menger的博士Abraham Wald的故事，还有华人第一个世界大师陈省身院士的导师Wilhelm Blaschke和Menger的博士Hans Hornich是师兄弟等）

再①:上面Dilworth定理是：在任何一个有限格中，不可比元素的最多数目等于用来包含所有元素的链的最少数目（这属于这里海南琼州大学的导师钟先生担任主席的委员撰写中国第一本书的下行Lovász主席做出其关键开拓对后量子密码很关键的领域）-这Dilworth的博士Juris Hartmanis是1993年计算机诺贝尔奖图灵奖得主；

再②:上面与海南琼州大学同任副主编的Katta Murty的导师David Gale大师在1957年的这篇论文也得到存在可行流的比上面最大流最小割定理稍弱的充要条件结果，比上面几个最重要定理稍弱些的还有Edmonds-Karp定理（Karp是1985年的计算机诺贝尔奖图灵奖获得者并他的博士邢波(Eric P.Xing)是全球首所人工智能大学校长），以及完成第二次世界大战最伟大壮举换救了数百万人生命的W. T. Tutte的变形拟阵情形。

再③:上面几个定理还等价于变形的几个著名定理：这页最后段美国数学会以其名冠奖的大师的Delbert Fulkerson定理，国际数学联盟主席Lovász的导师Gallai的导师的Dénes König定理，Philip Hall定理（Hall定理的最好证明属于Richard Rado院士并看到其经历也非凡-如包括和我的副导师杨照华教授改进其工作的Davenport 合作--刚见上面繁忙的汤涛校长都发布的“向日葵引理”就是Richard Rado和上面第一行与海南琼大同当编委的Paul Erdős共同提出的向日葵猜想-并最新进展是和我同名Kewen的伯克利博士生等做出的。可惜就如他与海南琼大同当编委的这杂志发布的Paul Erdős讣告见其只担任这杂志编委20个月就逝世-而他的逝世对离散数学界是难以估量的损失--关于Paul Erdős何等伟大也见这页），等等。

关于图论，海南只有2篇错误论文的1991年前海南琼州大学已在很多领域都做出开拓性贡献并如香港数学会理事长评价为“具有国际领先水平，对该学科有较大的推动作用”，而图论的作用除了如上面汤涛校长所说马云多次是首富的中国第一强企业阿里很对人做图论外，其它还如京东2个副总裁主持的图论计算团队并领衔撰写了《图深度学习》,等等；国外的更如多次位居世界第一企业的谷歌在这里最后可见谷歌就是靠PageRank图论算法起家、谷歌“图论”算法现在又大显身手，一直是世界首富的比尔·盖茨成为首富前只有一篇科研论文并是发表在《离散数学》杂志上的“组合数学”图论论文，等等（即正如这里所说“图论正在吞噬世界，其趋势已无法逆转”、“图论的彻底颠覆一切还如在图数据库的公司已超过微软”，也如上面所说的使也曾是世界第一企业谷歌等起家的最优化领域（更准确地说是靠图论），并还如这里见最近涌现出很多涉及图论与机器学习、人工智能交互的极受重视的领域…、特别是图神经网络等被认为是人工智能的未来等等).因而就如上面Sanya三亚证明图论世界第一定理…以及海南琼大曾开拓许多领域世界领先的图论…

在这学科领域发展的历史进程中，从我们亚洲这里情况也足以说明对计算机等起重大先驱推进作用的是图论，还应不能淡忘图论促进很多图灵奖得主的许多主要学派所做出的先驱性重大开拓贡献而且这些人中的大多都是人工智能先驱，为此下面简述几个主要流派：

第1、卡內基学派：Herbert A. Simon有2个分别担任国际人工智能学会第1届、第2届主席并都获得图灵奖的博士Allen Newell和Edward Feigenbaum（我有Simon和Feigenbaum的多本书，并一直在卡內基大学任教的Herbert A. Simon和 Allen Newell是标志人工智能起源的会议--1956年的达特茅斯会议主要推动者并Herbert Simon还是诺贝尔经济学奖得主）。从事逻辑学和有限自动机的Dana S. Scott1981年至今在卡内基大学任教，该校图灵奖得主还有李开复、沈向洋的导师Raj Reddy；再说该校图灵奖得主模型检测先驱Edmund M. Clarke（他的导师Robert L. Constable的师兄是海南琼州大学的母校大师李匡武即他俩都是在美国威斯康辛大学攻读逻辑学博士。Edmund M. Clarke 的早2届的师兄Kurt Mehlhorn是仅次于哈佛大学的全球第二大研究机构马克斯·普朗克学会的副主席并是美国科学院院士和美国工程院院士等-也是图灵奖的热门人选，Kurt Mehlhorn撰写了1千余页的《组合数学与几何计算平台》世界巨著并我也攻读这巨著使我体会到很多不同的感受，即这书属于海南琼州大学去在里面攻读了3年多研究生的世界第一个成立并名为组合数学研究室的中国第一个组合数学研究室的领域-关于之虽然欧美很厉害但没有省州国家批准的“组合数学研究室”之名）

第2、普林斯顿学派：我们海南琼州大学师爷叔Alonzo Church的博士中有1938年博士毕业的计算机之父兼人工智能之父图灵，Alonzo Church的这页最后的2个博士Michael O. Rabin和Dana S. Scott还同在1976年获得以其师兄命名的计算机诺贝尔奖图灵奖-并还可看到他俩获奖工作与海南琼州大学曾在某些领域世界领先的图论有关（就如这里第4段见被广泛认同为现代图论之父的Frank Harary的导师Alfred Leon Foster都早在1930年已从Alonzo Church获得博士，而下面哈佛学派之祖Howard Aiken在1939年才毕业--所以其比海南琼大师爷叔Alonzo Church的辈份低一代，所以Alonzo Church堪称计算机有实际意义起的之祖并他开创的组合数学算子逻辑就是现代计算机之源法）；此外象最近2007年师徒同年获得图灵奖的艾伦·爱默生(Allen Emerson)和他的导师爱德蒙·克拉克Edmund Melson Clarke, Jr.的导师Robert Lee Constable的导师Stephen Cole Kleene的导师就是这Alonzo Church（还有如这里获得图灵奖的C语言之父Dennis Ritchie等也是他的徒孙）

第3、哈佛学派：四十年代成功地研制出世界上第一台大型自动数字计算机的Howard Aiken霍华德·艾肯，他的博士Kenneth E. Iverson（1962年出版《A Programming Language》）和博士Frederick P. Brooks（著有《人月神话》）分别获得1979年和1999年图灵奖，不过Aiken的11个博士中十个博士的后代博士不到百人而他的博士Anthony G. Oettinger的后代一千余人如此我有他的《Automatic Language Translation》，然而Anthony G. Oettinger的博士Richard M. Karp却主要因研究最小哈密顿图即路径问题中最著名的旅行商问题而获图灵奖、另一博士Eugene L. Lawler在这里中间见国际计算机协会（ACM）设立ACM Eugene L. Lawler Award并他做组合数学的拟阵论以及这里第5见做组合优化。关于这Anthony G. Oettinger如坐落在美国首都华盛顿的The National Intelligence University-国家情报大学只设2个学院其中一个是Anthony G. Oettinger School of Science and Technology Intelligence-这大学源于约翰·肯尼迪总统的极大兴趣和支持下在1962年2月27日整合建立了这大学的前身-国防情报学校并于1973年开始拟议战略情报科学硕士学位试点计划并其后正式授予学位，国会两院通过了该法案,并由吉米·卡特总统签署，1983年才更名为国防情报学院 … 总之，一切都在变化、消逝，而唯一不变、依然屹立的是Anthony G. Oettinger School of Science and Technology Intelligence-一直做为构成这大学的2个学院之一）

第4、再说多年来居世界第一的麻省理工学派：第一个图灵奖得主Alan J. Perlis的导师是博士论文做图论的四色问题的Philip Franklin、还有人工智能之父Marvin L.Minsky。这Marvin L. Minsky的许多书我都有并我有他的博士Berthold Horn的《机器视觉》、他和人工智能先驱Papert派普特合作指导的博士Sussman和Abelson等合写这里第一本经典名著《计算机程序的构造和解释》、还有他的另一博士Patrick Winston的世界名著《人工智能》更是曾影响我国一代人工智能学人。

下面再说某些计算机科学相关领域的重要居点：

第5、斯坦福学派：人工智能之父John McCarthy有2个图灵奖博士Raj Reddy和Barbara Liskov； 斯坦福学派还有：Robert W Floyd的平面图论算法博士Robert Tarjan和博士Ronald Rivest获图灵奖、另一博士Zohar Manna也是这级别的并在以色列指导的博士Adi Shamir已获2002年的图灵奖

第6、伯克莱学派：Manuel Blum在伯克莱时指导的3个博士已获图灵奖（Manuel Blum也做不少图论论文如他和上面第1哈佛的Richard M. Karp等合作的这篇“The complexity of testing whether a graph is a superconcentrator测试图是否为超集中器的复杂性”，Manuel Blum的儿子Avrim Blum也在上面第6的Ronald Rivest的指导下以图论着色学位论文获得博士学位。 Manuel Blum的导师Marvin Minsky也被称为人工智能之父；

第7、洛杉矶学派：博士毕业海南琼州大学的导师去合作学习几年的美国威斯康辛大学的60年代提出可重构计算的Gerald Estrin大师的图论模型士Vinton Cerf（2004年获图灵奖并是至今获得总统自由勋章的仅有的2个计算机专家之一）、最近获得图灵奖的大卫·帕特森（David Patterson）的介绍说他“1976年，获得加州大学洛杉矶分校计算机科学专业博士学位；博士导师是Gerald Estrin”-应该是我导师的校友Gerald Estrin和他的博士联合指导的图灵奖得主。Jean-Loup Baer读2个博士并第二个博士的导师也是Gerald Estrin饼也是做图论模型（这Gerald Estrin的导师也就是美国威斯康辛大学教授Vincent C. Rideout的师兄Simon Ramo就是和林为干院士的导师合写这里的名著的并Simon Ramo被公认是美国工程界的先驱）

第8、康奈尔学派：该校是写海南琼州大学的导师钟集先生是代数王的钟博攻读博士的大学，计算机诺贝尔奖有撰著3本计算机科学名著的John Hopcroft，模型检测先驱Edmund M. Clarke，

第9、离该州的迈阿密大学都有距离的The Ohio State University毕业的Harry Huskey的全部2个博士分别在1984和1992年获图灵奖（有他的视频）；

有不少图灵奖得主在IBM贝尔实验室等科研机构和企业。

（再简介一些图灵奖得主：这个网页里曾说的与王佑曾院士的师弟Kahn同年获得图灵奖的Cerf是做应用图论博士的其论文1/论文2/论文3等都是做图论…[这Cerf的师兄Jean-Loup Baer的博士学位论文也是做图论模型对计算机系统应用并独撰1980年出版《计算机系统结构》，而他俩的师兄David Martin的博士David Patterson就象这里说的其和斯坦福校长John Hennessy合写的《计算机系统结构》和《计算机组成和设计》是这领域最受欢迎的权威教材--并好象他俩也都刚同获图灵奖]

最近Martin Hellman和他的博士Whitfield Diffie同年荣获图灵奖（这Martin Hellman的导师是这里撰写信息论圣经的《信息论基础》的Thomas M. Cover，而Thomas M. Cover的导师Norman M. Abramson和上一段Eugene Wong王佑曾院士的导师John B. Thomas是师兄弟即是Willis W. Harman的4个博士之二、另一博士Nils Nilsson是人工智能领域的开创者之一）

上面哈佛大学Eugene L. Lawler和Jan Karel Lenstra，A. H. G. Rinnooy Kan，D. B. Shmoys合编在1985年出版的465页“The Traveling Salesman Problem: A Guided Tour of Combinatorial Optimization”。

关于网络流的广泛影响性，如模糊数学之父Lotfi Zadeh has two children, Stella Zadeh, Norman Zadeh，His daughter, Stella,…，而他的儿子Norman Zadeh现担任United States Investing Championship机构主席-看易网报导（Norman Zadeh在上面Anthony G. Oettinger的博士Richard M. Karp的指导下获网络流博士，并发表一些著名的网络流论文1、论文2、论文3等，Anthony G. Oettinger的另一博士Eugene L. Lawler也独撰《网络流和拟阵》书籍，Anthony G. Oettinger的书有一章是流图属于这网络流领域-广义上来说网络流又属于图论）。 国内有曾评价海南琼州大学国际一流的林诒勋教授的《线性规划与网络流》以及林诒勋教授的研究生现任中国科学院大学党委副书记兼副校长高随祥的《图论与网络流理论》（国内外很多组合数学书籍都包含线线规划，和我们海南琼州大学同担任Springer的影响因子非常高的SCI杂志副主编的Katta Murty大师独撰的《线性与组合数学规划》很大部分就是网络流-[Katta Murty大师的博士有杨凯院士而杨凯的哥哥杨卫是浙江大学原正校长国家基金委正主席/“杨光华星”更是以他父亲冠名]-并且这书引用图灵奖得主姚期智院士的导师刘炯朗校长的师兄Jack Dennis的《Mathematical Programming and Electrical Networks》-这Dennis的博士Randal Bryant写了很流行的《深入理解计算机系统》--当然这方面最流行的是这里说到2个图灵奖得主David Patterson和John Hennessy的《计算机体系结构》、以及其后上面哈佛学派的Gerrit Blaauw和Frederick Brooks合写的1264页《计算机体系结构》，当然不做专门研究的做一定程度掌握就行）；正如中科院《图论组合与网络研究中心》说“图论组合已经构成了现代网络理论的一个重要基础”并这中心成员即中科院系统所原副所长田丰教授早先出版《图与网络流理论》、国防科大谢政教授的《网络算法》等也是这领域的；也可参考1994年担任IEEE电路与系统学会主席的陈惠开教授的《网论-网络流》和指导12个博士中有傅京孙、蔡少棠、郭法琨、邱锡生这些如雷灌耳的华人翘楚的Mac Van Valkenburg的《网络分析 》等

最后说说图论对Google（谷歌）、Facebook（脸书）、 Twitter（推特）等等的重要作用：如现在各重要大学纷纷成立“大数据学院”--而文章中有脸书CEO讲解图论的这文章标题是“图论是理解大数据的关键”-朱小虎总裁翻译的这文章，此外它还有很多重要作用如刚见这里正文最后一句说“随着对图论知识的深入学习，我们将越来越体会到它在计算机专业的强大应用.”并举一个例子是“从网页排序看图论的重要应用”-这仅节选自较薄的图论书的第11章的4个应用之一的“11.4.3 PageRank”-而这就使得多次连夺/重返世界第一品牌的“Google依靠PageRank[网页排序]算法起家”，除了谷歌还如这文章引言中说“Facebook and Twitter have used the social graph to dominate[社交图论来主导]their markets”，等等。夺取全部高奖金的数学奖的国际数学联盟主席László Lovász最近撰写的475页《大网络与图极限》虽只偏重有限课题但在它们上的展开深度是前沿的-也有利于理解相关课题（非常奇怪的是在数学评论见他有3百余篇论著但这是唯一标题含“network”一词的且一写就是颇为深远的大部头-足见“图”蕴涵“network”），此外,近来图论又发挥很多作用推动很多发展如对人工智能的作用见博士论文就做大网络的斯坦福大学大牛Leskovec的课“Machine learning with graph图机器学习”且值得学学这GNN--因‘图机器学习已成为了机器学习领域中炙手可热的“明星”-并将是人工智能的未来’,等等。（注：哈佛Anthony G. Oettinger 教授在上面书中说建造世界上第一台大型自动数字计算机的他的导师Aiken建议支持写这书和开数学语言学研讨课[涉ACL]，并得到Le Corbeiller和其博士Peter Elias[Elias的博士Gallager和徒孙Arikan分别是LDPC码和Polar码之父-并5G标准最终由它俩颠峰对决]以及其博士Narendra[其博士有何毓琦]和合作指导的博士Greenberger，还有Oettinger的几个师兄弟-图灵奖得主Iverson、Brooks[1999年才获图灵奖而Oettinger的博士Karp1985年已获图灵奖，不过如Brooks的著作《人月神话》得到这里写C语言圣经的图论博士Kernighan说“唯一一本我读过很多遍的书”]和Ashenhurst等为这书做多次讨论（Oettinger的11个师兄弟博士只有他留在哈佛）。附：上面哈佛大学Lester R. Ford大师的博士Edwin F. Beckenbach也主编《Applied combinatorial mathematics应用组合数学》。