这页说微分方程（主要是常微分方程和偏微分方程）

第一、先说偏微分方程（其作用如这页第1、2段见化工之父就做偏微分方程并接着第3段这之父的族师弟和海南琼大同在诞生中国历史上第一个全大会报告的总结大会做全大会报告的也做化学；下面第二部分简述海南琼大师爷的中国先驱弟子的常微分方程):

这领域有2本书得读-就是海南琼州大学杂-…志的编委Paul Garabedian院士的《偏微分方程》，以及Richard Courant柯朗和David Hilbert大卫·希尔伯特的830页巨著《Methods of mathematical physics. Vol.Ⅰ、 II（有中文版“数学物理方法Ⅰ、Ⅱ”》。

我国在这领域较好的书籍有如我国解放后最先一批获得欧美博士的与我们海南省工业与应用数学学会几乎同时筹备却先成立的重庆市工业与应用数学学会主席祝家麟独撰1991年科学出版社出版的《椭圆边值问题的边界元分析》一书，特别是1988年一出中文版就被美国数学会列入其专著翻译系列并隔年就翻译出版的董光昌的这里的《非线性二阶偏微分方程》一书等；当然我国这领域复旦学派不疑是最受重视的如谷超豪、李大潜、陈恕行、洪家兴等60年代起到至今仍在写或再版的一系列偏微分方程/数学物理方程书籍-当然象J. S. Hadamard的博士吴新谋的《数学物理方程讲义》也受推崇，姜礼尚的也很受用，还有周毓麟院士的文集《微分方程数值解》（周毓麟是O.A.奥列尼克院士的博士）等。偏微分方程/数学物理方程内容很广泛，不仅有各种方程算子的基本解、广义解、各种常用的经典解法（如傅立叶变换法、拉普拉斯变换法、球面平均法、分离变量法等）、各类具体方程和问题的解的性质（如各类解的存在唯一、稳定及收敛性、正则性、初值问题或Cauchy问题、边值问题、混合问题、能量不等式、极值原理、最大模与能量模估计、一定边值条件的本征值问题等等一般性的问题而各类方程还各有其要解决的很多问题如量子力学的分立能级问题等），下面就先说偏微分方程相关的一些主要领域：

①-1：粘性解，它由海南琼州大学的导师柳柏濂教授去合作几年的威斯康星大学的教授Michael Crandall为主和P.-L. Lions在1983年的论文中作为对偏微分方程经典解的扩展而引入（这篇威斯康星大学1983年的博士论文也做粘性解-其实Michael Crandall1982年已独立发表1981年报告的同题论文---关于粘性解也可参考非线性的这页中间部分）；①-2：威斯康星大学另一大师为主开创的无穷维哈密顿偏微分方程；①-3：更有这页物理学的特别是第2的⑧计算物理学和②原子核物理处理的主要是偏微分方程描述的物理模型或系统，等…

②-1：海洋研究中探测水下物体的反问题包括海洋资源勘探（就如和海南琼州大学一起担任世界顶级杂志编委的这里附件上第4个专家Yongzhi Steve Xu的博士学位论文及其后的论文就从事这领域）.

②-2：关于反问题、不适定问题及其一些相关问题。A. N. Tikhonov 就写《不适定问题的解法》被Fritz John译为英文-其后王秉忱结合俄英文译出中文版。我国相近书籍有杨文采院士独撰的《地球物理反演和地震层析成象》和贺振华校长主编的《反射地震资料偏移处理与反演方法》，也可参考徐利治大师1989年的《关系映射反演方式》一书-虽建立于相近数学理论基础之上但许多内容方法有诸多相似共通之处（总之反演无处不在并国家一等奖得主都心仪的我们海南琼大攻读的中国第一室的很多领域就涉及如中国计算机学会正理事长支持的只收录海南琼大的导师柳柏濂教授等3人的中文文献的著作以及北大院士邀请我去做的反馈控制、密码设计之反馈移位寄存器、最正统的Gladwell的《振动中的反问题》中的振荡矩阵-它是海南琼大世界领先的本原矩阵和它们的关键基础最优化理论等；关于我的这导师柳柏濂教授-如《南方日报》等曾报导他在几百考生中唯一考上于光远副部长的研究生[那时贫穷没老板而官独尊]-其后1981年授予华中科技大学数学研究生学位时这个徐利治教授正是这校数学系主任[那时研究生少学位有些是联合授予]，经常来信指导海南琼州大学的钟集教授就和这徐利治一同担任全国学会第一届理事长--1993年邀请海南琼大去合作的徐利治还是中国数学教育三座学术高峰中之第一高峰）。国外反问题相近参考书还有维也纳大学校长Heinz Engl主编的包括他的在2005年前担任海南琼州大学的这杂志编委的他的导师M. Zuhair Nashed 等撰写的《Inverse and Ill-Posed Problems不适定和反问题》书也很好，其后这维也纳大学校长Heinz Engl校长1996年也出版《反问题的正则化》一书，再有海南琼大的导师钟集教授是主席的委员陈杰校长独立翻译1985年出版的《广义逆矩阵与正则化方法》等。下段再介绍国内为主的其它书籍）。我们海南琼州大学李壮同志也做反问题如他赶在2008年我国博士是世界最多泛滥成灾前夕的2007年在哈工大完成这博士学位论文“探地雷达反问题的同伦算法研究”（“同伦”是被修辞的核心？就是这里之一的？转专业方向了？）--但还或因以前难如李壮这篇博士论文最后见攻读期间发表的第一作者论文只有4篇--其中前面2篇是这杂志的--即这杂志是这里说百发百中收费还不菲的第4个杂志-并见这杂志没有主编且我国当它编委的竟是外国人也没职称-有点乱似啥可能都有甚至是来中国读本科的如仅最后6人才注明是Dr(若此那没见过-象海南琼大的杂志编委都是美国数学会正副主席以及上面大师等-且前几卷多是大师们的论文并曾经一直花大力严格规范评审至2008年起人才论文泛滥…)—又至海南师大张校长发布的这里第4、第5篇论文也是李壮这杂志的促张校长为海南最伟大科学家(因张合作的第1、2、3篇不是张校长或海南的)-那他们这杂志的应是何等最伟大，不过这杂志的编辑部在泰国、而出版办公室却设立在我国青岛市人民路63号却都没有一个中国人当编委-这更应在其它国家设立-怪得很（从没见到编辑部和出版社分居2个国家的杂志，是中国的钱好骗而为就近捞中国人的钱吗-且现都是在线电子出版论文-已不需要什么出版办公室…）-李壮共4篇中另2篇是小工科的合肥工大主办的《大学数学》(也叫《工科数学》名怪怪的并见“栏目”有“教学”“建模”等)和省级的《黑龙江大学学报》各1篇（哈工大学报至今仅发表省政协主席等海南的4篇论文）李壮其它非第一作者论文共1篇即是第3作者的（数学系林越2008年硕士研究生毕业分来我们海南琼大时我给他合作第2作者的SCI论文约十篇之多他都一直说没用-多次要我给他发表第一作者SCI论文）-李壮的其它都是有待出版的其中只有一篇（即这篇）是这篇注明投去SCI杂志的[但至今仍不见它出版]，这足见以前难，如上面海南师大的张校长的杂志论文如此都成为海南省最伟大科学家，且不仅海南难如80年代初就已在李壮读博士的大学任教的12个教授就做海南琼州大学的导师的学科但至今这12个教授一共仅有22篇论文，而现在三本在校生一年都发表大量成堆世界顶级论文如泛滥成灾不值钱了，而我们海南琼州大学的校长们位子都是仍被享受尽了好条件的海口等的来夺去使扎根深山几十年的干瞪眼否则李壮早就是我们海南琼大最伟大最具资格的校长-而这将使李壮很快就发表了大量世界顶级论文成果-否则就如在重灾区的五指山时之我刚来时特别茫然特别困惑到什么都做不了这特烦就曾使1993年末各省状元都竞争去读的大学的陈院士邀我去做已成首富的、以及1993年清华和中科院计算所邀请去做410亿元的，1993年北大计算机系邀我去做当时很热的P网、北大做控制论的黄院士那时也邀我去、1995年复旦大师去澳洲时也邀我去做集成电路、1993年清华计算机系也邀我去做人工智能其后芯片商业化时清华计算机系邀请去做使民族复兴的芯片以及我从没联系过的美国前十名大学的校学术委员会主席等也打电话到五指山几个系办公室等等当然也还有数学的如这里第1段说1993年全国人大副委员长、北京大学校长丁石孙先生亲笔来信欢迎我去跟他做数学…这因以前一直没有分文经费等…虽李壮条件好一些如多次拿到省重点项目-省重点项目是每次都得约50万元经费并那时至今工资经费等增长约十倍则50万是现约500万元，这因以前之难就如厅长级都只配做他助理的给海南琼大来信说“谈何容易”如我们海南以前各大学的钱老大都一系列错误和混乱并这在重灾区的五指山这更远远不够什么都仍做不了难有好改变--每每想其艰难就怀疑人生（使比李壮条件差得多的我们琼州大学等许多人的论文成果就更差即更少档次更低-那他们的博士论文等从基本要求上来说就很难过关应不能毕业-（象中纪委网说“骗取博士学位、结交政治掮客的工行原副行长张红力被开除党籍”-可他读博时投这篇论文的2010年的《经济管理》居全国第一并其时是最具国际影响力期刊--这样仍是“骗取”-那象我们海南省“骗取”而要被取消的人多了）-可现在三本在校生都发表大量世界顶级SCI论文泛滥成灾许多稍做一下就已300多篇成河如山而想想以前荒芜时代开拓海南之困难重重至气闷头痛胸塞心烦神疲！即竟象我们海南琼州大学在里面攻读了3年多的中国第一个由“诺贝尔奖”得主担任领导的机构-以及攻之前任领导撰著的中国“第一本”数学研究生用书等的都变得糊涂难解深感麻木困惑迷失感似走错道入错门才在上面1993年末起要做上面已成首富以及和美国合作创建中国第一个国际芯片中心的清华大学计算机系唯一国际院士邀去做使中华民族伟大复兴的等，就如因我1994年前被录用的一些论文需要交出版费而申请几百元都一直从没有得到分文处理以致如极简单解决人类史上世界十大天才Erdös的猜想却都因这杂志每期仅出约8篇每年4期全年约30篇而难发表就请北大张恭庆院士等审阅都一直难得发表（海南琼大的这论文最终由首届国家最高奖得主吴文俊院士审阅推荐才得发表；关于北大张恭庆院士这里见他的1979年的书等就已很有影响如此在拍卖网见海南琼大以前一直无法发表的困境下就请张院士审阅的信竟见它被拍卖还不知从哪抄来我是什么美国纽约科学院院士等一堆旧名堂而拍卖260元至无聊之极之怪事使困境中的我更不知所以--就附说这乱七八糟的拍卖如上海医科大学党委书记上海市教育工委党委书记的这个信札、北京大学社长兼全国大学出版社协会理事长的这个信札、南京大学党委委员中国高校学报理事长的这个、《西安交大学报》主编致朱总司令保健医生的这个、兰州大学纪委书记的这个等等全都是仅卖160元；而全国老将军书画博物馆馆长王金育致建国功臣开国将军的这个、商务印书馆总经理于殿利的这个、宣传部长《沈阳日报》总编的这个、军分区副政委武汉警备区顾问的这个、1935年由他作为辅仁大学支部书记参与领导的一二九学生运动的刘国瑞给鲁中军区副政委建国功臣驻外大使的信却更都仅只卖约60元；还有这个分校董事会为展示分校办学15年成果向书画总校大学校长呈送的几页堪称上乘书法作品全都是写我们海南岛的怎才仅卖20元，但把上面首届国家最高奖得主吴文俊院士的这信给它拍卖可能会定个高价？可这使人类史上世界十大天才之一的Erdös的论文中唯一有趣问题发表用啥衡量似有些别扭无聊）

再对上一段反问题的参考书籍作些补充即还可参考Tarantola的《反演理论》，其它偏于各方面的如我为它花不少时间的北大王大钧教授1991年翻译出版Graham Gladwell的《振动中的反问题》并见这书以属于海南琼州大学世界领先的本原矩阵的振荡矩阵来表征振荡、以及发表我们图论重要论文的陈继承和黎罗罗1987年出版《代数特征值反问题》/周树荃和戴华的《代数特征值反问题》/金亚秋的《矢量辐射传输理论和参数反演》/刘天佑的《重磁异常反演理论与方法》/黄光远和刘小军的《数学物理反问题》/谢靖的《地球物理场正反演问题近代数学方法》/栾文贵的《地球物理中的反问题》/何宝侃周熙襄钟本善合撰的《地球物理反问题中的最优化方法》/还有Menke为哥伦比亚大学低年级研究生及高年级本科生写的反演理论书籍等几本国外书也可参考--这些书都是约1993年前出版的书，刚见和海南琼州大学以及香港数学会会长共3个华人一同任职编委的这里33的某被他说是SCI杂志的重点实验室主任王彦飞教授在上段李壮博士毕业的当年出版的专著《反演问题的计算方法及其应用》。此外，就因如杨文采的上面书所说“最常用的正则化方法有Miller正则化及Tikhonov正则化两大类，其中后者已发展成为一种理论和应用上都比较完整的体系”，当然就如上面刘天佑的书等以及这网页最后都说“现代地球物理线性反演理论的基础是由Backus和Gilbert的一系列重要文章所奠定的”其中基石性的Backus-Gilbert方法最近也被证明是正则化方法，但吉洪诺夫等提出的求解不适定问题的吉洪诺夫正则化方法,为反问题的求解提供了一种基本而有效的方法，受到世界各国推崇，如此我也有国际数学联盟副主席传奇数学大师庞特里亚金的师兄Andrei N.Tikhonov吉洪诺夫和他的博士Alexander A. Samarskii萨马尔斯基合撰的《数学物理方程》这套书等；

回过头来在这里介绍偏微分方程的一些世界著名的著作：关于上面最先介绍的第1本书即海南琼州大学杂志的编委Paul Garabedian院士的《偏微分方程》，被认为是较全面及重要专题较深入的极好著作-就是他独立撰写的16大开的672页世界知名巨著《偏微分方程》，作者是第一个数学诺贝尔奖得主的唯一最伟大的学生。与此书密切的是他的获得世界第一个数学诺贝尔奖的导师的世界名著《复分析》（如此Garabedian院士的这书用几章撰写与之相关并一般偏微分方程书籍所没有的“磁流体动力学”和“复域中的偏微分方程”等，这也是Garabedian最近给海南琼大来信说他们主持约1000亿元项目的主要基石，它的部分内容也是海洋动力学的基础等。如此，这应用数学名列美国所有大学中第一的领袖Garabedian院士的这《偏微分方程》半个多世纪以来一直就是欧美重要大学使用的世界著名教材或参考书--这书在更多方面比下面柯朗希尔伯特的有深度如上面所说外还如第11章用Rayleigh's quotient òò_D (u²_x+v²_y)dx dy/òò_D u²dx dy来处理振荡的特征值问题等这都是一般PDE书所难讲到的[Rayleigh是英国首个物理诺贝尔奖得主和英国皇家学会会长、剑桥大学校长而我有的他的巨著《声学理论》就孕育孵化下面课题⑤-1的“有限元法”]，如此在出版之前由美国科学院首个数学女院士也是至今唯一美国数学会女主席Morawetz、维纳的博士Friedman、第3届阿贝尔奖得主Peter Lax、Jim Douglas、J. Berkowitz等7个大师着力阅读过这书稿的各部分。这书的独创程度如文献见Garabedian院士自引19篇，引柯朗9篇，其它人都不过5篇，也引下面Hörmander、彼得罗夫斯基校长和法国中科院外籍院士的导师的即我们研究生时读的《矩阵迭代分析》的这3本书）。其实，给海南琼州大学赵克文来信表达非常乐意担任琼州大学杂志编委的美国数学会正主席James Glimm院士也主要从事“偏微分方程”和“流体动力学”的研究并有许多相关著作。

上面其后介绍的第2本书：Richard Courant柯朗和David Hilbert大卫·希尔伯特的830页巨著《Methods of mathematical physics. Vol. II（副标题是“数学物理方法Ⅱ”》（也见熊振翔和杨应辰翻译1981年第2次印刷的第Ⅱ卷中文版）是一本相当全面的偏微分方程著作需要较多时间经常多磨（钱敏和郭敦仁翻译1958年出版的他俩的《数学物理方法 I.》就基础些）这第Ⅱ卷引用其文献达到5篇次的人有9个：他们是上面海南琼州大学杂志的编委Garabedian院士，Lipman Bers，柯朗自己，柯朗的3个博士Fritz John，Hans Lewy，Kurt Friedrichs，以及前者的博士Peter Lax，Lars Hörmander，I. Petrovsky；而海南琼大师爷叔Morrey和第2届即1979年沃尔夫奖得主Leray都4篇次，足见海南琼大编委是顶级大师；下面创建①-1粘性解的海南琼大导师的大学教授的博士L. C. Evans98年的《偏微分方程》也已是受重视的研究生教材. 上面柯朗的博士Fritz John的《Partial Differential Equations偏微分方程》也被各国广泛使用（它都引用海南琼州大学的杂志编委Paul Garabedian院士，Hörmander，柯朗和希尔伯特的书）

关于偏微分方程较受欢迎的书籍还有不少如Lawrence C. Evans在我们毕业后不久出版的《Partial differential equations》-是研究生入门的基础教材-程度适中并最近在欧美都已很受推崇据说达到“风靡”的状况。在此说一些更深入的专题，如结合泛函分析发展的一些领域：第③-1：线性偏微分方程和一般线性偏微分算子：前者我有Louis Nirenberg路易斯·尼伦伯格大师独撰的世界名著《线性偏微分方程讲义》-这领域国内外著作都不少易找到合适的就不举出了；后者我有1962年Fields奖和其后Wolf奖得主、1987年担任国际数学联盟副主席的Lars Hörmander大师的《线性偏微分算子》由陈庆益译并似还有好几本尚没有翻译（关于这书这领域，学完偏微分方程或数学物理方法也和它尚缺许多交集，需要进一步学它以提高加深对偏微分方程的多方面理解，陈庆益教授翻译为370页的这书共3部分的第一部分 泛函分析--要讲算子当然要先讲一定相关的泛函分析；第二部分 常系数微分算子--各章分别讲微分方程解的存在性及逼近、解的内部正则性和Cauchy问题；第三部分 变系数微分算子--分别讲定强微分算子和具单特征微分算子、Cauchy问题和椭圆型边界问题及无界的微分方程。因没时间细看就对看过的做些记录以免找起来不便：只记我要用到的泛函分析一些基本记号：W为n维空间R_n中的一个开集[3页]；W的一个分布u是C₀^¥(W)上;的一个线性形式，使得对于每个紧集KÌW，存在常数C及k致|u(j)|£Cå_|a|£ksup|D^aj|, jΠC₀^¥(K)，其中D见同页、C₀^¥(W)的定义也见3页。W中所有分布得集记作x¢(W)[7页-记号可与书不同]；关于第二部分的基本解的定义：分布E称为常系数微分算子P(D)的基本解，若对在点0的Dirac测度d有P(D)E=d。Dirac测度的定义见11页；若P(D)和Q(D)是微分算子而使Q^～(x)/P^～(x), xÎR_n，则称Q弱于P并记作Q--<P。P^～(x)初于47页。定理3.6.4 微分方程P(D)E=f对每个fÎx¢(W)有解当且仅当W为强P凸的[强P凸的见定义3.6.1]，等等…；第三部分的开头就说：在第三章我们已经证明，常系数微分方程对任意右端f都能解出，至少对f所在定义的开集的相对紧开子集上是如此。最近Hans lewy[1]发现，当系数是变量时，情况就大不相同，从而展开有解和无解情况的各类更具体的及相关课题的研究…。他还有这个系列-不说了看书就行-具有了大学高年级的程度再了解其领域一些前沿的基本入门知识就可以看相应领域的研究生前沿课程）； 还如拟微分算子和Fourier积分算子：数学皇帝Grothendieck的低几届的师弟Jean-Francois Treves的《伪微分算子和傅里叶积分算子引论》。上面译者陈庆益教授也独撰1985年出版《流形、分布与拟微分算子》；以及沃尔夫奖得主Alberto Calderón的《奇异积分算子及其在双曲微分方程上的应用》，正如我也有的仇庆久、陈怒行院士等1985年出版的《傅里叶积分算子理论及其应用》一书第一章开头说“随着偏微分方程的发展，出现了拟微分算子和Fourier积分算子，它们为研究线性偏微分方程中许多经典问题，以及进而研究一般线性偏微分算子…”。

（关于上面微分算子理论发展的大概历程：20世纪50年代,由米赫林(S. G. Mikhlin)、考尔德伦(A. P. Calderon)和赞格蒙(A. Zygmund)等人发展起来的奇异积分算子理论® 20世纪60年代,尼伦伯格(L. Nirenberg)、科恩(J. J. Kohn)、赫尔曼德尔(L.V. Hormander)及翁特伯格(A.Unterberger)等人推广了奇异积分算子理论，创建了拟微分算子理论®出现了傅里叶积分算子理论®20世纪80年代,又出现仿微分算子理论并广泛应用于非线性问题的研究）。

结合复分析发展的③-2：非线性椭圆型复方程、非线性抛物型复方程、非线性双曲型复方程，复分析中的拟共形映射以及变分学也对偏微分方程产生重要的作用。而结合微分几何黎曼几何发展的偏微分方程也产生许多很受重视的领域如③-3：流形上的非线性分析及蒙日-安培方程-一类从黎曼几何问题中提出来的二阶完全非线性偏微分方程，同时也是卡拉比-丘流形证明的重要工具（这些领域也常归于泛函分析、复分析或微分几何领域的工作）。

虽然各类型方程和方法的基本的都要了解，但进一步的各自应有所侧重如椭圆方程方面的基础书籍有很著名的David Gilbarg和其博士Neil S. Trudinger合写的《二阶椭圆型偏微分方程》（1981年出中文版）：

第③-4：历史上第一个数学诺贝尔奖-Wolf奖获得者Gelfand盖尔范特的《广义函数(Ⅲ)》-在偏微分方程的应用（它主要叙述用广义函数来建立偏微分方程Cauchy问题解的各类唯一性和适定性，以及依微分算子的特征函数展开得理论等，我有Gelfand的前三卷，我也有第2届Fields奖得主Laurent Schwartz洛朗·施瓦茨的《广义函数论》和Avner Friedman院士的《广义函数与偏微分方程》、M. J. Lighthill莱特希尔的《富里叶分析与广义函数引论》、以及冯·诺依曼的5个博士中较有成就的Halperin的《广义函数论导引》-蔡文端院士获1980年Halperin奖）

第③-5：《自然》评价很高的Wolf奖得主A. P. Calderon的《奇异积分算子及其在双曲微分方程上的应用》（伍校长译）。因奇异积分算子生成的交换子可看作这里的Toeplitz型算子，可参考相关论文；北京师大校长陆善镇等基于这书作者的“与强奇异Calderon-Zygmund算子相关的Toeplitz型算子”,中国科学(A)；杨润生,刘岚喆的“一类奇异积分算子的Toeplitz型算子的有界性”,数学学报；陈冬香等的“与强奇异Calderon-Zygmund算子相关的Toeplitz算子的双权估计”,数学年刊，等等（也可参考A. P. Calderon的师弟兼陶哲轩的导师E. M. Stein的《奇异积分与函数的可微性》由程民德院士主译和陆善镇校长的《奇异积分和相关论题》，我也有Yves F. Meyer梅耶尔的《小波与算子》第2Calderon-Zygmund算子和第3卷多重线性算子合编为中文版的第二卷并就如这里说我也有第一卷）

第④-1：拟线性和非线性偏微分方程不疑是偏微分的主流领域，其中领域我也有浙大董光昌教授独撰1988年出版的《非线性二阶偏微分方程》（这书被世界数学大师Louis Nirenberg教授认为：“该书含有许多很好的与深刻的先验估计，是数学估计的百宝箱”），这书前几章讲非线性电报方程的周期边值问题（即多个自变量非线性双曲型方程的周期边值问题g≠0时）、非线性Schrödinger方程的初值问题、以及一些拟线性偏微分方程。

第④-2：其中的完全非线性偏微分方程已成为一个非常活跃的重要数学分支：上面开创粘性解的在海南琼州大学的导师柳柏濂教授去合作几年的威斯康星大学指导多个博士的Michael Crandall教授的90年初的几个博士的学位论文都做“fully nonlinear partial differential equations完全非线性偏微分方程”（在数学家谱搜索的Thesis Keyword输入“fully nonlinear partial differential equations”见最早2篇博士论文是90年代初的并都是他的博士），要知这领域在7、80年代才取得突破并经初步的探索尝试才取得初步的发展，如此他是这领域的先驱并他的博士们在他的指导下也做出一些进一步的开拓性贡献。即这领域虽起源于古典微分几何中的Weyl问题和Minkowshi问题,以及Kahler几何中Calabi猜想的研究.如此它和微分几何以及凸几何还有复几何等数学分支紧密联系。但自经历上世纪7、80年代才取得突破和初步的发展,其后完全非线性偏微分方程才发展成为一个非常活跃的重要数学分支，并且在最优运输,图像处理等领域都有着广泛的应用（在我国王光寅研究员曾探索一类完全非线性偏微分方程，其后1995年到澳大利亚国立大学工作的上面董光昌教授的博士汪徐家院士算是我国最早一批先驱中做的较好的）。

第④-3：反应扩散方程以及无穷维动态系统；

第④-4：这页最后部分的非线性发展方程、演化方程以及孤立子；

第④-5：这里的泛函分析特别是索伯列夫空间在偏微分方程中的应用 （偏微分方程等在很多数学领域都有应用或说是解决其问题的重要工具如在计算数学，此外，我在1999年邀请来我们海南琼州大学做讲座的我们世界知名的组合数学大师刘彦佩教授的这里的《组合泛函方程》的第5、6、7章就分别是差分函数方程、常微分方程、偏微分方程，其后是介子方程）

除了上面这几本适合研究生不同程度的世界著名用书外，适合高年级用的著名书籍也很多，如苏联的世界著名数学家Ivan Petrovsky伊凡.彼得罗夫斯基[1951年-1973年长期担任莫斯科大学校长，并如周恩来总理也曾和彼得罗夫斯基校长交谈]独撰的1956年译为中文版的《偏微分方程讲义》（似乎以前中国编写的几乎所有偏微分方程教学用书参考书都是以这书为主的苏联模式的内容及体裁组织框架为蓝本-几乎是大同小异-也如《1917-57年的苏联偏微分方程》的内容就是椭圆型双曲型抛物型方程这3方面-所以差异主要在体裁组织框架，国内我比较喜欢北京大学姜礼尚教授和陈亚浙教授1986年出版的《数学物理方程讲义》获国家教委一等奖-它和上面莫斯科大学校长的书也许是大学生用书比上面的简单我以前已看了--听说它后来1996年出第二版时添加2作者：在第一版已有付出的该北京大学数学系主任刘西垣教授和我的母校华南师大易法槐教授--易是浙江大学博士而母校丁时进院长是他的博士却这“一等奖”都不邀请合写-是有趣的事。刚见国际数学家大会将颁发以其命名的拉德任斯卡娅奖(Ladyzhenskaya Medal)以及谷歌纪念的 Ladyzhenskaya就是这莫大校长的女博士-并此女人的博士L.D. Faddeev法捷耶夫是苏联至今唯一担任国际数学联盟主席的并虽MGP有这Petrovsky校长和其女博士Ladyzhenskaya的介绍而没有他Faddeev法捷耶夫的介绍-应是误认不够格但“外媒:俄科学巨匠法捷耶夫逝世 系全球数学物理学奠基人”-并他写了“规范场”纤维丛--总之,杨振宁大师对这数学的不谋而合感到震惊和迷惑；关于这校长-2个数学泰斗:A. N. Kolmogorov就写文章纪念这校长和P. S. Aleksandrov等写文章纪念他，这P. S. Aleksandrov校长的博士中也有下面要说的“反问题与不适定问题”主要开创人A. N. Tikhonov (A. N.吉洪诺夫)并我国50年代出吉洪诺夫的中文《数学物理方程》上下册。1993年获沃尔夫奖的来自前苏联的Mikhael Gromov独著的《Partial Differential Relations》；大师中的大师Arnold Sommerfeld独著的《Partial Differential Equations In Physics物理学中的偏微分方程》能看看更好。

偏微分方程与许多数学领域相关的应用专题：数值解法（这常属于偏微分方程的定解问题，但若很难求得这些定解问题的解析解，人们就转向求解它们的数值近似解即主要是在计算机上对偏微分方程的近似求解，这类就属于计算数学范畴）：

⑤-1，有限元法：海南琼州大学推广其开拓基奠的这里最后Richard S Varga大师指导的法国至今3个当选中科院外籍院士之一的他的博士Philippe G. Ciarlet的《有限元素法的数值分析》和《椭圆形方程问题的有限元法》等书；我也有与诺奖得主高锟等创立香港工程科学院并在诺奖得主高锟之后担任院长的毕业于我去了百次的华南理工大学的香港大学常务校长代理校长张佑启院士的《结构分析的有限条法》和《有限单元法实用导论》此书由另一组人译为《实用有限单元分析导论》并合写世界上第一本有限元方法的著作《The Finite Element Method in Structural and Continuum Mechanics》和有这书第一作者他的导师法有限元法之父Zienkiewicz的1985年出的这书第三版《有限元法》上下册（我也读这诺贝尔奖获得者高锟教授《光纤系统：工艺 设计与应用》。关于他俩为第2、3届院长的香港工程科学院-象2010年才当选院士的华云生的博士生李国杰早就已是中国计算机学会唯一名誉理事长）；关于有限元法正如崔俊芝院士翻译的W. G. Strang和G. J. Fix合著的《有限元法分析》的序言和正文第一段都说“有限元法是Rayleigh-Ritz-Galerkin方法的推广”。而‘Rayleigh-Ritz-Galerkin方法是通过泛函驻值条件求未知函数的一种近似方法，由上面英国第一个物理诺贝尔奖得主并当上英国皇家学会会长兼剑桥大学校长的Rayleigh（瑞利）于1877年的他的《声学理论》一书中首先采用’。这《有限元法分析》作者W. G. Strang有许多课程视频可参考；复旦大学的298页的《有限元素法选讲》；清华大学就有龙驭球院士的《有限元法概论》、王勖成教授的《有限单元法》、蒋孝煜教授的《有限元法基础》等；此外，我国有限元法开拓者冯康院士以及张建中、张绮霞、杨自强、曹维潞等合编的《数值计算方法》最后章是“有限元方法”；应隆安教授的《有限元方法讲义》；复旦大学数学系1975年的《微分方程及其数值解》最后章是“有限元素法”（这书虽写得简练但内容还是较多的--第1-6章是常微分方程的、第7-11章是偏常微分方程的）。林群院士的《高效有限元构造与分析》以及李荣华、冯果忱同年修订出版的《微分方程数值解法》第二、三章都是“有限元法”-并第四、五、六章是下面“有限差分法”。我国计算数学事业的主要奠基人和开拓者冯康院士主编国防工业出版社1978年出版的《数值计算方法》最后章是有限元方法并它的前2章是偏微分方程初值问题数值解法和边值问题数值解法。

⑤-2，有限差分法，参考这页创建了北京大学的第一个全国高等院校计算数学教研室的胡祖炽，吴文达翻译1964年出版的海南琼大的导师柳柏濂教授去合作几年诞生教育部通过的中国“第一本”研究生用书的美国威斯康星大学的数学系主任Wolfgang R. Wasow合撰的《偏微分方程的有限差分方法》，也就是这里苏联科学院院长的《迭代法和二次泛函》一书的绪言只指出的3本书之首-Wolfgang R. Wasow合写的《偏微分方程的有限差分方法》，并这里说到的苏联科学院院长的几本数值计算应用书籍我也读，还有海南琼州大学给出他的结果推广证明的哈佛大学前辈大师的担任中国科学院外籍院士的博士学生的几本有限差分法等偏微分方程的书也值得参考（Wolfgang R. Wasow由一个低几年博士毕业的师弟Peter David Lax彼得·拉克斯是世界泰斗级大师。密歇根州立大学毕业的丁玖教授写这文章说到：这Wolfgang R. Wasow和Fred Brauer合作指导的博士Frank Hoppensteadt(霍本斯台特)院长大概还是觉得管理十多个系太耽误研究，几年后他去了另一所州立大学当某个研究中心的主任--并见到Frank Hoppensteadt的6、70年代在纽约大学、80年代犹他大学、90年代密歇根州、2003年已有亚利桑那州立大学博士，而他的更世界闻名的师弟Carlos Castillo-Chavez本来毕业后见在这里世界第11的写不在杨振宁李政道之下的我的导师的钟博教授的美国纽约康奈尔大学指导1993年已有他的第一个博士并直到2006年的博士都是康大的-但其后的博士都是亚利桑那州立大学在的-应该是被他的师兄拉来这校-可见美国教授都不在乎在那个大学工作-他们应追求舒服第一）。我们海南琼州大学推进的Varga大师的《矩阵迭代分析》，以及他的博士高徒的《实用迭代法》这2本80年代以前就被中文等多国语言翻译的称得世界名著就都主要是为使迭代分析或迭代方法用于处理偏微分方程，并这里的这部分与前面苏联科学院院长哪里说的有很大关联，并这苏联科学院院长马尔丘克主撰的《大洋潮汐：数学模型与数值实验》一书以及《核反应堆的数值计算法》一书显然也都是偏微分方程数值计算应用方面的。

⑤-3，有限体积法：可参考谭维炎的《计算浅水动力学:有限体积法的应用》，吕涛、石济民、林振宝合撰的《区域分解算法--偏微分方程数值解新技术》，以及涉及多重网格法等的书籍（主持银河-I、银河-II巨型计算机应用软件的研制与开发的李晓梅教授等的同是1992年出版的786页著作《并行算法》等很多并行计算书籍也给予一定篇幅讲有限元法、有限差分法、多重网格法和区域分解算法等数值解法，也就是这些方法或稍作改进就是很适合于并行计算的方法）

当然上面这些领域多是互相交叉渗透，不过上面这些领域书籍很少涉及复偏微分方程，而我以前也因好奇北京大学在偏微分竟然怎么远不如上面有几个院士的复旦也即和复旦比可说默默无闻-但总感到应并非如此就买北大人的《线性与非线性椭圆型复方程》等，他们主要跟着L. Bers、И.Н.BeKya、A. V. Bitsadze、H. G. W. Begehr以及L. Nirenberg等做（当然，复分析不少领域也涉及偏微分方程如此就也可归属这学科）。

特别还有：大气海洋动力学等方面的偏微分方程建模和处理。任何物质的运动都受到一定的自然规律的制约，我们常见的一些数学物理方程，它们作为描述物质运动的数学模型，是从数量形式上刻画了相应的这些物理定律所确定的某些量之间的制约关系。与建立数学物理方程关系最密切的物理定律大致可以归结为两大类：守恒律和变分原理。其中质量守恒、动量守恒和能量守恒是自然界一切运动都必须遵循的基本规律。对于自然界的某一个特定问题，如果把相应的守恒律数量化，就导出刻画这个问题的微分方程，因此，从这个意义上说，微分方程实质上就是自然界守恒律的数量形式。数学物理的三个最基本的方程-波动方程、位势方程和热传导方程就由守恒律数量化而得出的

关于方程的导出部分，数学家的导出模型总是较理想化或说抽象化而舍弃或理想化很多物理实际背景。那为了更接近实际，这里我就暂不用数学家的导出，而是借用对“波音767飞机的成功设计”做出重大贡献的Paul Garabedian院士的书中的阐述，以更感性体会其波动方程的导出：

空气由大量分子组成，与一般气体相同，每摩尔（Mole，即克分子量，如过去所称）所占体积在标准温度（0°C）和压强（0.76m汞柱）下为22.4´10^-3m³，共有分子数为阿伏加德罗常数6.02´10²³，大约是每毫升（cm³）27´10¹⁸个，非常庞大。但分子很小，直径大约是10^-10m，分子间距离为其10倍，而且分子以很大速度（接近声速340ms^-1）做随机运动，在运动中互相碰撞。所以根本不可能跟踪每个分子的运动。提到空气中的运动，或质点运动，不是谈个别分子的运动，而是指若干分子的平均运动。声学中讲质点就是讲这个“集体”。“质点”尺寸比分子间距离大得多（高几个数量级），但是比实验室中遇到的物体又小得多（低几个数量级）。每个“质点”包括大量分子，在分子无规运动中，有进有出，基本可以看作没有变化的，静止的。这是物理中的点（有尺度）而不是数学中的点（尺度为零），但在数学处理中可以当作数学中的点。而整个气体则看成连续流体，和水一样，忽略分子中的空当。质点就是连续流体中的一个点，静止，在受力时可以移动。质点运动和流体运动制约于物质守恒定律和牛顿运动定律，这也是海洋动力学的基础。如此下面先列举几个基于它们的海洋动力学的方程做为开头以窥其在这领域的应用，其后，再说一些其它相关方程和它们的某些主要解法等

大气学家国家最高科学技术奖获得者叶笃正和中国科协副主席曾庆存院士以及丑纪范、苏纪兰、文圣常、巢纪平、袁业立、陈联寿、冯士筰、丁一汇、方国洪、穆穆、徐祥德等资深准资深院士对海流/气流等动力学状态结构等的研究主要是通过相关微分方程而做为探求实际现象的他们更要重在研究其数值解问题(我前面提及的全部海洋大气院士的著作和某些相关论文我以前都读过且读得很苦不过科学荒芜的以前感到值得苦读-他们的著作都还在我身边)还有许多象出身于承继重普查等的胡敦欣院士也不断转化方法论-胡的导师毛汉礼院士独立翻译的《动力海洋学》准大部头著作我就曾经一直爱不释手（我们都知道别小看各类方程，以至各个方程，其学问大着呢!）:

波浪场的一维Boussinesq控制方程（当然，不只偏微分方程，其它好几个数学学科对海洋动力学也需要起促进的关键作用，如参看Andrew Majda最近2003年出版的《Introduction to PDEs and waves for the atmosphere and ocean大气海洋中的偏微分方程组与波动学引论》）

z_t +(du)_x=0

u_t+uu_x+gzx+h²u_xxt/6-(1/2+B)h(hu)_xxt-Bgh(hz_xxx+2h_xz_xx+h_xxz_x)=0

式中的B=1/21，h是水深

3个色散项也称Boussinesq项

u_xxt=(uⁿ⁺¹_i+1-2uⁿ⁺¹_i+uⁿ⁺¹_i-1)- (uⁿ_i+1-2uⁿ_i+uⁿ_i-1)/(Dx)²Dt，(hu)_xxt，z_xx

近岸风浪SWAN模型

模型的自变量为相对角频率s和波向q，它用二维动谱密度N(s,q)来描述随机波浪场。动谱密度N(s,q)和能谱密度E(s,q)的关系为

N(s,q)=E(s,q)/s

波浪引起的应力t_w可表示为：

t_w=r _wò^2p₀ò^¥₀sBE(s,q)k^-/kdsdq

其中，平均波数k^-定义为(E^-1_wtò^2p₀ò^¥₀sBE(s,q)/Ökdsdq)^-2

二维潮流场数学模型控制方程

连续方程

¶z/¶t+¶[(h+z)u]/¶x+¶[(h+z)v]/¶y=0

抛物型缓坡控制方程

2icc_gA_x+2k(k-k₀)cc_gA+i(kcc_g)_xA+(cc_gA_y)_y-k(cc_g)K|A|²A=0

C和c_g分别是波相速度和波群速度，k是波数

双曲型缓坡控制方程

l₁¶h/¶t+l₂h¶P/¶x+¶Q/¶y=SS

l₃¶P/¶t+l₄P+c²_g¶h/¶x=0

l₃¶Q/¶t+l₄Q+c²_g¶h/¶y =0

其中，P和Q是波浪水质点沿水深垂向积分的速度函数

SS是入射波源项。

椭圆型缓坡控制方程

基本控制方程

F(x,y,z,t)=Re[f(x,y,z)e^iwt]

w是圆频率，t是时间

拉普拉斯方程

¶²f/¶x²+¶²f/¶x²+¶²f/¶x²=0

动量方程

¶u/¶t+u¶u/¶x+v¶v/¶y-fv=-g¶z/¶x-guÖ(u²+v²)/(c²h+c²z)+A_tt(¶²u/¶x²+¶²u/¶y²)

¶v/¶t+u¶v/¶x+v¶v/¶y+fv=-g¶z/¶y-gvÖ(u²+v²⁺)/(c²h+c²z)+A_tt(¶²v/¶x²+¶²v/¶y²)

其中，t是时间，x,y是与静止海面重合的直角坐标系坐标，u,v分别是沿方向的流速分量，h是海底到静止海面的距离，z是自静止海面向上起算的海面起伏，f是柯氏参数，g是重力加速度，A_tt是水平涡动粘性系数，c是谢才系数，

泥沙场二维潮流、悬沙的基本方程可表述为如下形式：

连续方程

¶z/¶t+¶[(h+z)u]/¶x+¶[(h+z)v]/¶y=0

动量方程

¶u/¶t+u¶u/¶x+v¶v/¶y-fv+g¶z/¶x-(t^a_x-t^b_x)/( r _wh+r _wz)=e_x(¶²u/¶x²+¶²u/¶y²)

¶v/¶t+u¶v/¶x+v¶v/¶y-fu+g¶z/¶y-(t^a_y-t^b_y)/( r _wh+r _wz)=e_y(¶²v/¶x²+¶²v/¶y²)

先考虑一维声波，质点振动和声波传播在同一方向，取为x方向。在与其垂直的方向，y方向和z方向，质点运动相同。这就是平面波，波阵面（位相相同的质点面）是平面。声波的基础是流体动力方程。

连续性方程：

这根据质量守恒定律。如图1.2所示（小立方体，可看该书），在空间一个小体积dxdydz中的一个平衡关系。质点在x方向运动，每秒钟由左边表面流入的气体质量为rudydz，在右边表面流入的气体质量为[ru+(¶(ru)/¶x)dx]dydz。小体积内气体质量的增加如有(¶r/¶t)dxdydz。平衡关系应为 (¶r/¶t)dxdydz=rudydz-[ru+(¶(ru)/¶x)dx]dydz

或 ¶r/¶t+¶(ru)/¶x=0   这就是连续性方程

运动方程：

运动方程即牛顿第二定律，力等于质量乘加速度。仍考虑小体积dxdydz。左边表面上受力为pdydz，右边表面受力为[p+(¶p/¶x)dx]dydz，二力相抵，体积dxdydz内气体所受净力则是向右-(¶p/¶x)dxdydz。这应该等于体积内的气体动量增加率，即

r(¶u/¶t)dxdydz=-(¶p/¶x)dxdydz

把u的微商写成全微商，即动量的增加率除了与u在一定点上的增加率成比例外，由于u也随x改变，在经过单位距离所有的u的增加（¶u/¶x）乘以u也是动量增加率的一部分，因此上式写成

r(¶u/¶t+u¶u/¶x)+ ¶p/¶x=0

这就是运动方程，用直角坐标表达是欧拉最初使用的，所以称为欧拉动量方程，或连同连续性方程一起称为欧拉流体动力方程。但有三个未知量，r，u，p，两个方程式还不足以求解，还需要第三个方程。

物态方程（这第三个方程是根据气体的热力学性质而求得的，具体导出过程在此略去）：

p/P₀=(r¢/r₀)^g

式中P₀和r₀为空气的静态（或平均）的压强和密度。小写的p和r为二者的变化部分，声压和密度增量。g为比热比，其与分子结构有关，对于空气或其它双原子分子g=1.4。

在欧拉坐标系中，声波的上面三个基本方程

¶r/¶t+¶(ru)/¶x=0

r(¶u/¶t+u¶u/¶x)+¶p/¶x=0

p/P₀=(r¢/r₀)^g

都包含二阶项，所以声波基本是非线性的。现先考虑线性关系，即在这三个方程略去二阶项，得

¶r/¶t+r₀¶u/¶x=0                       ………（I）

r₀¶u/¶t+¶p/¶x=0                       ………（II）

r¢c₀²=p， c₀²=gr₀/P₀             ……… （III）

在（I）和（II）间消去u，并利用（III）就得到波动方程

¶²p/¶x²-(1/ c₀²)¶²p/¶t²=0

一个系统中，熵的增加与热量增加成正比，

dS=dQ/T

绝热过程dQ=0，也可称等熵过程，dS=0或

dS/dt=0

用全微熵，S不因任何运动而改变。全微熵可写做

¶S/¶t+vÑS=0

欧拉质量守恒方程是

¶r/¶t+vÑr=0

二式结合，可得熵的连续性方程是

¶rS/¶t+ Ñ×·(rS v)=0

可以证明，在流动（或波动）中，任何能量损失（如黏滞性，热传导等）都要使系统的熵增加。在热机学中，熵的应用更多。在所有过程中，熵不能减少，

dS/dt³0

这是热力学第二定律--关于它和熵可参考这里的阐述及其某些应用。[气体的内能增加等于内能增加和对气体所做的功（增加的动能），dE=dQ-PdV/T，这是热力学第一定律。对气体加压力时P时，其体积要缩小，所以这一项用负号，体积V减小，一定质量M的气体，其体积与密度成反比，rV =M。岁以上面的内能式子也可写成dE=dQ+(P/r²)dr ]，热力学第一、二定律都普遍适用于一切热力学系统。）

下面补充构成偏微分方程主体框架的基本问题为备忘录。

初值问题（低维情形）；可参考北京大学计算数学2个主要开创者之一的胡祖炽和雷功炎合写的《偏微分方程初值问题差分方法》,北京大学出版社1988年（这书为大学高年级和研究生写；更应参考海南琼州大学的导师柳柏濂教授去合作几年诞生教育部通过的中国“第一本”研究生用书的美国威斯康星大学的数学系主任Wolfgang R. Wasow合撰受到世界各国推崇的世界名著《偏微分方程的有限差分方法》最后一章标题是“含多于2个自变量的初值问题”，这书是为数学家和研究生写，由北京大学胡祖炽和吴文达翻译）,

初值问题（高维情形），也可参考上面书籍以及其他相关书籍。

N=3的情考虑三维波动方程的Cauchy问题

ÿu=¶²u/¶t²-a²(¶²u/¶x₁²+¶²u/¶x₂²+¶²u/¶x₃²)=f(t,x), R³´(0, ¥), u|_t=0=j(x), (xÎR³), u_t|_t=0=y (x), (xÎR³) ………(1.7).

问题（1.7）的解是u(x,t)= ¶/¶t[1/(4pa²t)òò_Sat(x) j(y)dS+ 1/(4pa²t)òò_Sat(x) y (y)dS+ ò₀^t 1/(4pa²t-r) [òò_Sa(t-r)(x) f (y,,r) dS ]dr. ………(1.8).

N=2的情考虑二维波动方程的Cauchy问题

ÿu=¶²u/¶t²-a²(¶²u/¶x₁²+¶²u/¶x₂²)=f(t,x), R²´(0, ¥), u|_t=0=j(x), (xÎR²), u_t|_t=0=y (x), (xÎR²) ………(1.9).

二维问题的解u(x₁, x₂,t)总可以看成高一维空间(x₁, x₂ x₃,,t)中函数u^-(x₁, x₂ x₃,,t)= u(x₁, x₂,t)，但它的自变量与x₃无关，因此满足三维方程。

这就可以把u^-(x₁, x₂ x₃,,t)表示成

u^-(x₁, x₂ x₃,,t)= 1/(2pa) ¶/¶t[òò_åat(x)j(y)/Ö(a²t²-(y₁-x₁)²-(y₂-x₂)²)dy ]+ 1/(2pa)òò_åat(x) y (y)/Ö(a²t²-(y₁-x₁)²-(y₂-x₂)²)dy +1/(2pa) ò₀^t òò_åat(x) f (y,,r)/Ö(a²(t-r)²-(y₁-x₁)²-(y₂-x₂)²)dydr. ………(1.10).

定理1.5 若jÎC³(Rⁿ)，yÎC²(Rⁿ)及f ÎC¹(Q^-)，这里Q={(x,t)| xÎRⁿ，0< t} 则由表达式（1.8）、（1.10）给出的函数分别是定解问题（1.7）、（1.9）的解。

能量不等式

我们可以象一维的情形那样去建立能量不等式，其证明过程与一维无根本区别。N=2时，对应于定理3的（I）的估计式为òò_Wr[u_t²+a²|Ñu|²]dxdy£M[òò_W0[y²+a²|Ñj|²]dxdy +òòò_Krf²(x, t) dxdydt ],

对应的其它情形也类似可得

边值问题

齐次边值问题

-Du=lu, xÎW

¶u/¶n|_¶W=0

称为特征值问题，使此问题有非零解的lÎR称为此问题的特征值，相应的非零解称为对应这个特征值的特征函数，记为u_l。

定理2.10 第二边值问题

-Du=lu+ f, xÎW

¶u/¶n|_¶W=g

有C¹(W^-)∩C²(W)上的解的必要条件是对于相应的任意特征函数u_l(x)，成立

ò _W f (x) u_l(x)dx+ò _¶W g(x) u_l(x)dS(x)=0

非齐次边值问题

可参考法国科学院院长/国际数学联盟主席Jacques-Louis Lions利翁斯大师和这里非常重要的Brezzi定理提出者的导师Enrico Magenes合写的《Non-homogeneous boundary value problems and applications非齐次边值问题及其应用》洋洋大观的3大卷：357页的第一卷、242页的第二卷、308页的第三卷（我国高等教育出版社1987年出它的中文版）。这3卷源于Jacques-Louis Lions利翁斯1962年的讲义《偏微分方程的边值问题》即正如利翁斯为李大潜院士1980年翻译出版这书中文版所说“自从本讲义出版以来，和其中所涉及的主题有关的另外一些工具已经出现。一方面，线性映射的插值理论及对非齐次问题的转置理论已经在本作者和Enrico Magenes的书《Non-homogeneous boundary value problems and applications非齐次边值问题及其应用》卷1、卷2和卷3中得到系统的研究。另一方面变分不等式…”。关于后一方面可参考他合撰的776页的《Numerical Analysis of Variational Inequalities数值分析的变分不等式》-中文的有Mosco1985年的/周叔子1988年的/张石生1991年的等等。从事偏微分方程数值解和油藏工程的陈掌星院士也在这领域做出很好工作。

混合问题

分离变量法或说Fourier方法是偏微分方程中一个重要的求解方法。它不仅适用于波动方程，而且也适用于热传导方程、位势方程，以及某些形式更复杂的方程和方程组，在下面我们将以两端固定在一维弦振动方程的混合问题为模型，阐述分离变量法的解体题过程、理论基础和它的物理背景。我们也还将建立能量不等式，并扩展解的概念，定义波动方程混合问题的广义解，从而大大放松了对定解资料的要求，使过去认为没有解的问题，在新的意义下被证实是可解的。

分离变量法

考虑两端固定的弦振动方程的混合问题：

¶²u/¶t²-a²¶²u/¶x²=0, Q={0< x < t , t >0}, ………(1.11)

u(0, t)= u(l, t)=0 , (t >0), ………(1.12)

u(x, 0)=j (x), (0£ x £l) , ………(1.13)

u_t(x, 0)=y (x), (0£ x £l) ………(1.14)

首先设法找到所具有变量分离形式的满足方程(1.11)和边界条件(1.12)的非零特解.所谓函数u(x,t)具有变量分离形式,即它可表为u(x,t)=X(x)T(t)的形式，把它代入方程（1.11）和边界条件（1.12）即得

XT²- a²X²T=0 或XT²/ a²T = X²/X ………(15)

以及 X(0)T(t)=X(l)T(t)=0 ………(16)

在（1.13）式中，左端是t的函数，右端是x的函数，而它们在区域Q={0< x < t , t >0}上恒等，因此它们只能是常数。我们把这个常数记为-l，从而有

T²+ a²lT =0 (t >0) ………(1.17)

X²+lX=0 (0< x <l ) ………(1.18)

由于所要求的u(x,t)是非零解，故T(t)≢0，由（1.16）式，必有

X(0)=X(l)=0 ………(19)

定义：使常微分方程（1.18）、（1.19）具有非零解的那些l值称为边值问题的特征值；相应的非零解称为对应于这个特征值的特征函数；寻求齐次边值问题（1.18）、（1.19）的所有特征值和特征函数的问题称为特征值问题或称为Sturm-Liouville问题。

对于二阶常微分方程（18）的Sturm-Liouville问题，我们有下面结论：

定理1.6 在[0, l]上特征值问题

X²+lX=0 (0< x <l )

-a₁X¢(0)+b₁X(0)=0

a₂X¢(l)+b₂X(l)=0

（其中a₁、a₂、b₁、b₂³0，a₁+b₁¹0，a₂+b₂¹0）具有以下的性质：

（1）所有特征值都是非负实数，特别是当b₁+b₂>0时，所有特征值都是正数。

（2）所有特征值组成一个单调递增以无穷远点为凝聚点的序列：0£l₁<l₂…<l_n<…,lim_n®¥l_n=¥.

（3）不同特征值对应的特征函数必正交；即若X_l(x),X_m(x)分别是对应于不同的特征值l,m的特征函数，则ò₀^l X_l(x)X_m(x)dx=0.

（4）任意函数f (x)ÎL₂[0, l]可以按特征函数系{X_n(x)}展开，即f (x)=å_n=1^¥C_nX_n(x)，其中C_n=ò₀^l f (x)X_n(x)dx /ò₀^l X²_n(x)dx。

这里所说的展开是指,lim_N®¥|| f (x)- å_n=1^NC_nX_n(x)|| _{L2[0, l]}¥=0。

这个定理很重要，是整个分离变量法的理论基础。（证明略）

综上所述（上面略即解(1.11)和(1.12)式后，把所有的u_n(x, t)叠加起来，使它适合初始条件（1.13）（1.14），即取u(x, t)= å_n=1^¥ u_n(x, t)= å_n=1^¥ (A_nsin (anp/l)t+ B_ncos (anp/l)t) sin (np/l)x ………(1.20)） ，分离变量法解题步骤可分为三步：

第一步、令u(x,t)=X(x)T(t)适合方程和边界条件，从而定出X(x)所适合的Sturm-Liouville问题，以及T(t)适合的常微分方程。

第二步、解Sturm-Liouville问题，求出全部特征值和特征函数，并求出相应的T(t)的表达式

第三步、将所有变量分离形式的特解叠加起来，并利用初值定出所有待定常数。

当然，为了证明形式解（20）确实是解，关键在于证明所求微商和取极限的过程可以与和号交换。

定理1.7 若j(x)ÎC³[0, l]，y(x)ÎC²[0, l]及j(x)、y(x)在定解区域的角点(0, 0)、(l , 0)适合相容性条件：

j(0)= j (l)= j²(0)= j²( l)= y(0)=y(l)=0，

则（1.20）式给出的函数u(x, t)确实是混合问题(1.11)、(1.12) 、(1.13)、（1.14）的属C²(Q^-)的解（证明略）

针对这个定理，上面那解题的三步也可以更具体和有针对性。

能量不等式

为了研究混合问题解的唯一性和稳定性，我们对波动方程的混合问题建立能量不等式。为简单起见，以一维的情形为例，

定理1.8 （能量不等式） 设uÎC¹(Q_T^-)∩C²(Q_T)是波动方程混合问题(1.11)、(1.12) 、(1.13)、（1.14）的解，其中Q_T=(0, l)´(0, T)，则存在只依赖于T的常数M，使得

（I）ò₀^l _r[u_t²(x, r)+a²u_x²(x, r)]dx£M[ò₀^l [y²+a²u_x²(x, r)]dx +òò_QTf²(x, t) dx_fdt ], （II） òò_QT[u_t²(x, r)+a²u_x²(x, r)]dx_fdt£M[ò₀^l [y²+a²u_x²(x, r)]dx +òò_QTf²(x, t) dx_fdt ]，其中0£r £ T，且在（I）中当f=0时，M=1，不等号由等号代替。

广义解

定义 u(x, t) ÎC(Q_T^-)称为定解问题(1.11)、(1.12) 、(1.13)、（1.14）的广义解，如果对任意的z(x, t)ÎD，òò_QTu(z_tt-a²z_txx)dx_fdt+ò₀^l jz_t(x, 0)dx- ò₀^l yz(x, 0)dx=0, ( D={z(x, t) ÎC²(Q_T^-)| z(x, T)= z_t(x, T)= z_t(0, t)= z_t(l, t)=0})

定理1.9 波动方程混合问题(1.11)、(1.12) 、(1.13)、（1.14）的广义解必唯一。

定理 若j(x)ÎC³[0, l]，j(0)=j (l)=0，及j²(x)、y(x)在定解区域分别除了有限个点以外连续，而在这些点两侧存在左右极限，则定解问题(1.11)、(1.12) 、(1.13)、（1.14）存在唯一广义解，而且它仍可表成(1.20)形式。

2、位势方程

第一边值问题（也称Dirichlet边值问题：−∆u=f, xÎW; u=g, xζW）；第二边值问题（又称Neumann边值问题：−∆u=f, xÎW; ¶u/¶n|_¶Ω=g）；第三边值问题（−∆u=f, xÎW; ¶u/¶n+a(x)u(x)=g(x), a(x)>0，xζW）；一类齐次边值问题-特征值问题（−∆u=l u, xÎW; ¶u/¶n|_¶Ω =0, xζW）；对定解问题适定性的讨论是偏微分方程研究的主要内容：把定解数据j₁,j₂(初值)看作线性赋范空间H中的元素，把它们相应于同一个定解问题的解u₁,u₂看作线性赋范空间U中的元素，则解的稳定性可表达为，任给e>0，存在d>0，使得只要||j₁−j₂||_H<d，就有||u₁−u₂||_U <e。注意满足Laolace方程且具有二阶连续偏导数的函数-调和函数的许多关键性质；

定理2.1 假设u(x)是一个Rⁿ上的调和函数，则

（1）u(lx)是一个的调和函数，其中l是任一实数。

（2）u(x+x₀)是一个的调和函数，其中x₀ÎRⁿ固定。

（3）u(Ox)是一个的调和函数，其中O：Rⁿ®R是一正交变换。

定理2.2 （平均值公式） 假设uÎC²(W)是W上的调和函数，则对于任意的球B(x,r)ÌW，有

u(x)=∱_¶B(x,r)u(y)dS(y)= ∱_B(x,r)u(y)dy

其中积分符号∱表示求平均值

定理2.3 假设uÎC²(W)满足，对于任意的球B(x,r)ÌW，

u(x)=∱_¶B(x,r)u(y)dS(y)

则u(x)是调和函数。

定理2.4 假设W是Rⁿ上的有界开集，uÎ C²(W)∩C(W^-)是W上的调和函数，则

（1）u(x)在W^-上的最大（小）值一定在边界¶W上达到，即max _W-u=max _¶Wu;

（2） 如果W是连通的，且存在x₀ÎW使得调和函数u(x)在x₀点达到W^-上的最大（小）值，则u在W^-上是常数。

定理2.5假设u是W上的调和函数，则对于任意的球B(x,r)ÌW，任意阶数为k的多重指标a，估计

|D^a u(x)|£C_k/(r^n+k)ò _B(x,r)|u(y)|dy

成立，其中C₀=1/a(n), C_k=(n+k)^n+k(n+1)^k/[a(n)(n+1)ⁿ⁺¹]

定理2.6(Liouville定理) 假设u(x)是Rⁿ上的有界调和函数，则u是常数。

定理2.7 假设u是W上的调和函数，则u是W上的的解析函数。

基本解

定义 对xÎRⁿ，x¹0，称函数 G(x)=−ln|x|/2p当n=2，G(x)=1/[n(n-2)a(n)|x|^n-2]为Laplace方程的基本解。

u(x)= ò_Rn G(x-y) f (y) dy. ………(2.1)

定理2.8 假设f (x) Î C₀²(Rⁿ ), u(x)由(2.1)式定义，则u Î C²(Rⁿ )且满足-Du=f.

即若f(x)ÎC²₀(Rⁿ)则由基本解构造的u(x)=ò_RnG(x−y)f(y)dyÎC²₀(Rⁿ)且是位势方程−∆u=f的解。

定理2.9 假设f (x) Î C₀²(Rⁿ ),则

u(x)= ò_Rn G(x-y) f (y) dy+C

是位势方程-Du=f.在全空间Rⁿ 上的所有解。

Green函数

定义 对于任意x,yÎW, x¹,y, 函数G(x, y)= G(y-x)-f^x(y)称为W上的Green函数。

其中f^x(y)满足方程

-Df^x(y)=0, yÎW

f^x(y)|_¶W= G(y-x)

定理2.11 (解的表达式) 假设W是Rⁿ上的有界开集，uÎ C²(W)∩C(W^-)是上面Dirichlet边值问题的解，则

u(x)=-ò _¶W g(x)(¶/¶n)G(x, y) dS(x)+ ò _W G(x, y) f (y) dy

定理2.12 (Green函数的对称性) 对所有x,yÎW, x¹,y,有G(x, y)= G(y x)

半空间上的Green函数

定理2.13 假设g是R^n-1上(n³2)上的有界连续函数，对于任意的xÎRⁿ₊，u(x)由Poisson公式定义，即

u(x)=ò _Rn-1 K(x,y)g(y)dy （注意K(x,y)的规定）

则（1）u(x)是Rⁿ上无穷次可微的有界函数。

（2）-Du(x)=0, xÎRⁿ₊;

（3）对于任意x₀ζRⁿ₊，当xÎRⁿ₊，且x®x₀时，u(x)® g(x₀)。

球上的Green函数

定理2.14 假设B(0,R)ÌRⁿ，u(x)® g : ¶B(0,R)®R连续，对于任意xÎB(0,R)，函数u(x)由Poisson公式定义，即

u(x)=ò _¶B(0,R)K(x,y)g(y) dS(x)

则（1）u(x)是B(0,R)上无穷次可微的有界函数。

（2）Du(x)=0, xÎ B(0,R);

（3）对于任意x₀ζB(0,R)，当xÎB(0,R)，且x®x₀时，u(x)® g(x₀)。

极大原理和最大模估计

极大原理

这里讨论比位势方程更一般的方程：

Lu=−∆u+c(x)u=f(x), xÎW; ………(2.2)

定理2.15 假设c(x)³0,f(x)<0。如果uÎ C²(W)∩C(W^-)满足方程(2.2)，则u(x)不能在W上达到它在W^-上的非负最大值，即u(x)只能在¶W上达到非负最大值。

定理2.16 假设c(x)³0,f(x)£0。如果uÎ C²(W)∩C(W^-)满足方程(2.2)，则u(x)必在¶W上达到它在W^-上达到的非负最大值。

定理2.17（Hopf引理） 假设B_R是Rⁿ(n³2)上的一个以R为半径的球，在B_R上c(x)³0且有界，如果uÎ C²(B_R)∩C¹(B_R^-)

（1） Lu=−∆u+c(x)u=f(x) £0, xÎB_R;

（2）存在x₀ζB_R使得u(x)在x₀点达到在B_R^-上严格非负最大值，即u(x₀)=max _BR-u(x)³0,且当xÎB_R时，_-u(x)< u(x₀)，则¶u/¶v| _x=x0>0,

其中v与¶B_R在x₀点的单位外法向量n的夹角小于p/2。

定理2.18 （强极值原理） 假设W是Rⁿ上的有界连通开集，c(x)³0且有界。如果uÎ C²(W)∩C(W^-)在W上满足Lu£0，且u(x)在W内达到它在W^-上的非负最大值，则u在W^-上是常数。

最大模估计

在这里我们考虑位势方程的第一和第三边值问题的最大模估计。（参考J. L. Lions主席的《偏微分方程的边值问题》）

考虑位势方程的Dirichlet边值问题（当然和上面的一致）

−∆u=f(x), xÎW;

u|_¶W=g,

定理2.19 假设uÎ C²(W)∩C(W^-)是Dirichlet边值问题的解，则

max _W-|u(x)|£G+CF，

其中G =max _¶W|g(x)|, F=sup _W|f(x)|, C是一个仅依赖于维数n以及W的直径d==sup_x,yÎW|x-y|的常数。

再考虑边值问题

−∆u+c(x)u=f(x), xÎW;

[¶u/¶n+a(x) u]|_¶W= g(x) ………(2.3)

其中若a(x)º0，则问题称为第二边值问题或Neumann问题；其中若a(x)>0，则问题称为第三边值问题或

定理2.20假设c(x)³0, a(x) ³a₀>0, 如果uÎC²(W)∩C¹(W^-)是边值问题(2.3)的解，则估计

max _W-|u(x)|£ C (G+F),

其中G =max _¶W|g(x)|, F=sup _W|f(x)|, C是一个仅依赖于维数n, a₀及W的直径d==sup_x,yÎW|x-y|的常数。

定理2.21 如果u_iÎC²(W)∩C¹(W^-)(i=1,2)是满足第三边值问题

−∆u_i+c_i (x)u_i=f_i (x), xÎW;

[¶u_i/¶n+a_i (x) u_i]|_¶W= g_i(x)

的解，其中c_i(x)³0且有界， a_i (x) ³a₀>0,则估计

max _W-|u₁- u₂|£ C (max _¶W|g _1- g₂|+ sup _W|f _1- f₂|+ max _¶W|a₁- a₂|+ sup _W|c₁- c₂|)成立,

其中C是一个仅依赖于维数n, a₀及W的直径d==sup_x,yÎW|x-y|的常数和max _¶W|g _{1- g2}|+ sup _W|f _{1- f2}|的常数。

能量模估计

定理2.22 假设c(x)³c₀>0, 如果uÎC²(W)∩C¹(W^-)是Dirichlet边值问题的解，则

ò_W|Du(x)|² dx + c₀/2ò_W|u(x)|²dx£Mò_W |f²(x)|dx_f

其中M是仅依赖于c₀的常数。

定理2.23(Friedrichs不等式) 假设uÎC¹(W)，则

ò_W|u(x)|² dx £4d²ò_W|Du(x)|²

其中d是W的直径d==sup_x,yÎW|x-y|的

定理2.24假设c(x)³0, 如果uÎC²(W)∩C¹(W^-)是Dirichlet边值问题的解，则

ò_W|Du(x)|² dx + ò_W|u(x)|²dx£Mò_W |f²(x)|dx_f

其中M是仅依赖于c₀的常数。

定理2.25假设c(x)³c₀>0, a(x) ³0, 如果uÎC²(W)∩C¹(W^-)是第三边值问题的解，则

ò_W|Du(x)|² dx + c₀/2ò_W|u(x)|²dx+ ò_¶W a(x)u(x)²dS(x) £Mò_W |f²(x)|dx_f

其中M是仅依赖于c₀的常数。

3、热传导方程的研究内容和范围也差不多，因篇幅就在这省略

方程的基本解G(x)=−ln|x|/2p当n=2，G(x)=1/[n(n-2)a(n)|x|^n-2]当n³3；其后，。关于第一边值问题(Dirichlet问题)最多只有一个解uÎC²(W⁻)。现在我们把求解等价于求一个泛函的极小函数（变分方法），为此定义能量泛函I[w]=ò(|Dw|²/2−wf)dx,，其中wÎA={wÎC²(W⁻)| w|_¶W=g}，称A为容许函数类，定理：设uÎC²(W⁻)是Dirichlet问题的解，则I[u]=min_wÎAI[w]；反之，若wÎA满足I[u]=min_wÎAI[w]，则u是Dirichlet问题的解。（Dirichlet问题还可深入认识各种典型的形式，如三维情形且f=0时解若存在，则必唯一且连续地依赖于所给的边界条件）。关于第二边值问题有解的必要条件ò_Ωf(x)dy+ò_¶Ωg(x)dS(x)=0；x≠yÎW上的Green函数G(x,y)=G(y-x)-f^x(y)（注意调和函数f^x(y)的引进），其后Green函数对称，半空间上xÎRⁿ₊,yζRⁿ₊ ,n³3时¶G(x,y)/¶n=−¶G(x,y)/¶y_n=−2x_n/[na(n)|y-x|ⁿ]=K(x,y)称为Rⁿ₊上的Poission核，定理：假设g是¶Rⁿ₊=R^n-1(n³3)上的有界连续函数，对于任意xÎRⁿ₊,u(x)=ò_Rn-1K(x,y)g(y)dy，则 u(x)是Rⁿ₊上无穷次可微的有界函数；∆u=0当xÎRⁿ₊；对于任意x₀ζRⁿ₊, 当xÎRⁿ₊且x®x₀时，u(x)®g(x₀)。类似考察球上的Green函数。极值原理（比位势方程更一般的−∆u+c(x)u(x)=f(x)）、最大模估计（位势方程的第一边值问题和第三边值问题的）和能量模估计，注意常用的分离变量法(Fourier方法)等。 (略)

4、有限元方法 （随着计算机的发展这领域也在不断发展，专著也很多）

在实际求解偏微分方程的定解问题时，除了在一些特殊的情况下可以方便地求得其精确解外，在一般来说情况下，当方程或定解条件具有很复杂的形式时，或求解区域具有比较复杂的形状时，往往求的到或不易求到其精确解。实际的需要促使我们去寻求偏微分方程定解问题的近似解，特别是数值近似解。

求解偏微分方程数值解的方法是多种多样的，它本身已形成一个独立的研究方向，其要求是对偏微分方程定解问进行离散化。本章

有限元法实质上就是现在意义的Ritz-Galerkin法，它和传统的Ritz-Galerkin法的主要区别在于，它应用样条函数方法提供了一种选择“局部基函数”或“分片多项式空间”的新技巧，从而在很大程度上克服了Ritz-Galerkin法选取基函数的固有困难。有限元法应用于多个学科特别是磁流体力学，现在有限元法和差分法一样，已成为求解片微分方程，特别是线性椭圆型偏微分方程的一种有效数值方法。

有限元法的基本问题可归纳为：

（1）把问题转化为变分形式；（2）选定单元的形状，对求解域做剖分。一维情形的单元是小区间，二维情形的重要单元有两种：三角形和四边形（矩性、任意凸四边形）。三维单元就更复杂多样了。下面只讨论一、二维单元；（3）构造基函数或单元形状函数，形成有限元空间；（4）形成有限元方法（Ritz-Galerkin法）；（5）提供有限元方程的有效解法；（6）收敛性及误差估价。下面分别从Ritz法和Galerkin法出发去简要讨论之。

考虑下面两点边值问题：

Lu=−¶u/¶x(p¶u/¶x)+qu=f(x), a<x<b; u(a)=0, u¢(b)=0 ………(5.1)

其中pÎC¹(I), p³p₀>0, qÎC(I), q³0, fÎC(I), I=[a, b]. 我们将从Ritz法和Galerkin法两种观点出发， 导出解(5.1)的线性有限元法。

从Ritz法出发得到的线性代数方程组

首先对求解区间进行网格剖分，节点为

a=x₀<x₁<x₂<…< x_i<…<x_n=b

相邻节点x_i-1, x_i之间的小区间I_i=[x_i-1, x_i]称为单元（第i单元），其长度h_i =x_i-x_i-1。

其次，在Sobolev空间H¹_E(I)内按下列原则取子空间U_h（下标h=max_i h_i）；它的元素u_h(x)在每一单元上的次数不超过某一正整数m的多项式，在全区间[a, b]上属于函数空间H¹_E(I)，就是说，u_h(x)ÎH¹_E(I)且u_h(a)=0。显然这是有限维空间。称U_h为试探函数空间，u_h(x)Î U_h为试探函数。

最简单的试探函数空间U_h是由分段线性函数组成的，它由节点上的一组值

u₀=0, u₁, u₂,…,u_n

按线性插值公式

u_h(x)=(x_i- x)u_i-1/ h_i+(x-x_i-1)u_i/ h_i, xÎI, i=1,2, …,n ………(5.2)

给定。它是试探函数在单元I_i上的限制。

为使按段插值标准化，通常用仿射变换

x= F_i(x)= (x-x_i-1)/ h_i, ………(5.3)

把I_i变到x轴上的参考单元[0, 1]。令

N₀(x)=1-x , N₁(x)=x , ………(5.4)

则

u_h(x)=N₀(x)u_i-1+N₁(x)u_i, xÎI. ………(5.5)

因为u_h的自由度是n，故U_h是n维线性空间。

将(5.2)代入由变分法得到的泛函数

J(u)=(1/2)ò_a^b(pu¢²+qu²-2fu)dx

得

J(u_h)=(1/2)ò_a^b(pu_h¢²+qu_h²-2fu_h)dx=(1/2)å_i=1ⁿò_Ii(pu_h¢²+qu_h²)dx-å_i=1ⁿò_Iifu_h dx

利用变换(5.3)，得

J(u_h)=(1/2) å_i=1ⁿ ò₀¹[p(x_i-1-h_ix)( u_i-u_i-1)²/ h_i + h_iq(x_i-1-h_ix)( N₀(x)u_i-1+N₁(x)u_i,)²]dx-å_i=1ⁿ ò₀¹f(x_i-1-h_ix)( N₀(x)u_i-1+N₁(x)u_i,)dx

令

¶J(u_h)/¶u_j= a_j-1,ju_j-1+a_jju_j+a_j+1,ju_j+1-b_j=0

其中

a_j-1,j= ò₀¹[-h_j^-1p(x_j-1+ h_jix)+ h_jq(x_j-1+ h_jix)x (1-x)]dx

a_j+1,j= ò₀¹[-h_j+1^-1p(x_j+ h_j+1ix)+ h+1_jq(x_j+ h_j+1ix)x (1-x)]dx

a_jj=ò₀¹[h_j^-1p(x_j-1+ h_jix)+ h_jq(x_j-1+ h_jix)x²]dx+ò₀¹[h_j+1^-1p(x_j+ h_j+1ix)+ h_j+1q(x_j+ h_j+1ix)(1-x)²]dx+

b_j= h_jò₀¹f(x_j-1+ h_jix)xdx+ h_j+1ò₀¹f(x_j+ h_j+1ix)(1-x)]dx+

就得到确定u_i, i=1,2, …,n的线性代数方程组。

从Galerkin法出发得到的线性代数方程组（略）

要注意最新前沿的偏微分方程的各类高效算法，特别是混合有限元和谱方法等离散格式的几种现代高效率、高精度算法，及其先验误差估计、后验误差估计和超收敛性质等，还要重视数值计算的收敛性、稳定性和有效性，以及各高效算法在非线性磁流体力学问题的研究趋势和应用前景

椭圆型方程的有限元法（略）

抛物型方程的有限元法（略）

5、有限差分法

求解偏微分方程数值解的方法是多种多样的，它本身已形成一个独立的研究方向，其要求是对偏微分方程定解问进行离散化。本章

考虑二维调和方程Dirichlet边值问题

Dirichlet边值问题：−∆u=0, xÎW; u=g, xζW）

即¶²u/¶x²+²¶²u/¶y²=0,

u|_¶W=g,

要求上面问题的数值近似解，首先要将相应的微分方程离散化，这就导致有限差分法

设W为单位矩形{0£x£1, 0£y£1},近似求解方法要点如下

（1）取步长h=1/n（n为整数）, 用x=ih(i=0, 1,… n)及 y=jh(j=0, 1, …n)平行于坐标轴的直线在区域上画出网格。网格线的交点称为节点，其坐标为(x, y)=(ih, jh) ，简记(x_i, y_j)(i,j= 0, 1, … n)或(i, j)。近似处理的第一步是，代替求整个区域W上的解u=u(x, y)，只要求在节点上解的近似值u_ij(i,j= 0, 1, … n)。注意到当步长h越来越小时，网格将越来越密，从而有可能获得关于解u(x, y)越来越多的信息。这样做，就将求区域上的一个未知函数的问题化为求在节点上解的近似值这有限个未知数的问题，从而将一个无限维的问题化成了一个有限维的问题。

（2）近似处理的第二步是：用差商来代替导数，即将方程中出现的篇导数近似地改为节点上解值的差商，从而将微分方程改为差分方程。因为导数是相应的差商的极限，这样的处理在h相当小时应该是合理的。

但是用差商来代替导数，却有多种的可能性。例如对函数y=f(x)的一阶导数f′(x)来说，可分别用

前向差商 [f(x+h)- f(x)]/h

后向差商 [f(x) - f(x-h)]/h

或 中心差商[f(x+h) - f(x-h)]/2h

等来近似代替。事实上，利用Taylor展开式容易证明，当h®0时，上述这些差商均以f′(x)为极限。同样的原因，对于二阶导数f²(x)，通常可用二阶中心差商

[f(x+h) - f(x)+ f(x-h)]/h²

来近似等等。这样对同一个偏微分方程来说，往往可以列出多种多样的差分格式，我们可以根据实际求解的需要来进行迭代，这就给偏微分方程的差分解法提供了丰富的内容和广阔的选择余地。

对Dirichlet边值问题，对任一不落在边界上的节点（称为内节点）(x_i, y_j)，将其上u对x及对y的二阶偏导数分别改成相应的二阶中心差商，并代入第一个方程即调和方程，就得到在此节点处的相应的差分方程。

(u_i+1,j-2u_i,j+u_i-1,j)/2+(u_i,j+1-2u_i,j+u_i,j-1)/2=0

得 u_i,j=(u_i+1,j+u_i,j-1+u_i-1,j+u_i,j+1)/4 （(i, j)为内节点）

这说明在(i, j)内节点处的解值应等于上下左右四节点处解值的算术平均值。这一事实是调和函数的平均值定理在用差分方法离散化时的表现。上式通称为五点格式。

这样，对每一个内节点(x_i, y_j)都可以列出形如上式的一个方程，而对落在边界上的节点（边界节点），其上的值可由Dirichlet边界条件直接给出，是已知的：

u_i,j= f(x_i, y_j) （(i, j)为边界节点）

因此，对于每一个节点都可列出一个线性代数方程。我们就得到一个以节点解值为未知数的线性代数方程组。可以证明，这个线性代数方程组恒有唯一解，而且可以通过直接法或迭代法来求得，它就是我们要求的Dirichlet边值问题的近似数值解。我们还可以证明，当步长h®0时，上述有限差分法来求得足够近似的解。

可以看到，采用有限差分法的好处是对规则形状的区域列计算格式比较简便，但当求解区域具有比较复杂的形状时，则需要用多角形区域来加以近似，此时所有节点虽仍可分为内节点和边界节点两类，但对边界节点上的计算格式往往需要进行比较复杂的处理，而且不易采用一个统一的计算程序来求解各种具体情况下的问题。

椭圆型方程的有限差分法（略）

抛物型方程的有限差分法（略）

双曲型方程的有限差分法（略）

任何物质的运动都受到一定的自然规律的制约，我们常见的一些数学物理方程，它们作为描述物质运动的数学模型，是从数量形式上刻画了相应的这些物理定律所确定的某些量之间的制约关系。与建立数学物理方程关系最密切的物理定律大致可以归结为两大类：守恒律和变分原理。其中质量守恒、动量守恒和能量守恒是自然界一切运动都必须遵循的基本规律。对于自然界的某一个特定问题，如果把相应的守恒律数量化，就导出刻画这个问题的微分方程，因此，从这个意义上说，微分方程实质上就是自然界守恒律的数量形式。数学物理的三个最基本的方程-波动方程、位势方程和热传导方程就由守恒律数量化而得出的

关于方程的导出部分，数学家的导出模型总是较理想化或说抽象化而舍弃或理想化很多物理实际背景。那为了更接近实际，这里我就暂不用数学家的导出，而是借用著名物理学家马大猷院士的著作《现代声学理论基础》中的阐述，以更感性体会其波动方程的导出（他的中国科学院声学研究所南海研究站是中科院在海南省唯一有全职正高人员的科研机构-也设有三亚分站）：

声波是物质波，是在弹性介质（气体、液体和固体）中传播的压力、应力、质点运动等的一种或多种运动的变化。声也是这些变化所引起人的声觉。本书主要讨论空气中的声波，可适用于任何气体，理论、实验现象都相似。液体中只稍有不同，但传播的都是纵波，质点运动方向和传播方向相同，固体中除同样有纵波传播外，还有横波，质点运动方向和传播方向垂直，性质和纵波不同。

空气由大量分子组成，与一般气体相同，每摩尔（Mole，即克分子量，如过去所称）所占体积在标准温度（0°C）和压强（0.76m汞柱）下为22.4´10^-3m³，共有分子数为阿伏加德罗常数6.02´10²³，大约是每毫升（cm³）27´10¹⁸个，非常庞大。但分子很小，直径大约是10^-10m，分子间距离为其10倍，而且分子以很大速度（接近声速340ms^-1）做随机运动，在运动中互相碰撞。所以根本不可能跟踪每个分子的运动。提到空气中的运动，或质点运动，不是谈个别分子的运动，而是指若干分子的平均运动。声学中讲质点就是讲这个“集体”。“质点”尺寸比分子间距离大得多（高几个数量级），但是比实验室中遇到的物体又小得多（低几个数量级）。每个“质点”包括大量分子，在分子无规运动中，有进有出，基本可以看作没有变化的，静止的。这是物理中的点（有尺度）而不是数学中的点（尺度为零），但在数学处理中可以当作数学中的点。而整个气体则看成连续流体，和水一样，忽略分子中的空当。质点就是连续流体中的一个点，静止，在受力时可以移动。声波就是质点运动的传播。质点运动和流体运动制约于物质守恒定律和牛顿运动定律，这也是声波的基础，也是海岸动力学的基础，就如下面先列举几个基于它们的海岸动力学的方程以窥其在这领域的应用。

第二、关于海南琼大师爷的学生开拓的中国学派常微分方程当然将另在常微分方程这页做更详细的相关介绍（在这偏微分方程也作些简介是就如哈佛大学博士William E. Milne的《微分方程的数值解法》第一部分是常微分方程共7章、第二部分是偏微分方程含附录共5章。常微分方程的其中一个重点是常研究算子的不动点而得出解、正解或是否唯一等。因定解问题中边值问题居于中心位置，如此下面主要讨论之）（关于常微分方程其中的非线性常微分方程和非线性动力学可参看这里涉及我们图网络的世界名著，等等）：

考虑由微分方程组

z^·=dz/dt=g(t,z) (1.1)

描述的动态系统,其中z(t)ÎRⁿ, g(t,z):J´S® Rⁿ, SÎRⁿ, 若又有

g(t,z) ÎC(J´S)ÇL-Li_x(J´S) (1.2) (即g(t,z)在上连续且对z具有局部Lipschitz条件; 系指对任何有界闭集MÌ J´S有常数,使k(M),|| g(t,z₁)- g(t,z₂)||£k(M)||z₁-z₂||, " (t,z₁),(t,z₂)ÎM)

则由微分方程理论可知,对于初值问题

z(t₀)=z₀, (t₀, z₀) Î J´S, (1.3)

系统(1.1)存在唯一解,记其为z(t; t₀, z₀), 即它是(1.1)的解,且有z(t₀; t₀, z₀)= z₀,

定义1, 系统(1.1)的特解z^-(t)称为是稳定的,系指:

("e>0)("t₀Î J)($d>0)( ("z₀|[ z₀- z^-(t₀)]ÎB_d)[ z(t; t₀, z₀)- z^-(t) ÎB_e] (1.4)

此外,还有了

lim_t®+¥{ z(t; t₀, z₀)- z^-(t)}=0, (1.5)

则特解z^-(t)就称为是渐近稳定的.

定义1, 系统(1.1)的特解z^-(t)称为是稳定的,系指:

("e>0)("t₀Î J)($d>0)( ("z₀|[ z₀- z^-(t₀)]ÎB_d)[ z(t; t₀, z₀)- z^-(t) ÎB_e] (注:B_d表示半径为d的开球, 本是表闭球,但为简) (1.4)

此外,还有了

lim_t®+¥{ z(t; t₀, z₀)- z^-(t)}=0, (1.5)

则特解z^-(t)就称为是渐近稳定的.

系统的特解的稳定的,是解在有限时间区间上对初值的连续依赖性在无穷时间区间上的扩张.

研究系统(1.1)中任一解z(t)相对z^-(t)的扰动x(t)=z(t)-z^-(t), 则x(t)是初值问题

{ x^·(t)= g(t, z^-(t)+x)- g(t, z^-(t))= f(t, x)

x(t₀)=z(t₀) - z^-(t₀) (1.6)

的解.容易验证有

1* , f(t, 0 )≡0, 即x=0是系统x^·(t)= g(t, z^-(t)+x)- g(t, z^-(t))= f(t, x)的平衡位置.

2**,系统(1.1)的特解z^-(t)是稳定或渐进稳定当且仅当系统

x^·(t)= g(t, z^-(t)+x)- g(t, z^-(t))= f(t, x) , f(t, 0 )≡0, (1.7)

的零解x=0是稳定或渐进稳定.

定义2, 系统(1.7)的零解x=0是稳定的,系指

("e>0)("t₀Î J)($d>0)( "x₀ÎB_d)("t≥t₀) [ x(t; t₀, x₀) ÎB_e] (1.8)

相反,若有

($e>0)( $t₀Î J)($d>0)( "x₀ÎB_d)($t≥t₀) [ x(t; t₀, x₀) ÏB_e] (1.9)

则称系统(1.7)的零解x=0是不稳定的,

定理1, 线性系统

x^·(t)= A(t)x (1.10)

的零解是稳定或渐进稳定当且仅当其任一特解是稳定或渐进稳定的.

定义3, 系统(1.7)的零解x=0是一致稳定的,系指

("e>0) ($d>0) ("t₀Î J) ("x₀ÎB_d)("t≥t₀) [ x(t; t₀, x₀) ÎB_e] (1.12)

定理2,系统若是定常的,即

x^·(t)= f( x), f(0 )≡0, (1.13)

则零解的稳定和一致稳定等价.

定义4, 系统(1.7)的零解x=0是吸引的,系指

("t₀Î J) ($d>0) ("e>0) ($T≥0) ("x₀ÎB_d) ("t≥t₀+T) [ x(t; t₀, x₀) ÎB_e] (1.14)

是同等吸引的,系指

("t₀Î J) ($d>0) ("e>0) ("x₀ÎB_d)($T≥0) ("t≥t₀+T) [ x(t; t₀, x₀) ÎB_e] (1.15)

是一致吸引的,系指

($d>0) ("e>0) ($T≥0) ("t₀Î J) ("x₀ÎB_d) ("t≥t₀+T) [ x(t; t₀, x₀) ÎB_e] (1.16)

定义5, 系统(1.7)的零解是全局吸引的,系指

("t₀Î J) ($d>0) ("e>0) ($T≥0) ("x₀ÎB_d) ("t≥t₀+T) [ x(t; t₀, x₀) ÎB_e]

是一致全局吸引的,系指

($d>0) ("e>0) ($T≥0) ("x₀ÎB_d) ("t₀Î J) ("t≥t₀+T) [ x(t; t₀, x₀) ÎB_e]

定义6, 系统(1.7)的零解是渐近稳定的,系指它是稳定的又是吸引的;是一致渐近稳定的,系指它是一致稳定又一致吸引的;是全局渐近稳定的,系指它是稳定的又是全局吸引的;是一致全局渐近稳定的,系指它是一致稳定又是全局一致吸引的.

定义7, 系统(1.7)的零解x=0是局部按指数渐近稳定的,系指

($d>0) ($M>0) ($a>0) ("t₀Î J) ("x₀ÎB_d) ("t≥t₀) [|| x(t; t₀, x₀)||£M|| x₀||exp{-a(t- t₀)}] .

是全局按指数渐近稳定的,系指

($M>0) ($a>0) ("t₀Î J) ("x₀ÎRⁿ) ("t≥t₀) [|| x(t; t₀, x₀)||£M|| x₀||exp{-a(t- t₀)}] .

二阶常微分方程及边值问题（边值问题简称BVP，这里中间段见自由边界问题可写成处理我们超图的变分不等式）

二阶常微分方程边值问题

x²=f(t,x, x¢), U₁(x)=A, U₂(x)=B; U_i(x)=å_k=1^må_j=0¹a_ik_jx^(j)(a_k), i=1, 2.

具体常考卷2点、3点、4点边值问题的有解性或正解性、以及m点边值问题的正解性（即其解除端点外应处处大于0），也要考虑共振边值问题及考察各种特殊条件的方程的解的存在性等

带p-Laplace算子的二阶常微分方程边值问题来源于由偏微分方程边值问题导出的常微分方程模型。p-Laplace算子是形式为(Fp(u¢))¢的算子，其中F_p(s)=|s|^p-2, p>1是实常数。由于(F₂(u¢))¢= u²，故p-Laplace算子可看作普通二阶微分方程算子的推广。这启发人门参照普

二阶微分方程边值问题的已有结果和方法开拓这一新的研究领域，但必竟当p¹2就不是线性算子，所以不能简单套用已经涉及的具体方法，也就还需要研究它及它的变型的一些具体特性下所特有的性质和方法，当然方程也还有各种典型的特别情况（对带p-Laplace算子的二阶常微分方程边值问题，研究较多的是2点边值问题，当然3点多点边值问题也有很多进展，这类边值问题解的存在性长在无穷维的函数空间中由方程的解结合边界条件定义算子，由算子的不动点给出边值问题的解，则首先要对定义算子是否全连续加以论证）。（利用算子的不动点研究带p-Laplace算子的多点边值问题时，首先遇到的困难是如何确定合适的算子将边值问题转化为算子的不动点）。还要讨论这里中间部分我的母校第一本国内微分方程书讨论时滞的影响（即在微分方程中出现时滞项时，依据我的母校第一本国内《泛函微分方程》的基本理论对解的讨论通常需要在给定初始函数的情况下进行）

2、二阶常微分方程的周期边值问题

周期运动，无论在自然界还是人类活动领域中，都是十分常见的现象。描述此类现象的微分方程，历来得到人们的极大关注。

设fÎC(R´R²ⁿ, Rⁿ)，且存在T>0，使"tÎR有f(t+T, x, y)= f(t, x, y)，则上面x²=f(t,x x¢)就是一个二阶周期微分方程组。一个函数xÎC²(R, Rⁿ)如果在tÎR时满足方程x²=f(t,x, x¢)，且x(t+T)= x(t)，tÎR，则x(t)成为周期微分方程组x²=f(t,x, x¢)的一个T-周期解，也称为此方程组的一个调和解。

先考虑带p-Laplace型算子的二阶微分方程(F₂(u¢))¢+f(t, u ,u ¢)=0 的T-周期解的存在性，其中f关于t是T-周期解的，且假定…。多考虑出现时滞项的几类特别方程及系统

3、高阶常微分方程边值问题

高阶常微分方程边值问题类型众多，现只讨论一些特殊类型，对一般情况知之不多，带p-Laplace算子的高阶常微分方程边值问题结果更少。

包括三阶、四阶常微分方程边值问题。考虑2点边值问题的解、多点边值问题的解及正解、多点共振边值问题等

边值问题u(n)=f(t, u ,u ¢,…u (n-1)), u (i)(0)=0, (i=1, 2, …n-2), u (p)(1)=åi=1 m-2aiu(p)(x),(p=1, 2, …n-1)，当åi=1 m-2ai xin--1-p=1时是共振边值问题

高阶时滞常微分方程的周期解的讨论

… … …

这里中间部分也见常微分方程的一些有意思的方向--特别是我读研究生时拜读的我经常见面的我母校这学科国际权威的我国第一本专著。也说到（有些许遗憾和矛盾的是：在“模糊随机微分方程与模糊随机过程”兴起的九十年代，我曾研读这领域的约百篇论文，极感到有点意思，不过…）

其实这对图论不陌生，如美国纽约州的图论兼偏微分方程专家David Powers指导一个博士生就做了一篇博士学位论文Differential Equations on Graphs。图论也与概率论与随机过程、统计物理等一直都有密切关系。可搜索Probabilistic Methods in Combinatorics见加州理工、麻省理工、南加州、康奈尔、特拉维夫等的著名课程，还可参考Operator Calculus On Graphs，也可看Joel Friedman最近合写的综述Calculus on Graphs（他的博士导师是琼大升本科前给琼州大学来过几次信的拿了数学界所有诺贝尔奖级大奖的“世界上最伟大的数学家”之一Stephen Smale）。这David Powers还合写非常著名的图论专著：Zero-Symmetric Graphs。