再生核理论（这页下面将介绍和海南琼州大学合作十多篇论文的清华大学胡冠章书记翻译的这里名著《科学与工程的矩阵算法》的作者Alan K. Jennings的导师Nachman Aronszajn开创的再生核）:
Nachman Aronszajn在1948年投稿的长篇论文首次对“再生核”理论构建了系统性框架和某些发展，这标志着再生核理论的诞生（即Nachman Aronszajn的这里被8千余次引用的这论文Theory of reproducing kernels，Transactions of the American mathematical society(1950): 337-404。这论文1948年11月26日被接到，1948年12月28日定稿不再修改，它参考作者自己的6个文献为主。可从美国数学会下载这论文见正文第1段说“我们感兴趣的类型的核的例子早已为人所知，因为自伴常微分方程的所有格林函数（以及偏微分方程的一些格林函数---有界函数）都属于这种类型。但是，我们现在所理解的这些核的特征特性自本世纪初以来才得到强调和应用”。第2段说“在考虑这些核函数时，一直存在并将继续存在两种趋势”接着只用一行字说J. Mercer的这论文，其后用了9行说最先发现核函数 K(x, y)具有“再生”性质的是海南琼州大学的师爷Eliakim H. Moore的1935年和1939年的论文；其后的第3段也主要说Eliakim H. Moore师爷；第4段是用了8行说J. Mercer的这论文和另一论文但这第4段更用11行说海南琼州大学的师爷Eliakim H. Moore；第5段所说的有贡献的人有Salomon Bochner，André Weil，Israel Gelfand和D. Raikoff合作的，戈德门特Roger Godement，样条之父Isaac J. Schoenberg，计算机之父冯·诺依曼John von Neumann和样条之父Isaac J. Schoenberg合作的；第6段说第二种趋势是在20世纪头十年由Stanislaw Zaremba的工作引发的，但这方向似乎感到难有好的发展而直到30年代Stefan Bergman以及Nachman Aronszajn也注意到了这些核的"再生"特性，但它并没有象现在那样被用作它们的基本特征特性；第7段除了说前段的他俩还说Stanislaw Zaremba的徒孙Zarankiewicz，Menahem Schiffer，海南琼州大学主编的杂志编委(他的100亿美元项目论文也发在这海南杂志的)Paul R. Garabedian的这篇论文以及海南琼大编委Paul R. Garabedian和Menahem Schiffer合作的另一篇论文。第340页说In 1943, the author ([4] also [6]) developed the general theory of reproducing kernels which contains, as particular cases, the Bergman kernel[1]functions. T；第342页说introduced pseudo-reproducing kernels [Aronszajn 5, 6，都是1948年的]…）。
确实，正如Nachman Aronszajn在1948年在哈佛大学已发表31页的再生核和拟再生核及其应用的技术报告：“Reproducing
and pseudo-reproducing kernels and their application to the partial
differential equations of physics. Studies in partial differential equations”；他这1948年是他的丰收年如他这年还在美国科学院院刊发表2篇用培养了7位诺贝尔奖得奖者的Joseph
J. Thomson的导师Rayleigh最先采用的Rayleigh-Ritz方法对特征值逼近的论文即这希尔伯特空间算子论文和这篇微分算子论文。
众所周知，再生核理论诞生后，很快就在积分方程、偏微分方程边值问题、复变函数和奇异积分等方面产生重要作用。80年代后再生核又广泛渗透到信号处理、随机估计、神经网络、小波分析以及调和分析等领域。而关于再生核对样条的作用更是早在1966年威斯康星大学的美国三院院士Carl de Boor就用再生核来证明样条插值是适当的希尔伯特空间中的正交投影过程等等，即60至80年代威斯康星大学除了Carl de Boor该校还有下面再说的另2个专家Grace G. Wahba院士和她的博士Robert Kuhn以及Howard Weinert等通过再生核使得（插值与光顺）样条和随机过程发生了联系，使其在随机数据的样条平滑中扮演着核心的角色，不仅建立了样条函数的随机递推算法，更为重要的是开辟了统计学的一个新分支--概率统计中的样条函数方法。研究还表明插值或光顺样条可以表示成再生核的线性组合，如这篇论文摘要说：复插值样条函数的研究，有2条途径，其中之一途径是利用Aronszajn-Bergman再生核理论，直接得出一类定义于区域内的解析样条函数…等等。可参考样条函数这页。
再生核之父Nachman
Aronszajn的博士Alan K.
Jennings的1954年的博士论文就是“Operators
in Reproducing Kernel Spaces再生核空间中的算子”（并这再生核空间之父的这博士Alan
K. Jennings就是这里正文第一段说他独撰的《科学与工程的矩阵算法》一书被和海南琼州大学合作十多篇论文的清华大学胡冠章书记翻译1985年清华大学出版社出版的）。
关于核函数及其在某些学科领域的应用可参考Stefan Bergman独撰的《The Kernel Function and Conformal Mapping核函数和共形映照》（我有龚升和陈希孺院士合译的这书的中文版，Friedrich Hirzebruch的导师Heinrich Behnke在美国数学评论评论这书），Stefan Bergman和Menahem Schiffer合撰的《Kernel Functions and Elliptic Differential Equations in Mathematical Physics核函数与数学物理中的椭圆微分方程》，等。
在我国，1965年严士健教授，刘秀芳，的论文“具有连续参数的平稳随机扰动的迥归系数的估计”《北京师范大学学报》1965年01期的第19页说：在上面Nachman
Aronszajn的论文中，在依其定义FX和QX下，则（FX ,QX）是一个希尔伯特空间。再令R0下，则（FX ,QX）是由R0下生成的再生核空间。还有许多论文，可见我国很早就跟进在国际上发展迅速的这领域，等等。
在此,再给出再生核以及再生核Hilbert空间的完整准确定义：设P是Hilbert空间，其元素是定义在某个抽象集合B上的实值或复值函数，其内积为（·,·）.设K(t,s)是B´B上的二元函数，如果对每个给定元sÎB, K(t,s)作为t的一元函数是P中的元素，且对任意的fÎP，有 f(s)=（f(·),K(·,s)），则称K(t,s)是Hilbert空间P的再生核，P称为B上的再生核Hilbert空间。
从上面看到这领域的开拓奠基者主要是波兰和乌克兰人，Nachman Aronszajn和Salomon Bochner以及Stefan Bergman是波兰人；很多宗师的Stanislaw Zaremba宗师（如他的博士Wacław F. Sierpiński的博士Stefan Mazurkiewicz的博士就是再生核之父Nachman Aronszajn）和第一个没有设定年龄限制的数学诺贝尔奖-数学沃尔夫奖得主Israel Gelfand盖尔范特是乌克兰人，如此这2个欧洲中较落后的国家不可小觑-就如这页所见所说；当然上面见这领域开创奠基者还有美国的海南琼州大学的师爷Eliakim H. Moore以及海南琼州大学主编的杂志编委Paul R. Garabedian大师等。
下面威斯康星大学的两院女院士Grace G. Wahba教授的导师Emanuel Parzen在1959年最先使用了‘再生核希尔伯特空间’的概念。
海南琼州大学的导师柳柏濂教授去美国合作几年诞生教育部审定通过的中国“第一本”数学研究生用书的威斯康星大学的教授Grace G. Wahba院士也指导一些再生核博士并在美国数学评论见她有97篇论文并输入“Spline样条”见她有36篇-这是非常搞得比例了，该校数学系网页的倒数第3行见她是“National Academy of Sciences和American Academy of Arts and Sciences”的院士-也就是获得除工程院外的所有院士--可见威斯康星大学不仅男大师们成堆厉害更难得在以前女的也厉害。她的博士Robert Kuhn就做再生核希尔伯特空间对双变量样条密度估计的应用，她的师兄Nils D. Ylvisaker的博士论文“On Time Series Analysis and Reproducing Kernel Hilbert Spaces”。
关于再生核理论书籍可参考Saburou Saitoh在1988年出版世界上第一本再生核书籍《Theory of
reproducing kernels and its applications》一书（它讲再生核理论后回到诞生的本源去较详细些演绎常偏积方程当然也笼统简介对其它各专题的作用；威斯康星大学博士的William
F. Donoghue,
Jr.教授评论这书）；Harry
Dym在隔年的1989年也出版《J contractive matrix functions,
reproducing kernel Hilbert spaces and interpolation》（Harry
Dym在这书中扩充了再生核希尔伯特空间）。前面的作者Saburou Saitoh是Institute of
Reproducing Kernels核再生研究所教授，最近1997年他又再出版《Integral transforms,
reproducing kernels and their applications》，等等。
可见再生核虽然1950年在上面美国著名杂志Transactions of the
American mathematical society正式发表并被引8千余次引起世界各国的注意，但第一本书籍在1988年才出版，足见以前仍是在艰难中前行，如此博士论文做再生核的除了Harry Dym的1986年博士毕业的Daniel Alpay也许有他导师的书籍等促进而成果较丰硕外，更早些毕业的都在更艰难中摸索前行。如威斯康星大学博士Robert
W. McKelvey指导的1970年博士论文做再生核的Ronald W. Shonkwiler算是第二个有再生核论文超过3篇的（Robert W. McKelvey的导师是威斯康星大学著名教授Rudolph
E. Langer院士）
关于这领域的作用如母校华南师范大学机器学习与最优化计算实验室只设有“核函数逼近方法学术委员会”（要知机器学习是人工智能的核心技术,是实现人工智能的重要手段，可见核函数再生核对机器学习人工智能的重要性）