动力系统:

(小波理论及其在地球化学数据处理中的应用综述)小波变换是以某些特殊函数为基将数据过程或数据系列变换为级数系列以发现它的类似频谱的特征，从而实现数据处理。

设函数 ψ∈L ² (R)∩L¹ (R)，并且ψ^_(0) = 0，由 ψ经伸缩和平移得到一族函数

ψ_a_，_b (x) = a^－^1/2ψ((x－b)/_a)， (a，b ∈ R，a ≠ 0) (1)

称 {ψ_a_，_b } 为连续小波，称ψ为基本小波或母小波。其中，a 为伸缩因子，b 为平移因子。

对任意一个信号 f∈L ² (R)，其连续小波变换定义

为(W_ψf)(a，b) = ＜ f, ψ_a_，_b＞ =a^－^1/2∫⁺^∞_－∞f(t)ψ(( t－b)/a)^-dt (2)

其中，ψ^-(t) 表示 ψ(t) 的复共轭。

在实际计算机算法中常采取离散小波变换(DWT)算法。我们把式(1)中的参数 a，b 都取离散值，固定伸缩步长 a ₀＞ 1，位移步长 b ₀ ≠ 0，取 a = a₀^－^m，b = nb ₀ a₀^－^m

，从而把连续小波变成离散小波，即

ψ_m_，_n (x) = a₀^m/2 ψ(a₀^m/2 x－nb ₀ )， (m，n∈Z) (3)

设 ψ 为基本小波，称式(3)定义的函数族 ψ_m_，_n (x)_m_，_n_∈_Z为离散小波，对于信号 f ∈ L ² (R)，其离散小波变换定义

为 (Df) _m_，_n = ＜ f，ψ_m_，_n＞ ==a^m/2∫⁺^∞_－∞f(t)ψ(a₀^m/2 t－nb ₀)^-dt (4)

将小波系数还原成数据的过程叫小波重构，相应的离散小波重构公式为:

f(t) = ∑m，nDW m，n ψ m，n (t) (5)

其中，ψ m，n (t) 为 ψ m，n (t) 的对偶框架，DW m，n =f(t)ψ m，n (t)dt。

2. 2 小波去噪的基本原

小波分析方法的提出 , 尽管可以追溯到本世纪

初 , 但作为一种比较成熟的理论 , 则是在 80年代中

叶 , 特别是 Mayer、 Daubechies等人为小波理论的

形成和完善作出了重大贡献。 1990年 , Daubechies

在美国作了 10次关于小波分析的系列讲座 ,把小波

分析介绍到工程界 , 从此 , “小波热” 就开始了 , 并

迅速传播到世界各国。

小波分析是一种时域— 频域分析 , 它在时域—

频域同时具有良好的局部化性质 ( localization na-

ture)。它可以根据信号不同的频率成份 , 在时域和

空间域自动调节取样的疏密: 频率高时 , 则密; 频

率低时 , 则疏。基于小波分析的这些优良特性 , 可

以观察函数、信号、图像的任意细节 , 并加以分析。

从而 , 小波分析在信号分析与重构、信号和噪声分离技术、特征提取、数据压缩等工程应用上 , 显示

出优越性 , 而这些正是 100多年来大量应用于工程

领域的 Fourier变换所无法做到的。

1910年 , 数学家 Harr提出 “小波” 的规范正交

基 ( normal orthogonal base) , 即 Harr基。 1938年 ,

Littlewood- Paley 提出二进频率分组 ( daydic fre-

quency resolution)以及对 Fourier变换的相位变化

本质上不影响函数的 L— P理论。1975年 , Calderon

提出再生公式 ( regeneration formula)。 1981年 ,

Stromberg对 Harr系进行了改进 , 并证明了 70年

前提出的 Harr小波的存在。1984年 ,法国地球物理

学家 Morlet把小波分析应用于地震预报的研究 ,在

利用小波的局部化性质时 , 取得了满意的结果。随

后 , 理论物理学家 Grossman对 Morlet的信号分解

方法进行了理论研究 , 提出了伸缩和平移 ( dilata-

tion and translation)特性。

1986年 ,法国数学家 Mayer创造性地构造出了

一个具有一定衰减特性的光滑函数 ( smooth func-

tion) , 它的二进制伸缩和平移系构成 L

2 ( R)的规范

正交基 , 实现了信号在时频空间同时局部化的正交

分解

[1] 。他为小波理论的形成和完善作出了重大贡

献 , 是小波理论的奠基人之一。同年 , Lemarlie和

Battle分别提出具有指数衰减 ( exponential attenu-

ation)性质的小波函数。1987年 , Mallat巧妙地将计

算机视觉领域内的多分辨分析 ( multiresolution

analysis)的思想引入到小波分析中小波函数的构成

及信号按小波变换的分解及重构 , 从而成功地统一

了此前的各种具体小波函数的构造。同时 , 他还研

究了小波变换的离散化问题 , 形成了著名的 Mallat

塔式算法 , 显著地减少了计算量 , 使小波分析具有

明显的工程应用价值

[2] 。

1988年 , 另一位小波理论的奠基者、美国女数

学家 Daubechies构造了具有紧支撑 ( compactly

supported)正交小波基 , 它在数字信号的小波分解

过程中提供更实际、更有效的数字滤波器

[3] 。她的最

大贡献还在于积极推动小波理论在工程中的应用 ,

仅 1990年一年中 , 她在美国作了 10次关于小波分

析的讲座。从此 , “小波热” 就开始了 , 并迅速传播

到世界各国。此后 , 中国学者崔锦泰和王建忠构造

了基于样条函数的单正交小波函数 , 并讨论了具有

最好局部化性质的尺度函数与小波函数

[4、5] 。而

Wicherhanser等将 Mallat算法进一步深化 ,提出小

波包算法 , 取得了信号的最佳时频分解。

2.1 小波函数

小波是一种特殊的长度有限、平均值为0的波形，倾向于不规则和不对称。小波母函数 ψ(t)(mother wavelet，也称wavelet basis function)有严格的数学定义，并且必须满足一定的“容许性条件”：

时间域： ∫_-_∞⁺^∞ψ(t)dt =0 (1)

频率域： C_ψ= ∫_-_∞^∞ (|ψ* (ω)|²/ | ω|)dω <∞ (2)

式中： ψ(ω)是小波母函数 ψ(t)在频率ω处的Fourier变换，ψ*(ω)是ψ(ω)的复共轭函数。目前信号分析常用的小波母函数如表 1 所示。每个小波函数都有严格的数学定义、数学表达式，以及尺度函数、消失矩和滤波器长度等数学性质(Chui, 1992)。

2.2 小波变换

令L 2 (R)表示定义在实轴上、可测的平方可积函

数空间，信号 f(t)∈L 2 (R)的连续小波变换(continu-

ous wavelet transform, CWT)可表示为：

W f (a,b)= ∫

-∞

+∞

f(t)ψ a,b * (t)d t with ψ a,b (t)

ψ( t-b

) a,b∈R,a≠0

(3)

式中：W f (a,b)为连续小波变换系数； ψ * (t) 为 ψ (t)的复

共轭函数；a为时间尺度因子，可反映小波的周期长

度；b为时间位置因子，可反映时间上的平移。利用

连续小波变换系数可以求得小波功率谱(global

wavelet spectrum, GWS)，用于描述序列在多时间尺

度上的能量分布：

GWS(a)= ∫

-∞

+∞ (W

f (a,b))

2 d

(4)

实测时间序列常是离散信号，对公式(3)进行离

散化处理，得到序列的离散小波变换(discrete wave-

let transform, DWT)表达式：

W f (j,k)= ∫

-∞

+∞

f(t)ψ j,k * (t)d t with ψ j,k (t)

=a 0

-j/2 ψ(a

-j t-kb

0 )

(5)

小波变换为:

W f (a, b)=<f, ψ

ab >= α

1/2

∫

(t)ψ(t-b/a)dt (1)

小波分析的基本思想是用一族被称为子波的特定函数去表示或者逼近一个信号 ,其中的子波函数族是由一个基本的子被函数经过平移和不同尺度的伸缩构成。式 (1)中的 ψ(t)便是基本小波, 通过变化 a, 实现伸

缩 ;通过变换 b, 实现平移。