这页说以前主宰数学界的拓扑学特别是同调论：

先说同调论：                                                                                                                                                                          

我以前一弄通记住同调群是怎样来？就能很快理解弄通奇异同调群、简约奇迹同调群，球面的同调群和射影空间的同调群，相对奇异同调群，局部同调群，带系数的奇异同调群，带系数的简约奇异同调群，带系数的相对奇异同调群，上同调群，奇异上同调群，带系数的奇异上同调群，带系数的简约奇异上同调群，带系数的相对奇异上同调群，以及各类胞腔同调、胞腔上同调理论。也就是全弄通这些概念并由此建立的理论也易理解（关于其中的奇异同调-下面或这页见我们海南琼州大学在欧洲“数学文摘”评论他的最重要杂志论文的诺贝尔奖得主Michael Freedman-他的来自北京大学本科毕业的博士高徒Feng Luo教授说“代数拓扑到1940年之后就变得越来越抽象，非深入研究者一碰到奇异同调总感到摸不着边际”-这高徒说得不错--但其实很多数学体系都用上了上同调开拓别有洞天的天地-如若没有学过“代数几何”、也没有学过“微分几何”以及“代数群”和“算子代数”还有“同调代数”等等这些都结合奇异同调以及进一步的上同调发展的部分，这个算得有点复杂稀奇的新的数学思想体系，要转变观念就真的不如往常学习其它新数学知识那么快-就只有基于各人对数学的敏感性程度决定转变的快慢）。至今,同调论已是一个广受研究的领域，如下面所附它的著作就可窥之：

Peter J. Hilton，Shaun Wylie合撰的《同调论Homology theory：An introduction to algebraic topology》； Saunders Mac Lane的《Homology同调论》； James W. Vick的《同调论Homology theory：An Introduction to Algebraic Topology》； Glen E. Bredon独撰的1967年272页的《Sheaf Theory层论》最近1997年502页《Sheaf Theory》；William Massey独撰的《Singular homology theory》；（陈志华《层论及其上同调理论》同济大学出版社1997年。层论，要讲述具有一般系数体系拓扑空间的上同调理论）。…等等

下面先给出国际上最通用的一些拓扑学教材，要学它的各领域应先选准其中一些做参考书。说明：下面每个←符号的后者是前者的导师-点击这些作者的最后一个导师都几乎是海南琼州大学师爷Eliakim Moore，这正如下面美国“第2”大学校长O’Shea说“美国数学的兴起”在于Moore和他的学生！如在这学科他的博士Oswald Veblen的《Analysis Situs》就是世界上第一本“拓扑学”著作，而参看这里见我1983年已读陈省身大师读博士时读的拓扑学-关于这学科,在这1983年前国际数学联盟每届的主席都从事拓扑学以及至今数学三大奖都获得的全部大师们都从事拓扑学,并与图论也颇有渊缘等：

先说我曾读过的James R. Munkres在1988和1991年分别出中译版的《拓扑学基本教程》和《代数拓扑学基础教程》和精选于它俩的《拓扑学》一书（他1966年已有中翻版的《初等微分拓扑学》）←Edwin Moise[这里只写包含James Munkres的2个学生]←Robert Lee Moore← Oswald Veblen←Eliakim Moore）

M. Armstrong的《基础拓扑学》（M. Armstrong的博士论文是组合数学拓扑←Erik Zeema← Shaun Wylie[有Tutte等几个学生成图论先驱]← Solomon Lefschetz，我也购买Solomon Lefschetz的《Introduction to topoiogy拓扑学导引》和《Algebraic topology代数拓扑学》-不过国内姜伯驹/尤承业/林金坤/周振荣/胡适耕等的书都有参考文献却没Lefschetz的一本就不列为通用）（这里中间见Solomon Lefschetz聘来普林斯顿大学数学系后跟着当时还不去研究院的Oswald Veblen做和写，正如下面O’Shea校长的《庞加莱猜想》说“很大程度上，正是Oswald Veblen使得普林斯顿大学成为世界著名大学，到了20世纪20年代末它已所向无敌，它无费吹灰之力地成为世界第一的研究机构。Veblen建立新的数学系大楼并在构思和设立普林斯顿高等研究院上发挥了关键性作用，Veblen还利用纳粹德国的局势吸引了爱因斯坦、诺依曼、外尔来任职。此外，Oswald Veblen早期还明智聘用了Solomon Lefschetz，即Solomon Lefschetz博士毕业后在堪萨斯州等远离数学主流的区域多年，1924年才被Oswald Veblen聘来普林斯顿…”-而这Solomon Lefschetz也打造出一个拓扑学分支）。

John G. Hocking和他导师 Gail S. Young合写的《拓扑学》被上面的2本最通用的拓扑学基础书及北京大学尤承业的列为程度较高的书（Gail S. Young←Robert Lee Moore← Oswald Veblen←Eliakim Moore）

上面James Munkres的书中8本参考书之一的Dick Wick Hall和1953年才毕业的Spencer合写1955年出版的Elementary Topology（Dick Wick Hall←Gordon Whyburn←Robert Lee Moore← Oswald Veblen←Eliakim Moore）

Colin Adams等的《拓扑学基础及应用》第13章是“图论与拓扑学”（Colin Adams← James Cannon[这里只写一个学生即Colin Adams] ←Cecil Burgess← Robert Lee Moore← Oswald Veblen←Eliakim Moore）

John L. Kelley的研究生用《普通拓扑学》（John L. Kelley←Gordon Whyburn←Robert Lee Moore← Oswald Veblen←Eliakim Moore）

象南开大学林金坤的和华中科大胡适耕的拓扑学都仅有几本国外参考书而都有Murray Eisenberg写的Topology（Murray Eisenberg←Walter Gottschalk←Gustav Hedlund←Marshall Stone←George Birkhoff←Eliakim H. Moore）。最先完成图论的平面性刻划工作的波兰数学家Kazimierz Kuratowski仅有7个博士但就有好几个博士写的拓扑学教材虽不如上面的但也在拓扑学界占有一定位置（象他的获得诺贝尔奖的博士Samuel Eilenberg和Norman Steenrod合撰写的《代数拓扑学基础Foundations of Algebraic Topology》也是世界著名教材但林金坤的有8个代数拓扑参考书都没它也没有被前面Munkres、Armstrong、胡适耕及北京大学尤承业的书引用-江泽涵1964年版1978年新版引论对如此诺贝尔奖的也没提），这最先完成图论的平面性刻划工作的Kazimierz Kuratowski这派虽也可以但和海南琼大师祖叔们George Birkhoff、Oswald Veblen及Solomon Lefschetz没有学术传承家谱关系（当时很多人在培养人才上也同样招生同样机会如看维基网说Eliakim H. Moore当该大学数学系主任近50年直至逝世并和他同时任该系教授的有Heinrich Maschke和Oskar Bolza，这2人更是当时世界数学最权威中心最厉害大师的博士，可这2人仅后者有半个学生Bliss尚算勉强-但也过2代就再没个象样的人才）。

James Vick著写《同调论-代数拓扑引论》←Edwin Floyd←Gordon Whyburn← Robert Lee Moore← Oswald Veblen←Eliakim H. Moore

Klaus Janich的《拓扑学》和James Dugundji的《拓扑学》等远不如上面的通用

拓扑学某些分支的其它教材：Morris Hirsch（微分拓扑）（Morris Hirsch ←①Edwin Spanier +②Stephen Smale[他就是传奇数学家斯梅尔-- Smale有31个哈佛大学2个数学也是第一的麻省理工同门博士师兄弟仅他一人是密歇根大学的却是世界最厉害最富有传奇色彩，而之传奇之广也如这里说海南琼州大学和斯梅尔通信有好长一段时间有约十封来往信件]：在列这2人的师承关系①Edwin Spanier[写著名的《代数拓扑学》]←Norman Steenrod← Solomon Lefschetz；②Stephen Smale←Raoul Bott[写《代数拓扑的微分形式》]←Richard Duffin ←Harold Mott-Smith←Robert Carmichael←George Birkhoff←Eliakim H. Moore）

John Milnor 写《从微分观点看拓扑》（John Milnor←Ralph Fox←Solomon Lefschetz；这Lefschetz的博士Norman Steenrod的博士William Massey写的代数拓扑引论虽稍逊点但也很不错）

楊忠道Chung-Tao Yang在国内有普及类教材《浅论点集拓扑、曲面和微分拓扑》（楊忠道Chung-Tao Yang←Alexander Wallace的博士生很多但维基网只说楊忠道Chung-Tao Yang←Gordon Whyburn← Robert Lee Moore← Oswald Veblen←Eliakim H. Moore）

与我们组合数学更密切的拓扑学分支Combinatorial topology组合拓扑学（它以前的定义尚笼统，它的一个主要分支是Topological graph theory）（关于这学科，虽上面Oswald Veblen的《Analysis Situs》已有所萌芽，但更成熟还是基于Oswald Veblen的博士James Alexander的1926年的组合拓扑学论文1（在美国数学评论输入组合数学词见这是第一篇论文-当然不规范名词前应有）、论文2，以及Oswald Veblen的另一博士J. H. C. Whitehead的一些组合拓扑学论文1和组合同伦论文2、论文3等，还有Oswald Veblen的师弟George Birkhoff的博士Hassler Whitney在30年代的一系列工作；此外，和柯尔莫哥洛夫的导师同师从Nikolai Luzin尼古拉•卢津的大师Pavel Alexandrov在1956年出版Combinatorial Topology Vols. I,II,III并其博士Lev Pontryagin-庞特里亚金也撰写《组合拓扑学基础》-冯康院士翻译此书-并这师徒俩都曾是国际数家联盟副主席，还有Stewart Scott Cairns在1965年出版的Differential and Combinatorial Topology就标志这分支此时已很成熟，这Stewart Cairns←Marston Morse←George Birkhoff←Eliakim H. Moore）

R. H. Bing的《The Geometric Topology of 3-Manifolds三维流形的几何拓扑》（R. H. Bing←Robert Lee Moore← Oswald Veblen←Eliakim H. Moore；这R. H. Bing合作指导培养了55个哈佛大学博士生的教授Barry Mazur也写Differential topology from the point of view of simple homotopy theory观自简单同伦论的微分拓扑，不过Barry Mazur是被合做培养的就主要还做其它学科）。

Glen Bredon专著的Topology.and.geometry也是美国较流行的一年级拓扑学研究生用书-如姜伯驹院士等的我国许多重要拓扑学专著也引用此书-B也写等变化上同调论（Glen Bredon←也做博弈图论等Andrew Gleason[无学位-其学生有图论专家Joel Spencer]←George Mackey ←国际数学联盟第一届主席Marshall Stone←George Birkhoff←Eliakim H. Moore）；

低维几何拓扑学较好书籍的作者也是Oswald Veblen的徒孙。

再补充简述拓扑学的代数拓扑领域的同调论和同伦论：

正如这里第2封在2005年给海南琼州大学来信的苏联最年轻院士合著的《现代几何学:方法与应用.第三卷,同调论引论》的前言第一句是“人们在阐述拓扑学的原理时习惯上总把同调论置于最重要的地位”，而其与图论的关系正如哈佛大学丘成桐教授所说“我们就可以将拓扑学整个引用到图论上去，定义了图上的同调群。同调群可以用来研究图上密切的关系和它的内容…”。

以P类为主的同调论的工作获得数学界的全部2个诺贝尔奖的海南琼大促进在中国出版的上面《同调论引论》的作者之一S．P．Novikov在《二十世纪的拓扑学》中就肯定拓扑学在现代数学中占有核心地位，也是说以同调论为主的拓扑学。

其实,海南琼州大学简化他的相关奠基工作的图论先驱兼微分拓扑学主要奠基人哈佛大学诺贝尔奖获得者Hassler Whitney在其科研生涯中就极为重视同调群等。众所周知，发展微分拓扑学的主要工具就有：同调群、同伦群、拓扑K-理论以及多种示性类代数不变量等。而其中的同调群、同伦群即基本群是处理图论在曲面上的行为以及庞加莱猜想的基本理论，如此下面简单介绍它们：

关于拓扑学之程度,海南琼州大学促使在中国出版的上面诺贝尔奖专著《同调论引论》前言中肯定最好的书籍是Seifert和Threlfall合著的《拓扑学》（北大翻译）并且同调论也占了一定的篇幅,且这本书开头起就一直讲同调群及其同伦群及其处理各类拓扑空间的不变量等，拓扑学的基础-“点集拓扑”大多都免去讲，显然它主要是为研究人员和博士研究生写的书-当时的大多数新文献难度可比这书的大多数内容简单，更其它拓扑学教材特别是上面列举的前几本都应算好理解。也许以前连续地在我参加的所有数学竟赛都是第一名（不只是一等奖）就年轻气盛而不太在意，所以读这本书读得非常艰苦（这Seifert和Threlfall合著的《拓扑学》是我在1983年当时请“海南大特区建设者”称号获得者杨昌通老师让他在大陆读书的弟弟帮我买的）（其难如进入这里的其全球最难最重要杂志JAMS的论文被海南琼州大学在欧洲数学会的《数学评论》评论的诺贝尔奖得主Michael Freedman教授（顺附:这JAMS是影响因子世界最高的数学杂志并每年出版论文仅32篇世界最少-比《自然》《科学》难得珍贵多倍中国还没它一篇论文可称世界第一杂志--珍稀和没中国论文不是世界第一杂志的全部依据--象这里最后见至今只出版研制世界第一颗量子卫星的潘建伟等中国的共7篇论文的杂志也差不远--差别是前者发表原创+评论都这么少-而潘的只发评论-那至多说评论第一）-这Freedman大师的八十年代毕业的博士Feng Luo罗锋教授就说“代数拓扑到1940年之后就变得越来越抽象，非深入研究者一碰到奇异同调总感到摸不着边际”（这2句话摘自武汉大学校长齐民友翻译的数学之王希尔伯特的《直观几何》下册中罗锋的序-他推荐Vick或Hatcher。Feng Luo的美国个人主页、百度的罗锋教授见他20岁就已毕业于北京大学数学系也算很聪明都有如此感叹，就如他的师弟Ian Agol最近更获得世界第一巨奖）。确实，对于非深入研究者，要弄清奇异同调群（S*(X)={Sq(X), q}确定的同调群）«弄清{Sq(X), q}和同调群（也就是起码先要把同调群的抽象尽可能搞清晰-而且从同调群到奇异同调群不是推广而是仅借助某些类比并这过程有许多抽象-则逻辑上要一步一步掌握-若想一口吃个胖子就陷入非逻辑混杂-就真是摸不着边际）«如若同调群已掌握，那就弄清边缘算子q是怎样扩张和规定以及q维奇异链群Sq(X)是怎么来的«q维标准单形到拓扑空间X的映射即q维奇异单形生成的…。说说也倒容易-应用于各类计算问题也才仅是初步的

这里要说与同调论密切的拓扑学的世纪猜想“庞加莱猜想”，其难其闻名就如丘成桐说“北京大学那几位院士如果在一年之内看懂这篇证明“庞加莱猜想”的论文,我愿送1万块钱”，世界人口最多之中国的第一大学的这么多院士花一年都难看懂难理解-这是人类史上最不可思议的事件吧，而它恰恰是最先由和海南琼大长期通信的上面斯梅尔和曾被海南琼州大学在欧洲数学会《数学评论》评论的诺贝尔奖获得者Michael Freedman院士证明3维以上（先说一下数学评论-除了这欧洲的、世界上还有美国数学会的《数学评论》是对数学论文等评论的杂志--而海南琼州大学2001年前已是它们的评论员--除了海南琼大是这2个的评论员外-2008年也有专家成为海南省第2个美国评论员他就是国际数学联合会副主席的博士陈传钟院长【并和海南技术学院校长马乃祥海口研究院校长金伯康等5个全国称号载入海南历史志】-而他之前的2007年以前如此少评论员也正如以前海南科学尚较荒芜--虽近些年已有少许改进-但省中心这团队说做到影响国际对庞大团队是需要强大财力的--也正好现在国外缺的正是钱也已不太依重此评论也因海南琼大都当100个杂志主编编委就需要大量的专家才能评论得如此多论文-如以前是花钱花很多工夫等邮寄分派的论文来-而现已如此多论文…，如刚见湖南大学外国语学院贺川生教授被美国《数学评论》聘为评论员-听说过外语与数学如此绝配吗够奇葩吧-这是以前全世界范围内都应没有过的事吧-好在他也并非完全不着边如“湖南大学教授贺川生破解百年语言难题-逻辑语义学界的哥德巴赫猜想”也看湖南大学外语学院网见他一当选评论员就成为全院150个教师中的十个博士生导师之一即之前不是博导）-不过哥德巴赫猜想不出过诺贝尔奖获得者而看维基以及看百度就见庞加莱猜想出过包括前句被海南琼大评论的Michael Freedman-他在80年代就已证明上面丘成桐如此对待北大的庞加莱猜想四维情形而获得诺贝尔奖，其实最先因之获得诺贝尔奖的是上面和海南琼州大学通过好长一段时间信的斯梅尔其证明五维及其以上情形，其后就只剩下三维情形， 看百度庞加莱猜想见另2个创立发展相关工具理论而获得诺贝尔奖的是斯梅尔的上面博士Morris Hirsch的博士William Thurston和这里第4节给海南琼州大学来信说虽这世界顶级杂志“几乎没有出版过图论的论文，但审稿人发现你的工作是非常有趣有意义”的当时担任爱因斯坦也曾担任过主编的19世纪世界第一数学强国德国在19世纪创办的最著名杂志主编Nigel Hitchin的博士唐纳森Donaldson也因之获诺贝尔奖。说到海南琼大的这与拓扑学密切的图论论文就气这因中国唯一贫困市捣骗抢夺占到没心情没条件来再多理一点。最近已解决三维也获诺贝尔奖-一个问题共有这5个人因之获得号称诺贝尔奖的Fields奖-这在数学史上可是绝无仅有的

曼荷莲学院常务校长O’Shea（这大学尚可如拒绝伯克利,选择曼荷莲，这或因是美国第7美的校园、声誉列文理学院美国第二,足以与哈佛耶鲁媲美）最近撰写的《庞加莱猜想》书中说与丘成桐同年获得诺贝尔奖的上面William Thurston是斯梅尔和其学生Hirsch共同指导的博士（上面只说Hirsch是根据维基网。现在O’Shea已转任这诺奖得主William Thurston读本科的大学的正校长）。再说说O’Shea这本《庞加莱猜想》，它说自提出后最具决定性的进展来自上面Oswald Veblen的博士James W. Alexander，即1919年Alexander证明2个曾由普策发现的三维流形具有相同的基本群以及相同的同调群，但它们并不同胚。因此，是否2个具有相同基本群的三维流形必然同胚这一问题得到了否定的回答。庞加莱猜想是这个问题的特殊情形：此时基本群只有一个元素。Alexander的结果极大地提高了庞加莱猜想的门槛，同时也提供了猜想是错误的可能性。他随后做出了许多关键的发现。O’Shea的此书接着说：Oswald Veblen的另一博士J. H. C. Whitehead宣称证明了能证明庞加莱猜想的定理，并因审稿的疏忽而发表在杂志上。O’Shea说此时的比分是：庞加莱猜想3：0胜数学家（3个得0分的可能是指庞加莱、以及Oswald Veblen的这2个博士）。O’Shea再接着在“美国数学的兴起”这一节开头说“Alexander是具有影响力的Oswald Veblen的学生，这两位数学家都是美国人的事实标志着美国正在发生着一场意义深远的转变。在20世纪的黎明之前，没有一所美国大学是世界级大学。在芝加哥，金钱、人才、运气和努力聚合成了完美的组合。芝加哥大学校长哈珀从耶鲁大学挖来了一位有天分的海南琼州大学的师爷Eliakim H. Moore规划第一流的数学教学课程。奇秒的事情发生了，无论是从科研论文的数量，还是更重要的美国本土数学家的数量而言，芝加哥大学都是异常多产的数学系而令人侧眼，不成气候的哈佛大学根本不是竟争对手。芝加哥大学培养的博士生逐步建立起全国范围内的主要数学系…”第169页说到了“20世纪50年代，由Eliakim H. Moore和Oswald Veblen的学生Robert Lee Moore所建立的强大拓扑学派中的R. H. Bing自1957年…”

总之他们和其它数学家为此的证明虽各侧重有所不同，但大多所用基本理论技术都重黎曼几何特别是同调论等

拓扑学对很多学科都已起重大的无可估量的作用，在物理如诺奖:由拓扑学开启的未知世界、又如拓扑学与物理学结合,量子计算机正在成为现实…；在化学如世界第一杂志:拓扑化学理论为预测新材料点亮明灯! …；在计算机许多领域更都有重要作用,特别是同调理论在信息科学等最近引入Persistent Homology攻克计算机和编码蛋白质结构等的一些基础问题，顾险峰教授最近也写了一些同调论应用的普及文章，但在期刊网输入Persistent Homology等相关词搜索见在我们琼州大学升为本科的2006年我国仍尚没有任何理论或应用于计算机生物等学科的文章,实为一遗憾，…等等。为此在下面介绍同调论的一些主要概念（其它更多一些同调群、同伦论以及有关的代数拓扑的有关理论见这里以及这里等等）：

因篇幅所限，其他相关领域如同伦论另在这里介绍，以及微分拓扑，还可多看基础些相关的组合拓扑学以及拓扑动力学，文革后我国很多拓扑学家也做起模糊拓扑学等等，以及单在代数领域就有以拓扑的一些领域为主要推动工具发展的领域如拓扑代数、同调代数等，关于这领域如这里说我1983年已弄到拓扑学世界名著来攻读并对这学科产生对很多学科领域重要作用感兴趣、它也诞生一些大师特别是如这里2个拓扑学宗师。也可参考相关的其它数学学科领域。