关于数论，这里见它有许多重要领域（就如下面倒数第2段见日本数学主要是数论大师弥永昌吉和中山正及其门徒开创的并都是诺奖级的）。在这页主要说海南琼州大学师爷闵嗣鹤教授的《数论的方法》这一名著，先以其各章为主轴简述之各主题。关于这书正如闵嗣鹤教授在序中说《数论的方法》是在北京大学数论专门化的课程上再补充整理而成并说“读者借着本书逐渐提高水平，使在不长的时间内能阅读近代数论在若干方面的文献，以至独立或在适当辅导下进行科学研究”。闵嗣鹤教授1935年大学毕业后在清华大学、西南联大等任教-日本投降后去牛津留学和获博士学位并如这里见闵嗣鹤教授60年代至今的研究生只有海南琼大的业师一人-而闵教授这书也50年代末才出版

第一篇 共5章 主要讲密度和筛法--在闵教授逝世之前这是国内外这方面内容最全面深刻的著作-至今也只有Halberstam的著作可媲美（即海南琼大师爷闵嗣鹤教授的《数论的方法》第一篇开头就说哥德巴赫猜想问题是堆垒素数论最有代表性的问题，并这第一篇共五章主要讲解用以研究哥德巴赫猜想的2个主要方法：密率和筛法…其钟情如在网上也见“数学大家闵嗣鹤:生死哥德巴赫猜想”（它是世界三大数学猜想中唯一未解决的-另2个是琼大1985年做的四色猜想和琼大的业师涉及的费马猜想…2000年又提出的世界七大数学难题尚逊它仨）。更详细文献可见山东大学原校长潘承洞院士和北大潘承彪的《哥德巴赫猜想》（我有1981年出的330页精装本）其引用147个文献而中文书只有4本即海南琼大师爷闵嗣鹤教授的《数论的方法》和《初等数论》、以及华罗庚大师的《数论导引》和《堆垒素数论》。从引专著只有《堆垒素数论》可知素数论很占份量。而关于素数，如王元院士的《谈谈素数》一书关于哥德巴赫猜想的研究方法主要有2个：第一个方法是“密率”，第二个方法是“筛法”（更详细的可见闵嗣鹤教授的《数论的方法》的第一至第五章就是讲这2个方法的）。特别是哥德巴赫猜想的进展更与筛法的演进紧密相关（潘承洞和潘承彪的《哥德巴赫猜想》也是把之放在筛法这一小节里说）即基于容斥原理~Eratosthenes筛法→Brun筛法→Selberg筛法等逐渐演进发展，使其贡献者依次为Brun、Rademacher及其博士Estermann、以及Ricci、其后Buchstab[其博士Piatetski-Shapiro获90年沃尔夫奖]、Linnik的大筛法使其博士Renyi开辟另一途径、以及第2届Fields奖得主Selberg在1950年前后将他自己的Selberg筛法与组合数学方法相结合发展，使其后Buchstab和Vinogradov以及Bombieri和我国的王元、潘承洞特别是陈景润证明（1, 2）（它之演化是基于这里前2段见给予海南琼州大学很多特别重要资料的大师的导师Renyi结合其导师Linnik大筛法开辟1+c途径才使哥德巴赫猜想迎来特重大进展{但自此起因哥德巴赫猜想而出的奇事怪事更层出不穷数不胜数如①宋树魁起诉中国科协副主席袁亚湘数学院长王跃飞并北京市中院判决赔10元及发表证明哥德巴赫猜想的论文,更上演二审判决-奇哉怪哉、②中国速算专家声称证明哥德巴赫猜想-悬赏300万元征人推翻-非风影-央视以及人民日报都报道-但亿万富翁还可兑现、③联合国科学主席郭友中和华大武大教授李德华、赵俊峰共同鉴定:“赵益华教授的哥德巴赫猜想证明正确”[郭友中也确是第一届中国应用数学副理事长] 、④和我的导师柳柏濂教授合作获奖并且1987年已在美国做报告的某省数学会实际掌门人陈荣斯因其钻研哥猜30年就公诸媒体,以引起关注、⑤得到市政协主席支持、市长批3万元出证哥猜书的侯绍胜也得该省许多教授肯定（这些是著名数学家还和陈景润合作等-还见“数论导师马麟浚和黎百恬都是1957年开始在中山大学任教研究猜想50年的.他们书面高度评价侯绍胜的证明”并且合作起来等等，这确是人人睁开眼就见的小学常识«那错的就应是我?我是没心情，但下面小学常识文科大一生也知对错，是我…）因而侯出视频呼吁杨乐王元丘成桐等审他的论文-后大骂威胁王元院士等海南网也发悬万金挑战世人，还有北京市委宣传部副部长敢峰也证明哥猜、也有儿子对老子推波助浪并该地大学数学系主任竟说“轰动不可估量”、央视也报导老人为他的证明15年前开始悬赏一万元、更有“七旬老人北京大学摆擂台 自称破解哥德巴赫猜想”并竟然北大数学教授说但愿老人证明…（这些人或数论专家是否都该骂、该起诉！很大部分痴迷者这么多年不放弃更胡来乱搞是否竟然不知(1, 1)比(1, 2)的难度跨度多大而是否只要一说这约x/lnx倍跨度就没人再敢浪费时间精力生命去研究--若要做的话也必须避开一段才有可能！如下面见百年前高斯就已发现证明并一直写入教科书的不大于x的素数个数（可用p(x)记）约是x/lnx且当越大时更越接近，分布得这样多和密的素数关系，是哥德巴赫敢猜想之因。再说陈景润的(1, 2)如大偶数x=p+p₂p₃是由3个素数的组合-如不大于x的素数的组合的可能性竟然多达约(x/lnx)´ (x/lnx)´ (x/lnx)多个偶数（所得偶数的重合情况要洞察--更首先要考查其趋于无穷大时是否有稳定的渐近及与之相关的性质，即虽分解为素因子的唯一性，但因有和，不过重合率不是大比例的接近指数倍就不碍-而这似乎至多是某大常数倍问题并若有近似也差不离--要若是两整数和的重合率还可有指数倍且这指数倍也只与相应的x相关），可哥德巴赫猜想(1, 1)仅仅只有约(x/lnx)´ (x/lnx)多个偶数，足见(1, 2)和(1, 1)相差的不只是指数级倍且越大更… 然而可能性比哥猜大约(x/lnx)倍的陈景润的(1, 2)都做了几百年，特别是(1, 1)仅有(x/lnx)´ (x/lnx)对素数组合的偶数个数（即比陈景润的(1, 2)少约(x/lnx)倍，且也因是和的组合则有类似偶数重合性），那还有人敢随便浪费生命去做(1, 1)吗（特别是最初的所谓大偶数阶段--虽约(x/lnx)(x/lnx)多偶数在充分大时如下面说或琼州大学学生也可以做-但在不足够充分大时又因还有重合而闵和华等的书及至今所知的素数分布规律各种相关性质都仍远远的不足以解决它-所以上面河南省和中山大学2个研究猜想50年的数论教授的还是仍值得怀疑）--就是做的也真该在怀疑下求得专家验证而不应随便说出-若求不得帮助你先有或补上深厚的基础并先自己审过多遍再说？（参考Paulo Ribenboim在这里说的）注：具小学程度的人都能判别出我说的对不对，我这段时间心情不好很难长久些冷静思考很气浮就要出错，我也想到怎么能有这样浅显的解释呢？因若此那1994年毕业并1995年已当正教授的天才型中国首届名师（最年轻的）曹广福教授对这点中小学常识不会视而不见而也说“我觉得，民间科学家也许有朝一日真的能一鸣惊人”并曹广福说1、先读华罗庚的《数论导引》；2、先读几本解析和代数数论；3、读潘承洞、王元、陈景润等的所有论文（2不说大概范围而华的也包含解析和代数数论且深度不逊其它-其实2的后者无甚帮助了解就行，3呢你知他仨的论文多少且绝大多数无甚关联），总之是废话-因为鸡男妓女都会说这笼统的话（在我国期刊网的“主题”输入Toeplitz算子[T_yf=P(yf)=ò_Bnyf(w)K(z,w)dA(w), yÎL^¥(B_n), K(z,w)是核函数, P是线性有解投影算子--关于苦难深重中孕育的波兰学派Toeplitz算子也可参考张恭庆院士的《泛函分析讲义》的第2个参考文献即我们现代组合数学奠基人Rota的导师Schwartz合撰的《线性算子》或参考这里第5]见到曹广福竟有48篇Toeplitz算子方面的论文再加上国外的那这方向应远多于百度说他的论文50余篇，所以方向不同的曹这样说也可理解），即其实这样的跨度不更是要长年在前沿和国内外同行交流比拚锤炼方法技术以能长期地多层次的艰苦突破推进的问题（因瓶颈可能只在足够大时的某段而此只为之）？我在科学网开博而知和这曹广福教授同是知名博主的吴中祥教授因是否缺视觉这点常识而也竟在2011年如此证明、2015年仍不放弃…。在我国期刊网输入“哥德巴赫猜想”更见每年都有很多证明-当然发表的杂志级别都较低…（再附：上面Halberstam大师的著作大赞陈景润对（1, 2）的证明是“光辉的顶峰”，英国某数学家给陈景润的信中称“你移动了群山”；另注：显然,就是全部解决猜想:“对所有自然数k,存在无穷多个素数对(p, p+2k)”（张益唐最近仅对k小到7000万做出证明都轰动世界）等等任何定理结果都不如百年前高斯发现的p(x)～x/lnx能为上面做出解释-但严格证明要用到很多深刻的素数性质等-如陶哲轩这的和张益唐的k已被包括陶哲轩等缩小到246等最新的进展也可能用得上（好了，我认为最好的建议是，从上面看充分大偶数时初等方法或可行即我校学生也可解决，放心-剩下的偶数任何人都解决不了-都只得交给越来越快的计算机由世界各国有志于攻克这最后部分的科学家组成联盟合作对这段的大偶数一个个解决[几台计算机是不够的]--因这段在(1, 2)时上面看到有许多笼统的方法都可能足以解决但(1, 1)时可能今后很长时间内都找不到方法，而充分大是什么呢-也许是大常数或可寻变量的比例-且比例就是描述性的有些粗略近似也无关系-这都足够要说怎样伟大都不过）

第二篇 解析的方法。第一章 Dirichlet狄利克雷级数：狭义狄氏级数å_n=1^¥a_n/n^s（黎曼ζ函数是其特例）； 广义狄氏级数å_n=1^¥a_ne^-(mn)s。该书主要考查广义狄氏级数的特例f(s)= å_n=1^¥a_nl_n^-s（对任何n，l_n-1£l_n），主要研究收敛半面和绝对收敛半面以及有限阶情况。Perron公式:当c>广义狄氏级数的特例的绝对横标b而x¹l_n时，å_ln=<xa_n=(1/2pi)ò_c-i¥ ^c+i¥ f(w)(x^w/_w)dw；第二章 黎曼ζ函数的解析性质及其函数方程：涉及黎曼ζ函数的函数方程的研究。第三章 素数定理的改进（给出包括他的导师E. C. Titchmarsh等4个人得到的改进结果）；第四章 算术级数中的素数分布：本章的目的在于证明 p(m, k ,l)=lsm/j(k)+ O(me^{-(Ö(logm))/200})

素数分布：

Gustav P. L. Dirichlet狄利克雷定理：若k>0, l>0, (k, l)=1，则形如kn+l之素数之个数无穷。（它的证明也见我国数学大师华罗庚院士撰写的《数论导引》的第258页-263页；或见Jean-Pierre Serre让-皮埃尔·塞尔的《数论教程》-这塞尔是世界上唯一获得数学三大奖（菲尔兹奖、沃尔夫奖、阿贝尔奖）的世界大师并至今仍是获得菲尔兹奖时最年轻的人，这Jean-Pierre Serre的《数论教程》只有二部分并第一部分是“代数的方法”、第二部分是“解析方法”，而闵嗣鹤教授的《数论的方法》有三篇并第一篇相当于代数的方法、第二篇是“解析的方法”、且还有第三篇“三角和的方法”，当然可取材范围已广是大不受限的）

素数定理（这一个课题也可参考潘承洞院士和潘承彪教授合写的294页著作《素数定理的初等证明》）

Gauss高斯和A.-M. Legendre勒让德曾用数值统计比较，发现p(x)与x/lnx当很大时越来越接近，即，高斯猜想： p(x)~ lix（ 其中记lix=lim_x→0(ò₀^1-q +ò_1-q ^x)dt/lnt ）（见王元的《谈谈素数》，潘承洞的《素数分布与哥德巴赫猜想》或陈景润和邵品琮的《哥德巴赫猜想》）；勒让德在1830年猜想：当n→¥时，p(x)~x/(lnx-B),其中B=1.08366（见王元的《谈谈素数》）。

首先对这猜想做出重要贡献的是切比雪夫Pafnuty L. Chebyshev，他在1848年和1850年证明了：

定理：a£lim_{¾ n→¥}p(x)/(x/lnx )£1£ lim^¾ _n→¥p(x)/(x/lnx )£6a/5。

关于这素数猜测问题，James J. Sylvester曾用下面的话表明他对这个问题的展望：“要确定这种可能性的存在，我们或许要等待在世界上产生这样一个人，他的智慧与洞察力象切比雪夫一样，证明是超人一等的”。但不久，Jacques S. Hadamard在1896年就证明了素数定理（p(x)~x/(lnx），差不多同时，C. de La Vallée Poussin也证明之。其后，Wiener也利用他的陶伯型定理给出素数定理的新证明。但这些证明都不是初等的。因此，“能否用比较初等方法证明素数定理？这是数论中的著名难题之一”（这句话见潘承洞的《素数分布与哥德巴赫猜想》第46页、以及华罗庚院士的《数论导引》第234页，但它俩之前都没有给出为啥用初等的原因，这让人在此之前摸不着头脑为啥要用初等方法，华罗庚大师的因之前没有说到切比雪夫的证明就不有好时机就可理解，但潘承洞院士的就费解；王元的《谈谈素数》讲这课题的第42-43页及全书更都不见说原因；而海南琼州大学师爷闵嗣鹤教授的《数论的方法》和《初等数论》2书都说因上面切比雪夫Chebyshev的证明是完全初等的，才要尝试尝试看看能否有初等证明--显然这谁都看得出是疏忽-但却真是令人困惑），因而，终于在1949年我们图论组合数论大师Paul Erdös和Atle Selberg才分别给出素数定理的初等证明。

此外，既然p(x)与x/lnx很接近，那么误差项究竟有多大？虽一直来进行了多年的研究取得很多成果，但到现在还尚未彻底。

对数论许多方面都起基本性作用的定理：

Joseph Louis Lagrange拉格朗日定理：设p是素数，那末同余方程

f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a_o≡(mod p),（1£x£p）,的解数£n（重解计算在内），p不能整除n。

（附：拉格朗日的导师有欧拉[如这里前30个科学家有他俩师徒]，拉格朗日的博士有数学双雄Poisson泊松（也是数学院士的拿破仑最欣赏的数学家是泊松）和Joseph Fourier约瑟夫·傅里叶（有约瑟夫傅立叶大学），进而泊松和傅立叶合作指导的博士是下面Dirichlet狄利克雷并其博士论文是“Partial Results on Fermat's Last Theorem, Exponent 5--关于费马最后定理（也称费马猜想）的部分结果（指数=5的情形）”。这里已说海南琼州大学的师爷黄际遇教授的导师是E. H. Moore-再看这里见E. H. Moore的导师是H. A. Newton，Newton 的导师又是Michel Chasles，继而Chasles的导师就是这Poisson泊松，不过,那么遥远也没啥子半毛传承关系或影响关系了）

第三篇 三角和的方法。第一章 有理型三角和，研究平均值和莫德尔结果及其推广；第二章 Van der Corput的方法，其方法特点是用形如ò_a ^be^if(x)dx的三角积分来逼近所要估计的三角和å_a£x£be^if(x)。第三章 除数问题：

我的业师杨照华教授在1988年发表论文“算术级数中的除数问题”（《数学学报》第1期第33-38页），这也是基于他的导师闵嗣鹤教授的《数论的方法》的上面第二篇第四章“算术级数”，以及第三篇第三章“除数问题”，相结合而研究之。因除数问题不止于此，如第三篇第三章“除数的问题”讲用t(n )表n的除数个数，并设D(x)=å_n£xt(n )，则所谓Dirichlet除数问题就是研究当n→¥时，D(x)的渐近性质的问题。Dirichlet曾证明下面结果：

定理：D(x)=xlogx+(2g-1)x+O(x^1/2)

我们常令D(x)=O(x^1/2),

又用t_k(n )表示把n表成个因子的乘积时不同表示法的个数（要考虑到因数的顺序），并令D_k(x)=å_n£xt_k(n )。由第二篇第一章的定理6.5：当s>1时，x^k(s)=å_n=1^¥t_k(n )/n^s。当x不是整数时，D_k(x)=1/(2pi)ò_c-i¥^c+i¥x^k(w)(x^w/w)dw (c>1)

（附：Dirichlet狄利克雷的博士论文是‘费马猜想的指数=5的情形’并他的博士有Rudolf O. S. Lipschitz李普希茨，李普希茨也继承狄利克雷的衣钵在数论方面做出许多开拓性工作，但最著名的应是数学人都应知道的李普希茨条件，并他合作指导博士Felix Klein菲利克斯·克莱因；关于Dirichlet狄利克雷在数论中的地位也如下面Tom M. Apostol的《解析数论引论》第二章是“数论函数与Dirichlet乘积”、第七章是“算术级数里素数的Dirichlet定理”、第十一章是“Dirichlet级数与欧拉乘积”）

第四章 二维的方法：本章所要讨论的是Van der Corput的方法的二维推广。

第五章 是“Goldbach-Виноградов定理”（哥德巴赫的一个猜想，Виноградов即Vinogradov维诺格拉陀夫证明之。此人的《数论基础》由裘光明在1952年译，关于此人-看1975年任国际数学联盟副主席、1974年任英国皇家学会副主席的J. W. S. Cassels写的“Vinogradov”，华罗庚大师写的“介绍世界上伟大的苏联数学家维诺格拉陀夫院士”，以及“评译华罗庚致维诺格拉多夫的几封信”）；

海南琼大师爷闵嗣鹤教授的《数论的方法》全书最后一章即第三篇第六章“Виноградов的中值公式与三角和的估计”的关键是首先考虑S(q)=å_a£n£a+qe^2pif(x)的一种平均值J(q, l)= ò₀¹ò₀¹…ò₀¹|S(q)|^2lda₁da₂…da_k，对之给予很好的估计。

除了海南琼大师爷闵嗣鹤教授的《数论的方法》等，还必应参考华罗庚大师推崇的Edmund Landau的《数论教程》三卷以及稍逊些的Harold M. Stark的《数论导论》（如哈佛博士Corwin在BAMS评论说主要是为即将担任“大专数学教师”的研究生写的并被哈代的数论等引用）和Tom M. Apostol的《解析数论引论》（柯召院士的书和潘承洞院士等的书都引用它）-这2作者Harold M. Stark和Tom M. Apostol的师兄弟Ronald Graham是我们组合数学大师、美国科学院副院长并他仨的导师Lehmer还是上面现代组合数学奠基人Gian-Carlo Rota的导师Jacob Schwartz的导师Dunford的师兄；这个两院院士Harold M. Stark为第一作者和Terras在1996年合写已大量被引的‘图的Zeta函数’一文[这文的参考文献7是1966年Ihara的开创性论文、文献12是上面世界大师Jean-Pierre Serre塞尔的名著《Trees树》其引言开头说“这项工作的出发点是Ihara的定理,…。Ihara的证明是组合数学的，…”（Ihara是伊原康隆，他的导师是Shokichi Iyanaga(弥永昌吉)，并Ihara和他的师兄弟中的伊藤清(Kiyosi Ito)、小平邦彦(Kunihiko Kodaira)、佐藤干夫(Mikio Sato)、岩泽健吉(Kenkichi Iwasawa)、岩堀长庆(Nagayoshi Iwahori)、玉河恒夫(Tsuneo Tamagawa)、东谷五郎(Goro Azumaya)、还有这页开创格论的这个Shokichi Iyanaga(弥永昌吉)的师弟中山正也是格论开拓者，以及河田敬義、佐竹一郎等都被丘成桐写入“从明治维新到二战前后中日数学人才培养之比较”并丘成桐说“日本近代数学的奠基人应该是高木贞治”就是弥永昌吉和中山正吉的博士导师,并日本数学家已获得三次菲尔兹奖、三次沃尔夫数学奖且除森重文是京都大学中山正的博士广中平祐是京都大学硕士外其余得主都是Shokichi Iyanaga(弥永昌吉)的博士（因而有“如果高木贞治是日本现代数学的‘生父’，那么弥永昌吉就是‘养父’”），这些人中还有不少也做数论如河田敬義写《自然数論》也写《整数論部門》等），并这Ihara的博士Hashimoto也写‘图的Zeta函数’-不过只有约2篇这领域的而上面两院院士Stark和Terras都有约十篇-指在数学评论里见的]。这就有点值得回溯这分支一下-如Terras写的“图的Zeta函数的乐趣”一文的历史部分说“Ihara定义…，Serre看到了图论的解释，Sunada的1986年的、Hashimoto 1989年的和1990年的论文、以及1992年Bass的论文等扩展这理论，本文旨在介绍Stark和作者合写并大量被引的1996年的、2000年的和2007年的工作…”-看后3篇的文献也可了解这分支早期大概。最近Terras写出的239页《图的Zeta函数》的书就如开头说“在这振奋人心的这书中，图论与数论相遇，…黎曼猜想…”（这是上面世界七大数学难题中的黎曼猜想：Zeta函数=0的解的Re=1/2 --可看视频）（附：这Ihara的博士Kazuya Kato加藤和也及其门徒最近写了2本极受世界重视的类域论等数论书；而数学大师弥永昌吉和中山正开拓的与数论密切相关的格论最近在密码学等发挥其它理论无法代替的重要的作用）。再附数论的几个主要领域：解析数论：www.qzu5.com/mp.htm；组合数论与代数数论：www.qzu5.com/cn.htm：数的几何：www.qzu5.com/sj.htm；格论：www.qzu5.com/le.htm；类域论-www.qzu5.com/cf.htm；数论与密码学：www.qzu5.com/ng.htm等等。

关于闵嗣鹤教授对哥德巴赫猜想的贡献，如“闵嗣鹤先生不幸去世，陈景润痛哭不已，他为失去一个真正了解他的数学家而悲伤，私下里他曾告诉好友，闵先生去世了，今后谁来审他攻克(1+1)的论文稿呢？”，这正因如陈景润曾在自己最初关于哥德巴赫猜想的论文上写下这样的字句，将其赠送给闵先生：“敬爱的闵老师： 非常感谢您对学生的长期指导，特别是对本文的详细指导。 学生 陈景润敬礼”；海南琼大师爷闵嗣鹤教授的导师是我也曾读他的《函数论》（华罗庚也非常推崇这书）的毕业第8年就当选英国皇家学会院士的E.C.Titchmarsh梯其玛希大师并在1954年国际数学家大会做特邀报告和获得以上面第3中说什么‘等世界上产生这人’的J. J. Sylvester命名的奖的1955年获得者-首届获得者是庞加莱，E.C.Titchmarsh也曾写《The Theory of Riemann's Zeta Function-黎曼Zeta函数理论》（陈景润证明(1, 2)的论文的第一个文献是这里前2段见赠予海南琼州大学很多特别重要资料的大师的导师Renyi的论文、第2个文献是潘承洞的这篇论文-而这论文4个文献就有Titchmarsh这书）